Modulazione

Introduzione

Per comprendere il significato della parola modulazione, è necessario analizzare un generico sistema di comunicazione. Il segnale sorgente S viene trasmesso dal trasmettitore TX attraverso un canale C. Il sorgente viene ricevuto dal ricevitore RX e consegnato al destinatario D.

Schema a blocchi di un sistema di comunicazione:

$$\boxed{\rm sorgente \;\bold{S}} \\ \downarrow \\ \boxed{\rm trasmettitore \;\bold{TX}} \\ \downarrow \\ \boxed{\rm canale \;\bold{C}} \\ \downarrow \\ \boxed{\rm ricevitore \;\bold{RX}} \\ \downarrow \\ \boxed{\rm destinatario \;\bold{D}}$$

Il componente TX deve effettuare principalmente due operazioni, che RX dovrà poi rifare al contrario:

1. amplificazione
2. modulazione (adattamento in banda)

Il componente fisico che attua l’operazione di modulazione è il modulatore, mentre il componente in ricezione che attua l’operazione di demodulazione è il demodulatore, integrati rispettivamente nel trasmettitore e nel ricevitore. In un sistema di ricetrasmissione, i suddetti componenti sono riuniti sotto la definizione di modem (dall’unione di MOdulazione e DEModulazione).

Il componente fisico che effettua la modulazione riceve in input un segnale portante periodico ed un segnale modulante $x(t)$ per fornire in output un segnale modulato $s(t)$, ottenuto mediante la variazione di uno o più parametri del portante attraverso l’intercessione del modulante. Il segnale modulante rappresenta l’informazione da trasmettere.

Il segnale portante sinusoidale è indicato con $s_0(t)$, mentre il segnale con portante impulsiva è indicato con $p_0(t)$.

Modulazione con portante sinusoidale

Una delle modulazioni maggiormente studiata è quella a portante sinusoidale $s_0(t)$, da cui si ottiene, nella sua forma generale, il segnale modulato $s(t)$:

$$\eq{ s_0(t) &= V_0 \cos\big(2\pi f_0t-\varphi_0\big) \\ \implies s(t) &= V(t)\cos\big(\varphi(t)\big) }$$

I segnali $s_0(t)$ ed $s(t)$ possiedono i seguenti parametri caratteristici:

• ampiezza $V_0$,
• fase iniziale $\varphi_0$,
• frequenza $f_0$,
• ampiezza istantanea $V(t)$ con il vincolo $V(t) \geq 0$,
• fase istantanea $\varphi(t)$,

Da tali parametri si ottengono diverse funzioni. Deviazione di fase $\alpha(t)$:

$$\alpha(t)=\varphi(t)-2\pi f_0 t + \varphi_0$$

Pulsazione istantanea $\omega(t)$:

$$\omega(t)=\frac{d\varphi(t)}{dt}$$

Frequenza istantanea $f(t)$:

$$f(t)=\frac{\omega(t)}{2\pi}$$

Deviazione di frequenza $\Delta f(t)$:

$$\Delta f(t)=f(t)-f_0=\frac{1}{2\pi}\frac{d\alpha (t)}{dt}$$

Deviazione di ampiezza $\Delta V(t)$:

$$\Delta V(t)=V(t)-V_0$$

Deviazione relativa di ampiezza $m(t)$:

$$m(t)=\frac{\Delta V(t)}{V_0}= \frac{V(t)}{V_0}-1$$

Si osserva che la deviazione di frequenza è strettamente legata alla deviazione di fase:

$$\alpha (t) = 2 \pi \int_{-\infty}^t \Delta f(\tau)d\tau$$

Per poter illustrare i principali formati di modulazione, è opportuno fornire la seguente forma del segnale modulato:

$$s(t) = V_0\big[1+m(t)\big] \cos\big(2\pi f_0t -\varphi_0 +\alpha(t)\big)$$

---

Data la formula di Eulero $e^{j\theta} = \cos(\theta)+j\sin(\theta)$, si ricava la seguente relazione:

$$Ae^{j\varphi}=A\cos(\varphi)+jA\sin(\varphi) \\ \implies \text{Re}[Ae^{j\varphi}]=A\cos(\varphi)$$

Dato l’inviluppo complesso del segnale modulato:

$$i(t)= V_0\big[1+m(t)\big] e^{j\alpha(t)}e^{-j\varphi_0}$$

Il segnale modulato, in forma generale, si può scrivere:

$$s(t)=\text{Re}\bigg[i(t)e^{j2\pi f_0 t}\bigg]$$

---

Lo script d’esempio segnali_modulati ha il seguente segnale modulante in ingresso:

$$\eq{ x(t)=& \big[\text{sgn}(t)-\text{sgn}\big(t-0.5\big)\big]/2 +\\ -&\big[1-|(t-0.75)\cdot 4 |\big] \cdot \\ \cdot &\big[\text{sgn}(t-0.5)-\text{sgn}(t-1)\big]/2 }$$

