Trasformate di Laplace applicata alle funzioni di trasferimento di sistemi LTI.
Le leggi fisiche modellano sistemi ingegneristici tramite la determinazione di modelli matematici. Questi modelli possono essere espressi da equazioni differenziali.
I modelli che descrivono dei sistemi LTI (lineari tempo-invarianti) possono quindi essere espressi con equazioni differenziali di ordine n , del tipo:
β j = 0 n a j d j y d t j = β j = 0 m b j d j u d t j β
β βΉ β
β a 0 y ( t ) + β― + a n d n y d t n = b 0 u ( t ) + β― + b m d m u d t m \sum_{j=0}^n a_j \frac{d^j y}{dt^j} = \sum_{j=0}^m b_j \frac{d^j u}{dt^j} \\
\implies a_0 y(t) + \dots + a_n \frac{d^n y}{dt^n} = b_0 u(t) + \dots + b_m \frac{d^m u}{dt^m} j = 0 β n β a j β d t j d j y β = j = 0 β m β b j β d t j d j u β βΉ a 0 β y ( t ) + β― + a n β d t n d n y β = b 0 β u ( t ) + β― + b m β d t m d m u β Lβindice n Γ¨ il massimo ordine della derivata della funzione di uscita y ( t ) y(t) y ( t ) m Γ¨ il massimo ordine della derivata dellβingresso u ( t ) u(t) u ( t )
La condizione n β₯ m n \geq m n β₯ m
Un modello matematico fisicamente realizzabile descrive un sistema causale (ovvero non anticipativo ).
Le trasformazioni funzionali associano funzioni nel dominio del tempo a funzioni in un altro dominio, nel quale operazioni complicate (come derivazione o integrazione) corrispondono a operazioni piΓΉ semplici (come prodotto o somma). Le trasformazioni funzionali stabiliscono una relazione biunivoca tra funzioni nei due domini.
La trasformazione funzionale piΓΉ utile per lβanalisi di equazioni differenziali che rappresentano sistemi LTI Γ¨ quella di Laplace . Data una funzione nel tempo f ( t ) f(t) f ( t )
F ( s ) = L [ f ( t ) ] = β« 0 β f ( t ) e β s t d t β C F(s) = \mathcal{L} [f(t)] = \int_0^{\infty} f(t)e^{-st} dt \in \C F ( s ) = L [ f ( t )] = β« 0 β β f ( t ) e β s t d t β C Lβantitrasformata di Laplace Γ¨:
f ( t ) = L [ F ( s ) ] β 1 = 1 2 Ο j β« Ο 0 β j β Ο 0 + j β F ( s ) e s t d s β R f(t) = \mathcal{L} [F(s)]^{-1} = \frac{1}{2\pi j} \int_{\sigma_0 -j\infty}^{\sigma_0 +j\infty} F(s)e^{st} ds \in \R f ( t ) = L [ F ( s ) ] β 1 = 2 Ο j 1 β β« Ο 0 β β j β Ο 0 β + j β β F ( s ) e s t d s β R La rappresentazione cartesiana di s si effettua sul piano di Gauss (il piano complesso).
s = Ο + j Ο = Re { s } + j Im { s } s = \sigma + j\omega = \text{Re}\{s\}+ j\text{Im}\{s\} s = Ο + j Ο = Re { s } + j Im { s } Dalla formula precedente si possono esprimere i seguenti parametri:
Ο \omega Ο s (ordinata del piano di Gauss),Ο \sigma Ο s (ascissa del piano di Gauss).
Dato il modulo Ο \rho Ο Ο \varphi Ο s Γ¨:
s = Ο e j Ο = Ο ( cos β‘ ( Ο ) + j sin β‘ ( Ο ) ) s = \rho e^{j\varphi}=\rho\big(\cos(\varphi)+j\sin(\varphi)\big) s = Ο e j Ο = Ο ( cos ( Ο ) + j sin ( Ο ) ) Data la formula di Eulero:
e j Ο = cos β‘ ( Ο ) + j sin β‘ ( Ο ) e^{j\varphi}=\cos(\varphi)+j\sin(\varphi) e j Ο = cos ( Ο ) + j sin ( Ο ) Si ricavano le seguenti formule:
Ο = Ο cos β‘ ( Ο ) Ο = Ο sin β‘ ( Ο ) Ο = Ο 2 + Ο 2 Ο = arctan β‘ ( Ο Ο ) Ο 2 ( 1 β sgn ( Ο ) ) sgn ( Ο ) \begin{aligned}
\sigma &= \rho \cos(\varphi)\\
\omega &= \rho \sin(\varphi)\\
\rho &= \sqrt{\sigma^2 + \omega^2}\\
\varphi &= \arctan\bigg(\frac{\omega}{\sigma}\bigg)\frac{\pi}{2}\Big(1-\text{sgn}(\sigma) \Big)\text{sgn}(\omega)
\end{aligned} Ο Ο Ο Ο β = Ο cos ( Ο ) = Ο sin ( Ο ) = Ο 2 + Ο 2 β = arctan ( Ο Ο β ) 2 Ο β ( 1 β sgn ( Ο ) ) sgn ( Ο ) β Il problema di partenza (ovvero la risoluzione delle equazioni differenziali) viene detto problema oggetto. Il problema nel dominio trasformato Γ¨ detto problema immagine .
