Trasformate di Laplace applicata alle funzioni di trasferimento di sistemi LTI.
Definizione
I modelli descrittivi dei sistemi LTI possono anche essere espressi con equazioni differenziali di ordine n , del tipo:
∑ j = 0 n a j d j y d t j = ∑ j = 0 m b j d j u d t j ⟹ a 0 y ( t ) + ⋯ + a n d n y d t n = b 0 u ( t ) + ⋯ + b m d m u d t m \sum_{j=0}^n a_j \frac{d^j y}{dt^j} = \sum_{j=0}^m b_j \frac{d^j u}{dt^j} \\
\implies a_0 y(t) + \dots + a_n \frac{d^n y}{dt^n} = b_0 u(t) + \dots + b_m \frac{d^m u}{dt^m} j = 0 ∑ n a j d t j d j y = j = 0 ∑ m b j d t j d j u ⟹ a 0 y ( t ) + ⋯ + a n d t n d n y = b 0 u ( t ) + ⋯ + b m d t m d m u L’indice n è il massimo ordine della derivata della funzione di uscita y ( t ) y(t) y ( t ) m è il massimo ordine della derivata dell’ingresso u ( t ) u(t) u ( t )
La condizione n ≥ m n \geq m n ≥ m
Un modello matematico fisicamente realizzabile descrive un sistema causale (o non anticipativo ).
La trasformazione funzionale più utile per l’analisi di equazioni differenziali è quella di Laplace. Data una funzione nel tempo f ( t ) f(t) f ( t )
F ( s ) = L [ f ( t ) ] = ∫ 0 ∞ f ( t ) e − s t d t F(s) = \mathcal{L} [f(t)] = \int_0^{\infty} f(t)e^{-st} dt F ( s ) = L [ f ( t )] = ∫ 0 ∞ f ( t ) e − s t d t L’antitrasformata di Laplace è:
f ( t ) = L [ F ( s ) ] − 1 = 1 2 π j ∫ σ 0 − j ∞ σ 0 + ∞ F ( s ) e s t d s f(t) = \mathcal{L} [F(s)]^{-1} = \frac{1}{2\pi j} \int_{\sigma_0 -j\infty}^{\sigma_0 +\infty} F(s)e^{st} ds f ( t ) = L [ F ( s ) ] − 1 = 2 πj 1 ∫ σ 0 − j ∞ σ 0 + ∞ F ( s ) e s t d s Il piano di Gauss è il piano complesso. La rappresentazione cartesiana di s è:
s = σ + j ω = ℜ { s } + j ℑ { s } s = \sigma + j\omega = \Re\{s\}+ j\Im\{s\} s = σ + jω = ℜ { s } + j ℑ { s } Dato il modulo ρ \rho ρ φ \varphi φ s è:
s = ρ e j φ = ρ ( cos ( φ ) + j sin ( φ ) ) s = \rho e^{j\varphi}=\rho\big(\cos(\varphi)+j\sin(\varphi)\big) s = ρ e j φ = ρ ( cos ( φ ) + j sin ( φ ) ) Data la relazione:
e j φ = cos ( φ ) + j sin ( φ ) e^{j\varphi}=\cos(\varphi)+j\sin(\varphi) e j φ = cos ( φ ) + j sin ( φ ) Si ricavano le seguenti formule:
σ = ρ cos ( φ ) ω = ρ sin ( φ ) ρ = σ 2 + ω 2 φ = arctan ( ω σ ) π 2 ( 1 − sgn ( σ ) ) sgn ( ω ) \eq{
\sigma &= \rho \cos(\varphi)\\
\omega &= \rho \sin(\varphi)\\
\rho &= \sqrt{\sigma^2 + \omega^2}\\
\varphi &= \arctan\bigg(\frac{\omega}{\sigma}\bigg)\frac{\pi}{2}\Big(1-\text{sgn}(\sigma) \Big)\text{sgn}(\omega)
} σ ω ρ φ = ρ cos ( φ ) = ρ sin ( φ ) = σ 2 + ω 2 = arctan ( σ ω ) 2 π ( 1 − sgn ( σ ) ) sgn ( ω ) Proprietà
Linearità:
L [ α f 1 ( t ) + β f 2 ( t ) ] = α F 1 ( s ) + β F 2 ( s ) \mathcal{L}[\alpha f_1(t)+\beta f_2(t)] = \alpha F_1(s)+\beta F_2(s) L [ α f 1 ( t ) + β f 2 ( t )] = α F 1 ( s ) + β F 2 ( s ) F ( s ∗ ) = F ∗ ( s ) F(s^*) = F^* (s) F ( s ∗ ) = F ∗ ( s ) La messa in scala:
f ( α t ) ⟺ 1 a F ( s a ) f(\alpha t) \iff \frac{1}{a} F\bigg(\frac{s}{a} \bigg) f ( α t ) ⟺ a 1 F ( a s ) Traslazione nel tempo:
L [ f ( t − t 0 ) ] = e − t 0 s F ( s ) \mathcal{L}[f(t-t_0)] = e^{-t_0 s} F(s) L [ f ( t − t 0 )] = e − t 0 s F ( s ) Trasformata dell’integrale:
L [ ∫ 0 t f ( τ ) d τ ] = 1 s F ( s ) \mathcal{L} \bigg[\int_0^t f(\tau)d\tau \bigg] = \frac{1}{s} F(s) L [ ∫ 0 t f ( τ ) d τ ] = s 1 F ( s ) Trasformata della derivata:
L [ d f ( t ) d t ] = s F ( s ) − f ( 0 + ) \mathcal{L} \bigg[\frac{d f(t)}{dt} \bigg] = s F(s)-f(0^+) L [ d t df ( t ) ] = s F ( s ) − f ( 0 + ) Teorema della traslazione in s :
L [ e a t f ( t ) ] = F ( s − a ) \mathcal{L} \bigg[e^{at} f(t)\bigg] = F(s-a) L [ e a t f ( t ) ] = F ( s − a ) Teorema della trasformata dell’integrale di convoluzione:
L [ ∫ 0 ∞ f 1 ( τ ) f 2 ( t − τ ) d τ ] = F 1 ( s ) F 2 ( s ) \mathcal{L} \bigg[\int_0^{\infty} f_1 (\tau) f_2 (t-\tau)d\tau\bigg] = F_1(s) F_2(s) L [ ∫ 0 ∞ f 1 ( τ ) f 2 ( t − τ ) d τ ] = F 1 ( s ) F 2 ( s ) Le proprietà che seguono valgono se il limite di f ( t ) f(t) f ( t ) F ( s ) F(s) F ( s ) Q \mathbb{Q} Q ∈ N \in \N ∈ N
Teorema del valore iniziale:
lim t → 0 + f ( t ) = lim s → ∞ s F ( s ) \lim_{t \to 0^+} f(t) = \lim_{s \to \infty} sF(s) t → 0 + lim f ( t ) = s → ∞ lim s F ( s ) Teorema del valore finale:
lim t → ∞ f ( t ) = lim s → 0 s F ( s ) \lim_{t \to \infty} f(t) = \lim_{s \to 0} sF(s) t → ∞ lim f ( t ) = s → 0 lim s F ( s ) Trasformata di una funzione periodica:
Dato il periodo T , sia f ( t ) f(t) f ( t ) 0 ≤ t ≤ T 0\leq t \leq T 0 ≤ t ≤ T f p ( t ) f_p(t) f p ( t ) f ( t ) f(t) f ( t )
L [ f p ( t ) ] = F ( s ) 1 − e T s \mathcal{L} \bigg[f_p(t)\bigg] = \frac{F(s)}{1-e^{Ts}} L [ f p ( t ) ] = 1 − e T s F ( s ) Segnali Noti
Trasformata di segnale a gradino unitario:
L [ u ( t ) ] = ∫ 0 ∞ e − s t d t = = lim c → + ∞ ∫ 0 c e − s t d t = = lim c → + ∞ [ e − s t − s ] 0 c = lim c → + ∞ [ e − s c − s + e 0 s ] = 1 s \eq{
\mathcal{L}[u(t)] &= \int_0^{\infty} e^{-st}dt =\\
&= \lim_{c \to +\infty}\int_0^c e^{-st}dt =\\
&= \lim_{c \to +\infty} \bigg[\frac{e^{-st}}{-s}\bigg]_0^c \\
&= \lim_{c \to +\infty} \bigg[\frac{e^{-sc}}{-s}+\frac{e^0}{s}\bigg]
=\frac{1}{s}
} L [ u ( t )] = ∫ 0 ∞ e − s t d t = = c → + ∞ lim ∫ 0 c e − s t d t = = c → + ∞ lim [ − s e − s t ] 0 c = c → + ∞ lim [ − s e − sc + s e 0 ] = s 1 N.B. lim c → + ∞ e − c = 0 \lim_{c \to +\infty} e^{-c} = 0 lim c → + ∞ e − c = 0
Trasformata di segnale esponenziale monolatero:
f ( t ) = { e a t t ≥ 0 0 t < 0 f(t) = \sis{
e^{at} \quad & t \geq 0\\
0 \quad & t < 0