Npunti=1000;
durata=100;
y_dim = Npunti*durata;

tempo=0:(1/Npunti):durata-1/Npunti;
x= 1*(sign(tempo)-sign(tempo-0.5))*0.5-(1-abs((tempo-0.75)/0.25)).*(sign(tempo-0.5)-sign(tempo-1))*0.5+0*(sign(tempo-1)+1)*0.5;

figure; plot(tempo,x,LineWidth=1.5);

Principali Formati di Modulazione

Modulazione in Ampiezza

La modulazione in ampiezza (AM) fa uso di $x(t)$ per modificare $m(t)$, ovvero la funzione deviazione relativa di ampiezza. Data la sensibilità di modulazione di ampiezza $k_A$, si può definire il seguente sistema:

$$\eq{ & \sis{ m(t) = k_A \cdot x(t) \\ \\ \alpha(t) = 0 \\ \\ \Delta f(t) = 0 } \\ \\ \implies & s(t) = V_0\big[1+k_A \cdot x(t)\big] \cos\big(2\pi f_0t -\varphi_0\big) }$$

Il contorno del segnale modulato è detto inviluppo, calcolato grazie alla funzione envelop di MATLAB.

% ...
V0=10; % ampiezza portante
f0=30; % frequenza normalizzata portante
KA=0.5;
sAM=V0*(1+KA*x).*cos(2*pi*f0*tempo);
[up,lo] = envelope(sAM); % inviluppo del segnale

figure;
plot(tempo,sAM,LineWidth=1.5); hold on;
plot(tempo,up,'-',tempo,lo,'-',LineWidth=1.5, Color=[1 0 0])

Modulazione di Fase

La modulazione di fase (PM, da phase) fa uso di $x(t)$ per modificare $\alpha(t)$. Data la sensibilità di modulazione di fase $k_P$, si può definire il seguente sistema:

$$\eq{ & \sis{ m(t) = 0 \\ \\ \alpha(t) = k_P \cdot x(t) \\ \\ \Delta f(t) = \frac{k_P}{2\pi} \frac{dx(t)}{dt} } \\ \\ \implies & s(t) = V_0\cos\big(2\pi f_0t -\varphi_0 + k_P \cdot x(t) \big) }$$

KP=(2*pi*1.5);
sPM=V0*cos(2*pi*f0*tempo+KP*x);
figure;
plot(tempo,sPM,LineWidth=1.5);

Intervenire sulla fase equivale ad intervenire sulla frequenza:

$$\Delta f(t)=\frac{1}{2\pi}\frac{d\alpha(t)}{dt}=\frac{k_P}{2\pi}\frac{d x(t)}{dt}$$

---

Dato un segnale modulante con ampiezza $X_m$, frequenza $f_m$ e fase $\varphi_m$:

$$x(t)=X_m \cos(2\pi f_m t +\varphi_m)$$

Dato $\psi = \varphi_m + \pi/2$, allora $m=k_P X_m$ e ne consegue che:

$$\eq{ \alpha (t) &= m\sin(2\pi f_m t + \psi) \\ x(t)&=X_m \sin(2\pi f_m t + \psi) }$$

La deviazione di frequenza risulta essere:

$$\eq{ \Delta f(t) &= \frac{k_P}{2\pi} \frac{dx(t)}{dt} =\\ &= \frac{k_P}{2\pi} X_m 2 \pi f_m \cos(2\pi f_m t + \psi) =\\ &= m f_m \cos(2\pi f_m t + \psi) }$$

Il cui massimo è $\Delta f_{\max}=\max|\Delta f(t)|=m f_m$

Si osserva che la funzione seno è un coseno anticipato di $\pi/2$.

$$\cos(\varphi_m) = \sin\bigg(\varphi_m+\frac{\pi}{2} \bigg)=\sin(\psi)$$

Modulazione di Frequenza

La modulazione di frequenza (FM) fa uso di $x(t)$ per intervenire sulla deviazione di frequenza. Data la sensibilità di modulazione di frequenza $k_F$, si può definire il seguente sistema:

$$\eq{ & \sis{ m(t) = 0 \\ \\ \alpha(t) = 2\pi k_F \int_{-\infty}^t x(\tau) d\tau \\ \\ \Delta f(t) = k_F \cdot x(t) } \\ \\ \implies & s(t) = V_0\cos\bigg(2\pi f_0t -\varphi_0 + 2\pi k_F \int_{-\infty}^t x(\tau) d\tau \bigg) }$$

KF=15;
sFM=V0*cos(2*pi*f0*tempo+(2*pi*KF)*y);
figure;
plot(tempo,sFM,LineWidth=1.5);

Dato, come in precedenza $x(t)=X_m \cos(2\pi f_m t +\varphi_m)$, allora dato $\psi = \varphi_m$ e $m=(k_F X_m)/f_m$ ne consegue che:

$$\alpha(t)=k_F X_m \sin\bigg(2\pi f_m t + \varphi_m \bigg)\frac{1}{f_m} = m \sin\bigg(2\pi f_m t + \psi \bigg)$$