problema oggetto β
β β
β β risoluzione difficile soluzione oggetto β
β β
β L β β L β 1 problema immagine β pi u Λ Β semplici operazioni soluzione immagine \begin{CD}
\boxed{\begin{split}\text{problema}\\ \text{oggetto}\;\;\end{split}} @>
\text{difficile}>\text{risoluzione}>
\boxed{\begin{split}\text{soluzione}\\ \text{oggetto}\;\;\end{split}} \\
@V\mathcal{L}VV @AA\mathcal{L}-1A \\
\boxed{\begin{split}\text{problema}\\ \text{immagine}\end{split}} @> \text{operazioni}>\text{piΓΉ semplici}>
\boxed{\begin{split}\text{soluzione}\\ \text{immagine}\end{split}}
\end{CD} problema oggetto β β L β β β problema immagine β β β difficile risoluzione β operazioni pi u Λ Β semplici β β soluzione oggetto β β β β β L β 1 soluzione immagine β β β In MATLAB, le operazioni di Laplace sono supportate da:
Symbolic Toolbox: laplace , ilaplace
Control System Toolbox: Transfer Function tf
LinearitΓ :
L [ Ξ± f 1 ( t ) + Ξ² f 2 ( t ) ] = Ξ± F 1 ( s ) + Ξ² F 2 ( s ) \mathcal{L}[\alpha f_1(t)+\beta f_2(t)] = \alpha F_1(s)+\beta F_2(s) L [ Ξ± f 1 β ( t ) + Ξ² f 2 β ( t )] = Ξ± F 1 β ( s ) + Ξ² F 2 β ( s ) F ( s β ) = F β ( s ) F(s^*) = F^* (s) F ( s β ) = F β ( s ) Con s β s^* s β s .
La messa in scala :
f ( Ξ± t ) β
β βΊ β
β 1 a F ( s a ) f(\alpha t) \iff \frac{1}{a} F\bigg(\frac{s}{a} \bigg) f ( Ξ± t ) βΊ a 1 β F ( a s β ) Traslazione nel tempo :
L [ f ( t β t 0 ) ] = e β t 0 s F ( s ) \mathcal{L}[f(t-t_0)] = e^{-t_0 s} F(s) L [ f ( t β t 0 β )] = e β t 0 β s F ( s ) Trasformata dellβintegrale :
L [ β« 0 t f ( Ο ) d Ο ] = 1 s F ( s ) \mathcal{L} \bigg[\int_0^t f(\tau)d\tau \bigg] = \frac{1}{s} F(s) L [ β« 0 t β f ( Ο ) d Ο ] = s 1 β F ( s ) Trasformata della derivata :
L [ d f ( t ) d t ] = s F ( s ) β f ( 0 + ) \mathcal{L} \bigg[\frac{d f(t)}{dt} \bigg] = s F(s)-f(0^+) L [ d t df ( t ) β ] = s F ( s ) β f ( 0 + ) Trasformata della derivata seconda :
L [ d 2 f ( t ) d t 2 ] = s 2 F ( s ) β s f ( 0 ) β d f ( 0 ) d t \mathcal{L} \bigg[\frac{d^2 f(t)}{dt^2} \bigg] = s^2 F(s)-sf(0)-\frac{df(0)}{dt} L [ d t 2 d 2 f ( t ) β ] = s 2 F ( s ) β s f ( 0 ) β d t df ( 0 ) β Teorema della traslazione in s :
L [ e a t f ( t ) ] = F ( s β a ) \mathcal{L} \bigg[e^{at} f(t)\bigg] = F(s-a) L [ e a t f ( t ) ] = F ( s β a ) Teorema della trasformata dellβintegrale di convoluzione :
L [ β« 0 β f 1 ( Ο ) f 2 ( t β Ο ) d Ο ] = F 1 ( s ) F 2 ( s ) \mathcal{L} \bigg[\int_0^{\infty} f_1 (\tau) f_2 (t-\tau)d\tau\bigg] = F_1(s) F_2(s) L [ β« 0 β β f 1 β ( Ο ) f 2 β ( t β Ο ) d Ο ] = F 1 β ( s ) F 2 β ( s ) Le proprietΓ che seguono valgono se il limite di f ( t ) f(t) f ( t ) F ( s ) F(s) F ( s ) Q \mathbb{Q} Q