} f ( t ) = { e a t 0 t ≥ 0 t < 0 Allora la trasformata è:
L [ f ( t ) ] = ∫ 0 ∞ e a t e − s t d t = = lim c → + ∞ ∫ 0 c e a t − s t d t = = lim c → + ∞ [ e − t ( s − a ) − ( s − a ) ] 0 c = = lim c → + ∞ [ e − c ( s − a ) − ( s − a ) − e 0 − ( s − a ) ] = = 1 s − a \eq{
\mathcal{L}[f(t)] &= \int_0^{\infty} e^{at} e^{-st}dt =\\
&= \lim_{c \to +\infty}\int_0^c e^{at-st}dt =\\
&= \lim_{c \to +\infty}\bigg[\frac{e^{-t(s-a)}}{-(s-a)}\bigg]_0^c =\\
&= \lim_{c \to +\infty}\bigg[\frac{e^{-c(s-a)}}{-(s-a)}-\frac{e^0}{-(s-a)}\bigg] =\\
&= \frac{1}{s-a}
} L [ f ( t )] = ∫ 0 ∞ e a t e − s t d t = = c → + ∞ lim ∫ 0 c e a t − s t d t = = c → + ∞ lim [ − ( s − a ) e − t ( s − a ) ] 0 c = = c → + ∞ lim [ − ( s − a ) e − c ( s − a ) − − ( s − a ) e 0 ] = = s − a 1 Dato n ∈ N n \in \N n ∈ N a ∈ C a\in\C a ∈ C
L [ t n e a t ] = n ! ( s − a ) n + 1 \mathcal{L}[t^n e^{at}] = \frac{n!}{(s-a)^{n+1}} L [ t n e a t ] = ( s − a ) n + 1 n ! Se f ( t ) = 0 f(t)=0 f ( t ) = 0 t < 0 t < 0 t < 0
gradino unitario: f ( t ) = t 0 f(t)=t^0 f ( t ) = t 0
rampa unitaria: f ( t ) = t 1 f(t)=t^1 f ( t ) = t 1
esponenziale monolatero: f ( t ) = t 0 e a t f(t)=t^0 e^{at} f ( t ) = t 0 e a t
In numero reale è un numero complesso con parte immaginaria nulla:
α ∈ C ∧ ℑ [ α ] = 0 ⟹ α ∈ R ⊆ C \alpha \in \C \land \Im{[\alpha]}=0 \implies \alpha \in \R \sube \C α ∈ C ∧ ℑ [ α ] = 0 ⟹ α ∈ R ⊆ C Grazie alla formule di Eulero si può scrivere:
sin ( ω t ) = [ e j ω t − e − j ω t ] 1 2 j \sin(\omega t) = \bigg[e^{j\omega t}-e^{-j\omega t} \bigg]\frac{1}{2j} sin ( ω t ) = [ e jω t − e − jω t ] 2 j 1 cos ( ω t ) = [ e j ω t + e − j ω t ] 1 2 \cos(\omega t) = \bigg[e^{j\omega t}+e^{-j\omega t} \bigg]\frac{1}{2} cos ( ω t ) = [ e jω t + e − jω t ] 2 1 Trasformata dell’impulso Delta di Dirac:
L [ δ ( t ) ] = 1 \mathcal{L}[\delta(t)] = 1 L [ δ ( t )] = 1 Trasformata parabola unitaria:
f ( t ) = t 2 / 2 ⟹ L [ f ( t ) ] = 1 s 3 f(t) = t^2/2 \implies \mathcal{L}[f(t)] =\frac{1}{s^3} f ( t ) = t 2 /2 ⟹ L [ f ( t )] = s 3 1 Trasformata rampa unitaria:
La rampa unitaria è la bisettrice del 1° quadrante. Inoltre, è la derivata della parabola unitaria.
f ( t ) = { t t ≥ 0 0 t < 0 L [ f ( t ) ] = ∫ 0 ∞ t e − s t d t = 1 s 2 \eq{
f(t) &= \sis{
t \quad & t \geq 0\\
0 \quad & t < 0
}\\
\mathcal{L}[f(t)] &= \int_{0}^{\infty} t e^{-st}dt =\frac{1}{s^2}
} f ( t ) L [ f ( t )] = { t 0 t ≥ 0 t < 0 = ∫ 0 ∞ t e − s t d t = s 2 1 Trasformata sinusoide e cosinusoide:
L [ sin ( ω t ) ] = ω s 2 + ω 2 L [ cos ( ω t ) ] = s s 2 + ω 2 \mathcal{L} \Big[\sin(\omega t)\Big] = \frac{\omega}{s^2+\omega^2}\\
\mathcal{L} \Big[\cos(\omega t)\Big] = \frac{s}{s^2+\omega^2} L [ sin ( ω t ) ] = s 2 + ω 2 ω L [ cos ( ω t ) ] = s 2 + ω 2 s