La deviazione di frequenza risulta essere:

$$\Delta f(t) = k_F \cdot x(t) = k_F X_m \cos(2\pi f_m t + \psi) = m f_m \cos(2\pi f_m t + \psi)$$

Si osservino le seguenti implicazioni:

$$\eq{ m&=\frac{k_F X_m}{f_m}\\ \implies &\frac{f_m}{k_F X_m}=\frac{1}{m}\\ \implies & f_m=\frac{k_F X_m}{m}\\ \implies & m f_m = k_F X_m }$$

Funzione di Bessel e Banda di Carlson

Data $J_n (m)$ funzione di Bessel di 1° specie di ordine n definita come:

$$\large J_n(m)=\frac{1}{2\pi} \int_{-\pi}^{\pi} e^{j[m\sin(x)-nx]}dx$$

Dopo innumerevoli peripezie si ricava che, nei casi PM ed FM:

$$s(t)=\sum_{n=-\infty}^{\infty} V_0 J_n(m) \cos \bigg[ 2\pi(f_0+n f_m)t + n \psi \bigg]$$

function bessel_formula

z = 0:0.1:20;
j = zeros(5,201);

for i =0:4
    j(i+1,:)=besselj(i,z);
end

plot(z,j)
hold on
plot(z, zeros(size(z)), 'Color', '#808080', 'LineStyle','--')
legend('$J_n(m)$','Interpreter','latex', 'FontSize', 22)
title('Funzione di Bessel')

end

La formula empirica per la banda dei segnali PM ed FM è la banda di Carlson, che è così definita:

$$B_C = 2(\Delta f_{\max} + f_m)$$

Il caso sinusoidale:

$$\Delta f_{\max} = m f_m \implies B_C = 2 f_m(m + 1)$$

La formula per la banda dei segnali AM è invece:

$$B = 2 f_m$$

Indici di modulazione

$m_A=\max|m(t)|$ è l’indice di modulazione di ampiezza. $m_P=\max|\alpha(t)|$ è l’indice di modulazione di fase. Data $f_M$ la banda del segnale modulante $x(t)$. Il rapporto di deviazione per la modulazione di frequenza è:

$$D=\frac{\max|\Delta f(t)|}{f_M}$$

se la banda $f_M$ è limitata.

Caso d’uso reale

AM, PM ed FM sono le categorie principali di modulazione con portante sinusoidale. PM ed FM sono chiamate modulazioni angolari:

$$\bold{PM}=\frac{d}{dt}+\bold{FM}\quad ;\quad \bold{FM}= \int_{-\infty}^Tdt+\bold{PM}$$

Visto che è più facile costruire un modulatore FM, un modulatore PM si ottiene grazie ad un PM preceduto da un filtro di derivazione.

---

La modulazione viene applicata perché i segnali modulanti, che rappresentano le informazioni da trasmettere, sono principalmente di natura passa-basso. Il contenuto spettrale di tali segnali è concentrato nelle basse frequenze e servirebbero dunque antenne chilometriche per permetterne la ricetrasmissione. È necessario convertire in frequenza lo spettro del segnale modulante.

Risulta necessario studiare il segnale modulante e modulato nel dominio delle frequenze, applicando loro la trasformata di Fourier (usando la funzione fft fornita da MATLAB).

% ...

lunghezzaFft=length(x);
X=fft(x,lunghezzaFft)*(1/Npunti);
X=[X(lunghezzaFft/2+1:lunghezzaFft) X(1:lunghezzaFft/2)];
frequenza=Npunti*linspace(-0.5,0.5-1/lunghezzaFft,lunghezzaFft);

figure;
plot(frequenza,abs(X),LineWidth=1.5);

Nel caso della modulazione AM si ottiene:

lunghezzaFft=length(sAM);
S=fft(sAM,lunghezzaFft)*(1/Npunti);
S=[S(lunghezzaFft/2+1:lunghezzaFft) S(1:lunghezzaFft/2)];
frequenza=Npunti*linspace(-0.5,0.5-1/lunghezzaFft,lunghezzaFft);

figure;
plot(frequenza,abs(S),LineWidth=1.5);

In modo analogo si ottengono le trasformate di segnali modulati PM ed FM:

Lo script completo è:

function segnali_modulati

Npunti=1000;
durata=100; % [s] durata della finestra temporale per la trasformata
y_dim = Npunti*durata;

tempo=0:(1/Npunti):durata-1/Npunti;
x= 1*(sign(tempo)-sign(tempo-0.5))*0.5-(1-abs((tempo-0.75)/0.25)).*(sign(tempo-0.5)-sign(tempo-1))*0.5+0*(sign(tempo-1)+1)*0.5;

V0=10; % ampiezza portante
f0=30; % frequenza normalizzata portante
KA=0.5;
KP=(2*pi*1.5);
KF=15;

sAM= V0*(1+KA*x).*cos(2*pi*f0*tempo);
sPM= V0*cos(2*pi*f0*tempo+KP*x);
y = zeros(1, y_dim);
for i=0:1:y_dim-1
    y(i+1)=sum(x(1:i+1))*1/Npunti;
end % integrale approssimato del segnale modulante