F ( s ) β \Q β
β : β
β F ( s ) = N ( s ) D ( s ) N ( s ) , β
β D ( s ) β N F(s) \in \Q \; : \; F(s) = \frac{N(s)}{D(s)}\quad N(s),\; D(s) \in \N F ( s ) β \Q : F ( s ) = D ( s ) N ( s ) β N ( s ) , D ( s ) β N Teorema del valore iniziale :
lim β‘ t β 0 + f ( t ) = lim β‘ s β β s F ( s ) \lim_{t \to 0^+} f(t) = \lim_{s \to \infty} sF(s) t β 0 + lim β f ( t ) = s β β lim β s F ( s ) Teorema del valore finale :
lim β‘ t β β f ( t ) = lim β‘ s β 0 s F ( s ) \lim_{t \to \infty} f(t) = \lim_{s \to 0} sF(s) t β β lim β f ( t ) = s β 0 lim β s F ( s ) Trasformata di una funzione periodica :
Dato il periodo T , sia f ( t ) f(t) f ( t ) 0 β€ t β€ T 0\leq t \leq T 0 β€ t β€ T f p ( t ) f_p(t) f p β ( t ) f ( t ) f(t) f ( t )
L [ f p ( t ) ] = F ( s ) 1 β e T s \mathcal{L} \bigg[f_p(t)\bigg] = \frac{F(s)}{1-e^{Ts}} L [ f p β ( t ) ] = 1 β e T s F ( s ) β u ( t ) = { 0 t < 0 1 t β₯ 0 u(t) = \begin{cases}
0 & \quad t<0 \\
1 & \quad t \geq 0 \\
\end{cases} u ( t ) = { 0 1 β t < 0 t β₯ 0 β La trasformata del segnale gradino unitario Γ¨:
L [ u ( t ) ] = 1 s L [ u ( t ) ] = β« 0 β e β s t d t = = lim β‘ c β + β β« 0 c e β s t d t = = lim β‘ c β + β [ e β s t β s ] 0 c = lim β‘ c β + β [ e β s c β s + e 0 s ] = 1 s \begin{aligned}
\mathcal{L}[u(t)] &= \frac{1}{s}\\ \\ \mathcal{L}[u(t)] &= \int_0^{\infty} e^{-st}dt =\\
&= \lim_{c \to +\infty}\int_0^c e^{-st}dt =\\
&= \lim_{c \to +\infty} \bigg[\frac{e^{-st}}{-s}\bigg]_0^c \\
&= \lim_{c \to +\infty} \bigg[\frac{e^{-sc}}{-s}+\frac{e^0}{s}\bigg]
=\frac{1}{s}
\end{aligned} L [ u ( t )] L [ u ( t )] β = s 1 β = β« 0 β β e β s t d t = = c β + β lim β β« 0 c β e β s t d t = = c β + β lim β [ β s e β s t β ] 0 c β = c β + β lim β [ β s e β sc β + s e 0 β ] = s 1 β β N.B. lim β‘ c β + β e β c = 0 \lim_{c \to +\infty} e^{-c} = 0 lim c β + β β e β c = 0
Trasformata di segnale esponenziale monolatero:
f ( t ) = { e a t t β₯ 0 0 t < 0 f(t) = \begin{cases}
e^{at} \quad & t \geq 0\\
0 \quad & t < 0
\end{cases} f ( t ) = { e a t 0 β t β₯ 0 t < 0 β Allora la trasformata Γ¨:
L [ f ( t ) ] = 1 s β a L [ f ( t ) ] = β« 0 β e a t e β s t d t = = lim β‘ c β + β β« 0 c e a t β s t d t = = lim β‘ c β + β [ e β t ( s β a ) β ( s β a ) ] 0 c = = lim β‘ c β + β [ e β c ( s β a ) β ( s β a ) β e 0 β ( s β a ) ] = = 1 s β a \begin{aligned}
\mathcal{L}[f(t)] &= \frac{1}{s-a}\\ \\
\mathcal{L}[f(t)] &=\int_0^{\infty} e^{at} e^{-st}dt =\\
&= \lim_{c \to +\infty}\int_0^c e^{at-st}dt =\\
&= \lim_{c \to +\infty}\bigg[\frac{e^{-t(s-a)}}{-(s-a)}\bigg]_0^c =\\