% fprintf("»»» size y = %d\n", Npunti*durata-1);

sFM= V0*cos(2*pi*f0*tempo+(2*pi*KF)*y);

figure;
plot(tempo,x,LineWidth=1.5);
xlabel('Tempo (normalizzato)', FontSize=16);
ylabel('x(t)',FontSize=16);
grid on;
axis([0 1 -1.5 1.5]);

[up,lo] = envelope(sAM); % inviluppo del segnale
figure;
plot(tempo,sAM,LineWidth=1.5);
hold on;
plot(tempo,up,'-',tempo,lo,'-',LineWidth=1.5, Color=[1 0 0])
xlabel('Tempo (normalizzato)', FontSize=16);
ylabel('s_{AM}(t)', FontSize=16);
grid on;
axis([0 1 -20 20]);
legend('s_{AM}(t)', 'envelope', FontSize=16)

figure;
plot(tempo,sPM,LineWidth=1.5);
xlabel('Tempo (normalizzato)', FontSize=16);
ylabel('s_{PM}(t)', FontSize=16);
grid on;
axis([0 1 -20 20]);

figure;
plot(tempo,sFM,LineWidth=1.5);
xlabel('Tempo (normalizzato)', FontSize=16);
ylabel('s_{FM}(t)', FontSize=16);
grid on;
axis([0 1 -20 20]);

% trasformata di fourier x(t)
%lunghezzaFft=2^(nextpow2(length(x))+1);
lunghezzaFft=length(x);
X=fft(x,lunghezzaFft)*(1/Npunti);
X=[X(lunghezzaFft/2+1:lunghezzaFft) X(1:lunghezzaFft/2)];
frequenza=Npunti*linspace(-0.5,0.5-1/lunghezzaFft,lunghezzaFft);
figure;
plot(frequenza,abs(X),LineWidth=1.5);
xlabel('Frequenza (normalizzata)', FontSize=16);
ylabel('|X(f)|', FontSize=16);
grid on;
axis([-10 10 0 1.2*max(abs(X))]);

% trasformata di fourier sAM(t)
lunghezzaFft=length(sAM);
S=fft(sAM,lunghezzaFft)*(1/(Npunti));
S=[S(lunghezzaFft/2+1:lunghezzaFft) S(1:lunghezzaFft/2)];
frequenza=Npunti*linspace(-0.5,0.5-1/lunghezzaFft,lunghezzaFft);
figure;
plot(frequenza,abs(S),LineWidth=1.5);
xlabel('Frequenza (normalizzata)', FontSize=16);
ylabel('|S_{AM}(f)|', FontSize=16);
grid on;
axis([-50 50 0 5]);

% trasformata di fourier sPM(t)
lunghezzaFft=length(sPM);
S=fft(sPM,lunghezzaFft)*(1/Npunti);
S=[S(lunghezzaFft/2+1:lunghezzaFft) S(1:lunghezzaFft/2)];
frequenza=Npunti*linspace(-0.5,0.5-1/lunghezzaFft,lunghezzaFft);
figure;
plot(frequenza,abs(S),LineWidth=1.5);
xlabel('Frequenza (normalizzata)', FontSize=16);
ylabel('|S_{PM}(f)|', FontSize=16);
grid on;
axis([-60 60 0 5]);

% trasformata di fourier sFM(t)
lunghezzaFft=length(sFM);
S=fft(sFM,lunghezzaFft)*(1/Npunti);
S=[S(lunghezzaFft/2+1:lunghezzaFft) S(1:lunghezzaFft/2)];
frequenza=Npunti*linspace(-0.5,0.5-1/lunghezzaFft,lunghezzaFft);
figure;
plot(frequenza,abs(S),LineWidth=1.5);
xlabel('Frequenza (normalizzata)', FontSize=16);
ylabel('|S_{FM}(f)|', FontSize=16);
grid on;
axis([-60 60 0 5]);

end

Valutazione spettro segnali AM

Dato $\varphi_0=0$, il segnale modulato diventa:

$$s(t) = V_0\big[1+k_Ax(t)\big] \cos\big(2\pi f_0t\big)$$

Se esiste $X(f)$ trasformata di Fourier del segnale modulante $x(t)$ ed ha banda limitata a $f_M$, allora esiste la trasformata del segnale modulato:

$$S(f)=\frac{V_0}{2}\bigg[\delta(f-f_0)+\delta(f+f_0)\bigg]+\frac{V_0 k_A}{2}X(f-f_0)X(f+f_0)$$

con $f_0 \gg f_M$.

Segnali derivati da AM

Modulazione DSB-SC

Il segnale Double Side Band-Suppressed Carrier (DSB-SC) effettua una modulazione di tipo ibrido.

$$x(t) \longrightarrow \Large\boxed{\text{DSB-SC}} \normalsize \longrightarrow s(t)$$

Vengono tolte le portanti delle Delta di Dirac e il segnale modulato diventa:

$$s(t) = V_0 k_A x(t) \cos\big(2\pi f_0 t\big)$$

Modulazione QAM

La modulazione QAM (Quadrature Amplitude Modulation) utilizza due portanti indipendenti. Infatti $x(t)$ ed $y(t)$ non devono necessariamente avere la stessa banda. Si osserva che le portanti sono in quadratura, con $y(t)$ in anticipo su $x(t)$.

$$\eq{ & x(t) \longrightarrow \\ & y(t) \longrightarrow \\ }\; \Large\boxed{\text{QAM}} \normalsize \longrightarrow s(t)$$

Il segnale modulato è:

$$\eq{ s(t)&= k_A V_0 x(t)\cos(2\pi f_0 t)-k_A V_0 y(t) \sin(2\pi f_0 t) =\\ &=k_A V_0\bigg[ x(t)\cos(2\pi f_0 t) -y(t) \sin(2\pi f_0 t)\bigg] }$$

Trasformazione di Hilbert

$$\Large \xrightarrow{\;x(t)\;} \normalsize \boxed{\begin{gather*}\text{Hilbert}\\ \text{Transformer}\end{gather*}} \Large \xrightarrow{\;x_H(t)\;}\\$$

La risposta in frequenza della trasformazione di Hilbert è:

$$H(f) = -j \cdot\text{sgn}(f) = \sis { -j \quad f>0\\ +j \quad f<0\\ }$$

Tale definizione implica:

$$\eq{ & |H(f)|=1 \\ &\arg(H(f)) = \sis { -\pi/2 \quad f>0\\ +\pi/2 \quad f<0\\ } }$$

La risposta in fase (argomento della risposta in frequenza) porta ad uno sfasamento di $\pm \pi/2$.

La risposta impulsiva è:

$$h(t)=\frac{1}{\pi t}$$

Modulatore SSB

Il modulatore SSB (Single Side Band) è un caso particolare del QAM dove la portante $x_H(t)$ è derivata da $x(t)$​ grazie alla trasformazione di Hilbert.

Le portanti $x(t)$ e $x_H(t)$ e sono in quadratura perché le funzioni seno e coseno hanno uno sfasamento di $\pi/2$ radianti, ovvero $90°$ gradi.

Data la fase $\theta$, si osserva che:

$$\cos(\theta) = \sin\Big(\theta + \frac{\pi}{2}\Big)$$

Risulta quindi evidente che, negli schemi illustrati, il blocco $\boxed{\pi/2}$ applica uno sfasamento di 90°.

Grazie alla moltiplicazione per $-1$ del seno, la portante $x_H(t)$ anticipa $x(t)$​​.

Il segnale $z_1(t)$ è dato da:

$$\eq{ z_1 (t) &= \frac{1}{2} x(t) \cdot k_A V_0 \cos(2\pi f_0 t) =\\ &= \frac{1}{2} k_A V_0 x(t) \cdot \cos(2\pi f_0 t)\\ \implies \mathcal{F}[z_1 (t)] &= \frac{k_A V_0 }{4} \bigg[X(f-f_0)+X(f+f_0)\bigg] }$$

Il segnale $z_2(t)$, considerato lo sfasamento di $\pi/2$ in anticipo, è dato da:

$$\eq{ z_2 (t) &= \frac{1}{2} x_H(t) \cdot k_A V_0 \sin(2\pi f_0 t) =\\ &= \frac{1}{2} k_A V_0 x_H(t) \cdot \sin(2\pi f_0 t)\\ \implies \mathcal{F}[z_2 (t)] &= \frac{k_A V_0 }{4j} \bigg[X_H(f-f_0)-X_H(f+f_0)\bigg] =\\ }$$

$z_2(t)$ è la trasformazione di Hilbert di $z_1(t)$.

Il segnale modulato è la somma tra $z_1(t)$ e $z_2 (t)$:

$$s(t)=\frac{1}{2}k_A V_0\bigg[ x(t)\cos(2\pi f_0 t) -x_H(t) \sin(2\pi f_0 t)\bigg]$$

Demodulazione

La demodulazione può essere effettuata in modo coerente o non coerente. Nel primo caso si utilizza sia $s(t)$ che $s_0(t)$ per ricostruire $x(t)$: questo metodo è sicuramente più resistente ai disturbi ma più difficile da implementare. La portante $s_0(t)$ è stimata o estratta da un altro circuito di sincronizzazione per poter effettuare la demodulazione coerente.

Nel caso di una demodulazione non coerente invece, non si usa $s_0(t)$. Si ricostruisce $x(t)$ in modo più semplice, ma con meno qualità.

Demodulatori di segnali AM e derivati

Sono coerenti in quanto hanno portante nota.

Data la costante di demodulazione $k_D$, il demodulatore a prodotto si costruisce tramite:

$$y(t)=s(t) \cdot \big( k_D \cos(2\pi f_0 t)\big)$$

Tale funzione viene filtrata da un passa-basso:

$$\Large \xrightarrow{y(t)} \boxed{\text{Low Pass}} \xrightarrow{u(t)}$$

In questo caso $u(t)$ non è la funzione gradino, ma l’uscita del demodulatore. Sono omesse, ma sarebbero possibili, le verifiche per AM, DSB-SC, SSB e VSB.