&= \lim_{c \to +\infty}\bigg[\frac{e^{-c(s-a)}}{-(s-a)}-\frac{e^0}{-(s-a)}\bigg] =\\
&= \frac{1}{s-a}
\end{aligned} L [ f ( t )] L [ f ( t )] β = s β a 1 β = β« 0 β β e a t e β s t d t = = c β + β lim β β« 0 c β e a t β s t d t = = c β + β lim β [ β ( s β a ) e β t ( s β a ) β ] 0 c β = = c β + β lim β [ β ( s β a ) e β c ( s β a ) β β β ( s β a ) e 0 β ] = = s β a 1 β β Dato n β N n \in \N n β N a β C a\in\C a β C
L [ t n e a t ] = n ! ( s β a ) n + 1 \mathcal{L}[t^n e^{at}] = \frac{n!}{(s-a)^{n+1}} L [ t n e a t ] = ( s β a ) n + 1 n ! β Se f ( t ) = 0 f(t)=0 f ( t ) = 0 t < 0 t < 0 t < 0
gradino unitario: f ( t ) = t 0 f(t)=t^0 f ( t ) = t 0
rampa unitaria: f ( t ) = t 1 f(t)=t^1 f ( t ) = t 1
esponenziale monolatero: f ( t ) = t 0 e a t f(t)=t^0 e^{at} f ( t ) = t 0 e a t
Un numero reale Γ¨ un numero complesso con parte immaginaria nulla:
Ξ± β C β§ Im { Ξ± } = 0 β
β βΉ β
β Ξ± β R β C \alpha \in \C \land \text{Im}\{\alpha\}=0 \implies \alpha \in \R \sube \C Ξ± β C β§ Im { Ξ± } = 0 βΉ Ξ± β R β C Grazie alla formule di Eulero si puΓ² scrivere:
sin β‘ ( Ο t ) = [ e j Ο t β e β j Ο t ] 1 2 j \sin(\omega t) = \bigg[e^{j\omega t}-e^{-j\omega t} \bigg]\frac{1}{2j} sin ( Ο t ) = [ e j Ο t β e β j Ο t ] 2 j 1 β cos β‘ ( Ο t ) = [ e j Ο t + e β j Ο t ] 1 2 \cos(\omega t) = \bigg[e^{j\omega t}+e^{-j\omega t} \bigg]\frac{1}{2} cos ( Ο t ) = [ e j Ο t + e β j Ο t ] 2 1 β Trasformata dellβimpulso Delta di Dirac:
L [ Ξ΄ ( t ) ] = 1 \mathcal{L}[\delta(t)] = 1 L [ Ξ΄ ( t )] = 1 Trasformata parabola unitaria:
f ( t ) = t 2 / 2 β
β βΉ β
β L [ f ( t ) ] = 1 s 3 f(t) = t^2/2 \implies \mathcal{L}[f(t)] =\frac{1}{s^3} f ( t ) = t 2 /2 βΉ L [ f ( t )] = s 3 1 β La rampa unitaria Γ¨ la bisettrice del 1Β° quadrante. Inoltre, Γ¨ la derivata della parabola unitaria.
f ( t ) = { t t β₯ 0 0 t < 0 L [ f ( t ) ] = β« 0 β t e β s t d t = 1 s 2 \begin{aligned}
f(t) &= \begin{cases}
t \quad & t \geq 0\\
0 \quad & t < 0
\end{cases} \\
\mathcal{L}[f(t)] &= \int_{0}^{\infty} t e^{-st}dt =\frac{1}{s^2}
\end{aligned} f ( t ) L [ f ( t )] β = { t 0 β t β₯ 0 t < 0 β = β« 0 β β t e β s t d t = s 2 1 β β f ( t ) = t 2 2 ; L [ f ( t ) ] = 1 s 3 f(t) = \frac{t^2}{2} \quad ; \quad \mathcal{L}[f(t)] = \frac{1}{s^3} f ( t ) = 2 t 2 β ; L [ f ( t )] = s 3 1 β Trasformata di sinusoide e cosinusoide:
L [ sin β‘ ( Ο t ) ] = Ο s 2 + Ο 2 \mathcal{L} \Big[\sin(\omega t)\Big] = \frac{\omega}{s^2+\omega^2} L [ sin ( Ο t ) ] = s 2 + Ο 2 Ο β L [ cos β‘ ( Ο t ) ] = s s 2 + Ο 2 \mathcal{L} \Big[\cos(\omega t)\Big] = \frac{s}{s^2+\omega^2} L [ cos ( Ο t ) ] = s 2 + Ο 2 s β