Demodulatore QAM

demodulatore QAM non è coerente. In primo luogo, si utilizzano due blocchi moltiplicatori aventi in ingresso $s(t)$ e $k_D\cos(2\pi f_0 t)$. Per contrastare lo sfasamento del modulatore, il secondo blocco moltiplicatore sfasa l’ingresso $k_D\cos(2\pi f_0 t)$ di $\pi/2$​.

$$\eq{ s(t) &\longrightarrow \\ k_D\cos(2\pi f_0 t) &\longrightarrow \\ } \;\Large \bigodot\; \normalsize \longrightarrow V_1 (t)$$ $$\eq{ s(t) &\longrightarrow \\ k_D\cos(2\pi f_0 t) \to \boxed{\pi/2} &\longrightarrow \\ } \;\Large \bigodot\; \normalsize \longrightarrow V_2 (t)$$

Si ottengono le funzioni $V_1(t)$ e $V_2(t)$:

$$\eq{ V_1(t)&=s(t)\cdot k_D\cos(2\pi f_0 t)\\ V_2(t)&=s(t)\cdot k_D\sin(2\pi f_0 t)\\ }$$

Attraverso dei passa-basso, queste funzioni forniscono delle ricostruzioni delle portanti del modulatore:

$$\eq{ & V_1 (t) \longrightarrow \boxed{\text{Low Pass}} \longrightarrow u_1(t)\\ & V_2 (t) \longrightarrow \boxed{\text{Low Pass}} \longrightarrow u_2(t) }$$

Il segnale di uscita $u_1(t)$ è una ricostruzione della portante $x(t)$, mentre l’uscita $u_2(t)$ è una ricostruzione della portante $y(t)$.

Da cui si ottengono i segnali di uscita:

$$\eq{ u_1(t)&=\frac{k_A k_D V_0}{2}x(t)\\ \\ u_2(t)&=\frac{k_A k_D V_0}{2}y(t)\\ }$$

Si noti che $s(t)$ è nella forma espressa dal paragrafo Modulazione QAM.

Demodulatore FM non coerente

Lo schema con discriminatore è il seguente:

$$\Large \xrightarrow{\;s(t)\;} \boxed{\rm DISC.} \xrightarrow{\;y(t)\;} \boxed{\text{DEM. AM}} \xrightarrow{\;u(t)\;}$$

Si ricorda che, nel caso di modulazione in frequenza, si hanno:

$$\eq{ s(t) &= V_0\cos\big(2\pi f_0t + \alpha(t) \big)\\ \Delta f(t) &= k_F \cdot x(t) }$$

Esempio: Si prenda un segnale modulato in frequenza che abbia un blocco discriminatore che riporti tale output:

$$y(t)= k_D \cdot \frac{d}{dt} s(t)$$

Derivando il segnale modulato e moltiplicandolo per la costante data ne consegue:

$$\eq{ y(t)&= k_D V_0\bigg\{-\sin\!\Big[2\pi f_0 t+\alpha(t)\Big]\bigg\}\cdot\bigg[2\pi f_0 +\frac{d\alpha(t)}{dt}\bigg]= \\ &=\bigg[k_D V_0 2\pi f_0 + 2\pi k_F k_D V_0 x(t)\bigg]\cdot\cos\!\bigg(2\pi f_0 t + \alpha (t) +\frac{\pi}{2}\bigg) }$$

---

Esempio applicativo: radio FM monofoniche. Le radio analogiche hanno una frequenza $f_0$ che va da 87.5 a 108 MHz (Mega Hertz). Il segnale modulante può andare da 30 Hz a 15 kHz. La banda del segnale modulante è $f_M = 15 \;\rm kHz$.

$$D = \frac{\Delta f_{\max}}{f_M} = 5 \implies \Delta f_{\max} = 5f_M = 75\;\rm kHz$$

La banda di Carlson, ovvero la banda impegnata da ogni canale radio, è:

$$B_C = 2(\Delta f_{\max} + f_m) = 180\;\rm kHz$$

Modulazione con portante impulsiva

Il segnale portante $p_0(t)$ è una ripetizione periodica dell’impulso di modulazione $g(t)$:

$$p_0(t) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} g(t-nT)$$

Il segnale modulante $x[n]$ è tempo-discreto e può avere diversa natura:

1. modulante analogico: ottenuto mediante campionamento di un segnale tempo-continuo campionato con intervallo T
2. modulante digitale: $x[n]\in A_M =\{ a_1,\,a_2,\,\dots ,\,a_M \}$ con T tempo di simbolo

Le tipologie più importanti di modulazione con portante impulsiva sono:

• PAM: Pulse Ampitude Modulation
• PCM: Pulse Code Modulation
• PPM: Pulse Position Modulation
• PDM/PWM: Pulse Duration Modulation/Pulse Width Modulation

Segnali PAM

I segnali pulse ampitude modulation hanno un segnale modulato nella forma:

$$y(t)=\sum_{n=-\infty}^{\infty} x[n] \cdot g(t-nT)$$

Se $x[n] \in \R$ è analogico, allora $y(t)$ è una sua interpolazione. Se $x[n] \in A_M$ è digitale, anche $y(t)$ è digitale.

Ad esempio, dati:

$$\eq{ A_M &= \{0;\,1\}\\ g(t)&=\text{rect}(T)\\ G(f)&=\mathcal{F}\bigg[g(t)\bigg]\\ }$$

Allora $y(t)$ è il tipico segnale digitale:

$$\eq{ \text{se } &\exist\mathcal{F}\bigg[x[n]\bigg]=\overline{X}(f)\\ & \implies Y(f)=\overline{X}(f)\cdot G(f) }$$

La demodulazione si applica in modo differente se il segnale è analogico o digitale. Nel primo caso, si può ricostruire $x(t)$ a patto che questo abbia banda B tale che $T<1/(2B)$:

$$\Large \xrightarrow{\;y(t)\;}\boxed{H_E (f)}\xrightarrow{\;x(t)\;}$$

Nel caso si debbia ricostruire un segnale digitale, bisogna preventivamente campionare $y(t)$:

$$\Large \xrightarrow[t_k = t_0 +kT]{\;y(t)\;}\; \normalsize y(t_k)\Large\rightarrow \boxed{\frac{1}{g(t_0)}} \xrightarrow{\;x[k]\;}$$

Questo schema è semplificato, in quanto non prendere in considerazione il rumore.

Segnali PCM e Conversione A/D

Questa paragrafo analizza i componenti necessari per ottenere un segnale modulato con PCM: modulazione a codice d’impulso (pulse code modulation).

$$\Large \xrightarrow[t_n = nT_C]{\;x(t)\;}\; \normalsize\boxed{\; \rm campionamento} \Large \xrightarrow{x[n]\in \R} \normalsize\boxed{\;\rm A/D \;}\Large \xrightarrow[T_b]{\;b[m] \in \{0;\,1\}\;} \normalsize\boxed{\begin{gather*}\text{modulatore}\\ \text{digitale}\end{gather*}} \Large\xrightarrow{\;y(t)\;}$$

Un PCM utilizza una codifica come questa:

$b[m]$	$a[m]$
$0$	$-1$
$1$	$1$

Il blocco del modulatore digitale è internamente costituito dai seguenti blocchi:

$$\Large \xrightarrow[T_b]{\;b[m] \in \{0;\,1\}\;} \normalsize\boxed{\text{ codifica PCM}}\Large \xrightarrow[T_b]{a[m] \in \{-1;\,1\}\;} \normalsize\boxed{\text{ PAM }} \Large \longrightarrow \normalsize y(t) = \sum_{m=-\infty}^{\infty} a[m] \cdot g(t-mT_b)$$

Il blocco $\boxed{\;\rm A/D \;}$ del convertitore analogico/digitale è internamente costituito da:

$$\Large \xrightarrow[T_c]{\;x[n] \in \R\;}\boxed{\; \rm Q \;} \xrightarrow[T_c]{\;q[n] \in C_L\;} \normalsize\boxed{\; \text{codifica binaria} \;}\Large \xrightarrow[l \in \N \rm \;bits]{} \eq{ \longrightarrow \\[-1em] \longrightarrow \\[-1em] \longrightarrow } \boxed{\; \rm P/S \;} \xrightarrow[T_b = T_c/l]{\;b[m] \in \{0;\,1\}\;}$$

Il blocco di quantizzazione $\boxed{\rm Q}$ fornisce l’insieme $C_L =\{C_0,C_1,\dots,C_{L-1}\}$​.

Il blocco $\boxed{\; \rm P/S \;}$ effettua una conversione parallelo-serie, poiché riceve i bit in parallelo e li restituisce in serie.

Dunque, ponendo lo schema in verticale per permettere una migliore lettura, i componenti necessari per ottenere un segnale modulato con PCM sono:

$$\Large x(t) \\ \Large \downarrow \\ \normalsize \boxed{\rm campionamento} \\ \Large\downarrow \\ \Large x[n] \in \R \\ \Large \downarrow \\ \normalsize \boxed{Q} \\ \Large \downarrow \\ \Large q[n] \in C_L \\ \Large \downarrow \\ \normalsize \boxed{\; \text{codifica binaria} \;} \\ \Large \downarrow \\ \Large l \in \N \\ \Large \downdownarrows \\ \normalsize \boxed{ \text{ P/S } } \\ \Large \downarrow \\ \Large b[m] \in \{0;\,1\} \\ \Large \downarrow \\ \normalsize \boxed{ \text{ PCM encode } } \\ \Large \downarrow \\ \Large a[m] \in \{-1;\,1\} \\ \Large \downarrow \\ \normalsize \boxed{ \text{ PAM modulation } } \\ \Large \downarrow \\ \normalsize y(t) = \sum_{m=-\infty}^{\infty} a[m] \cdot g(t-mT_b)$$

La quantizzazione è l’operazione che mappa valori di input che appartengono ad un insieme molto grande e spesso a valori continui (come $\R$), in valori di output definiti per un insieme numerabile (come $C_L$). Grazie al blocco di quantizzazione, si passa da una funzione tempo-discreto definita per tutti i numeri reali, ad una definita solamente per un numero finito di valori: l’insieme $C_L$​​, dove L è il numero di livelli di quantizzazione.

A seguito della codifica binaria di $q[n] \in C_L$, si ottiene il numero di bit necessari per effettuare la quantizzazione. Gli $l$ bit sono un numero intero, potenza del due.

$$\log_2 L \leq l < \log_2 L+1$$

Dato $x(t)$ a banda limitata B, allora:

$$T_c < \frac{1}{2B}\quad ; \quad T_b = \frac{T_c}{l}$$

Il bit-rate $R_b$ è:

$$R_b=\frac{1}{T_b}\;\bigg[\frac{\rm bit}{\rm sec}\bigg] \implies R_b=\frac{l}{T_b}>l\cdot 2B$$

La legge di quantizzazione è data da Q:

$$q[n] = Q\bigg[x[n]\bigg]$$

Il modello di quantizzazione scalare è privo di memoria e uniforme:

$$\eq{ & Q(X):x \in [-M,M]\\ & Q(x)=\Big\{C_i \quad x \in [m_i,m_{i+1}] }$$

M è l’ampiezza del segnale. Le soglie di Q sono $m_i$ con i che va da zero ad L: $i=0,\dots,L$. Gli estremi sono $m_0=-M$ e $m_L=M$​.

Gli intervalli hanno tutti la stessa ampiezza, dunque il passo (o intervallo) di quantizzazione è costante:

$$\Delta=m_{i+1}-m_i=\frac{2M}{L}$$

La retta che interseca i $C_i$ giace sulla bisettrice del I e del III quadrante.

$$C_i = \frac{m_i + m_{i+1}}{2}$$

Si introduce inevitabilmente un errore di quantizzazione che è inversamente proporzionale al numero di livello di quantizzazione.

$$e(x)=x-Q(x)$$

Nel paragrafo che segue, si analizza un convertitore che deve garantire una certa tolleranza all’errore di quantizzazione. Si ottiene la bit-rate minima del segnale PCM che possa garantire un errore di quantizzazione tollerabile.

Esempio segnale PCM

Dato un segnale con ampiezza $M=2\;\rm [V]$ e banda limitata $B=1/T$, si vuole trovare la minima bit-rate del segnale PCM (Pulse Code Modulation) che garantisca un errore di quantizzazione $e(x) \leq 10^{-6}\;\;V^2$

L’ampiezza del segnale permette di definire il passo di quantizzazione:

$$\Delta = \frac{2M}{L} = \frac{4}{L}$$

Sfruttando la relazione:

$$e(x) = \frac{\Delta^2}{12}$$

Si procede risolvendo la seguente disequazione per trovare il valore di L:

$$\eq{ & e(x) \leq 10^{-6} \\ \implies & \frac{\Delta^2}{12} \leq 10^{-6}\\ \implies & \frac{(2M)^2}{L^2} \leq 12 \cdot 10^{-6}\\ \implies & L^2 \leq \frac{(2M)^2}{12} \cdot 10^{6}\\ \implies & L \leq \pm \sqrt{\frac{(2M)^2}{12} \cdot 10^{6}}\\ \implies & L = \sqrt{\frac{4}{3} \cdot 10^6} }$$

La disequazione diventa infine un’uguaglianza perché si deve ottenere il minor numero di livelli di quantizzazione in modo da rispettare il vincolo imposto dal testo. Gli l bit di quantizzazione sono un numero intero, potenza del due:

$$\log_2 L \leq l < \log_2 L+1 \implies l = \log_2 L = 10.31 \approx 11 \in \N$$

Anche questa disequazione diventa un’uguaglianza. Si nota che il valore intero di l è ottenuto operando un’approssimazione per eccesso: a prescindere dalle cifre dopo la virgola, si approssima all’intero più alto.

I bit di quantizzazione sono necessariamente un intero, almeno fino ad una più ampia diffusione dei computer quantistici e dei corrispondenti Qubit.

La bit-rate minima è:

$$R_b = l \cdot 2B = 11 \cdot \frac{2}{T} = \frac{22}{T}$$

Si può inoltre calcolare lo spazio di memoria $\alpha \; \rm [bit]$​ che occorre per memorizzare la porzione di segnale in un intervallo dato, ad esempio in $[-8T, 8T]$​.

In tale intervallo sono presenti $N = 16 T$ elementi, dunque:

$$\eq{ \alpha \; \text{[bit]} &= R_b \cdot [-8T, 8T] =\\ &= R_b \cdot N = \\ &= \frac{22}{T} \cdot 16 T =\\ &= 352 \; \text{[bit]} = 44 \;\text{[byte]}\\ }$$