Analisi di Fourier

Jan 2, 2024

Le formule seguono la numerazione in base al paragrafo di riferimento (titoli H2). Ad ogni paragrafo il numero a sinistra incrementa.

La serie di Fourier si utilizza per l’analisi di segnali periodici. Si può rappresentare un segnale come somma di sinusoidi ed analizzare così sistemi fisici lineari e stazionari. Se la funzione in ingresso è sinusoidale, lo sarà anche l’uscita.

La trasformata di Fourier si utilizza per l’analisi di segnali non periodici. Si può rappresentare un segnale nel dominio delle frequenze ed analizzare il suo spettro.

Ad esempio, ad un segnale $x(t)$ non periodico e tempo-continuo si associa una trasformata $X(f)$ non periodica a frequenza continua. La tabella che segue sintetizza tutti i casi possibili.

Tempo	Frequenza
$x(t)$ non periodico, tempo-continuo	$X(f)$ non periodica, f-continua
$x(t)$ periodico, tempo-continuo	$X_k$ non periodica, f-discreta
$x[n]$ non periodico, tempo-discreto	$\overline{X}(f)$ periodica, f-continua
$x[n]$ periodico, tempo-discreto	$\overline{X}_k$ periodica, f-discreta

La serie di Fourier può comunque rappresentare un segnale non periodico limitatamente ad intervallo di ampiezza $T_0$ fissato.

I titoli dei paragrafi sono stati accorciati per migliorare la leggibilità. Si sottintende che serie e trasformata sono “di Fuorier”. La parola “tempo” è abbreviata con “t”. La parola “segnali” è stata eliminata dai titoli: si sottintende che si stanno trattando segnali.

Serie tempo-continuo

Data $x(t) \in \R$ funzione tempo-continuo periodica di periodo $T_0$ . Se sono soddisfatte le condizioni di Diriclet (condizioni sufficienti), allora è possibile calcolare la sequenza dei coefficienti della serie di Fourier $X_k \in \C$ per l’indice $k \in \Z$ :

\Large X_k := \frac{1}{T_0} \int_{-T_0/2}^{T_0/2}x(t)e^{-j\,2\pi \,k\,t/T_0}dt

Dati tali coefficienti è possibile ottenere la funzione di partenza:

\Large x(t):=\sum_{k=-\infty}^{\infty}X_ke^{j\,2\pi\,k\,t/T_0} = \sum_{k=-\infty}^{\infty}X_ke^{jt \omega}

Si osserva che, nei punti di discontinuità di I specie, la serie converge al punto medio: $x_m = [x(t^+)+x(t^-)]/2$ .

Il segnale $x(t)$ diventa una somma di sinusoidi di frequenza $kf_0$ con $f_0=1/T_0$ .

Se il segnale è a valori reali, ovvero $x(t) \in \R$ , allora $X_{-k}=X_k^*$ quindi valgono le implicazioni:

il modulo (ampiezza) è simmetrico rispetto a $k$
$|X_{-k}|=|X_k^*|$
gli argomenti (fasi) sono asimmetrici rispetto a $k$
$\arg(X_{-k})=-\arg(X_{k})$

Date le proprietà che seguono:

\large \eq{ a)&\quad X_k e^{j2\pi kt/T_0}+X_{-k}e^{j2\pi(-k)t/T_0}=2|X_k|\cos \Big|2\pi kt/T_0+\arg(X_{k})\Big| \\ \\ b)&\quad X_0 = \frac{1}{T_0} \int_{-T_0/2}^{T_0/2}x(t)e^{j\cdot 0}dt = \frac{1}{T_0} \int_{-T_0/2}^{T_0/2}x(t)dt = X_m \text{ valore medio} }

Allora, data l’ampiezza $A_k=2|X_k|$ e la fase $\varphi_k = \arg(X_k)$ , si può scrivere $x(t)$ come somma di segnali sinusoidali detti armoniche:

fondamentale $(k=1)$ : $A_1 \cos(2\pi f_0 t + \varphi_1)$
di ordine k $(k>1)$ : $A_k \cos(2\pi f_0 t + \varphi_k)$
“componente continua” $(k=0)$ : $X_m$

x(t)=X_m +\sum_{k} A_k \cos(2\pi kf_0 t + \varphi_k)

La rappresentazione grafica di $\{ X_k, \, k \in \Z \}$ viene fatta mediante lo studio di:

spettro di ampiezza: $|X_k|$
spettro di fase: $\arg(X_k)$

Ribadendo un concetto già in parte espresso, dato $x(t) \in \R$ , lo spettro di ampiezza è simmetrico mentre lo spettro di fase è antisimmetrico (rispetto a $k$ ).

Ripetizioni periodiche

\Large \begin{CD} x(t) @> \text{ripetizione}>\text{periodica}> y(t) \\ @V\mathcal{F}VV @AA\text{serie di }\mathcal{F}A \\ X(f) @> \text{campionamento}>> Y_k \end{CD}

Dato un segnale $x(t)$ e la sua ripetizione periodica di periodo $T_0$ :

y(t) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} x(t-nT_0)

La sua trasformata di Fourier è:

\eq{Y_k &= \frac{1}{T_0} \int_{-T_0/2}^{T_0/2}y(t)e^{-j\,2\pi \,k\,t/T_0}dt=\\ &= \frac{1}{T_0} X\bigg(k\frac{1}{T_0}\bigg) }

Trasformata tempo-continuo

Data $x(t) \in \R$ funzione tempo-continuo non periodica che rispetta le condizioni di Diriclet, allora si può definire la trasformata di Fourier:

\large X(f) = \mathcal{F}[x(t)]:= \int_{-\infty}^{\infty}x(t)e^{-j2\pi ft}dt \in \C

Si possono ricavare modulo e argomento:

X(f)=|X(f)|e^{j\arg{(X(f))}} \in \C

Dalla funzione in campo complesso si estraggono le seguenti funzioni reali:

modulo: spettro di ampiezza
fase: spettro di fase

delle quali è possibile studiare i grafici.

\eq{ & A(f) = |X(f)| \in \R\\ & \Theta(f) = \arg(X(f)) = \angle X(f)\in \R\\ }

La fase ad una data frequenza indica l’allineamento temporale della componente sinusoidale alla data frequenza nel segnale $x(t)$ .

Si può ricostruire il segnale di partenza con:

\large x(t)=\int_{-\infty}^{\infty}X(f)e^{j2\pi ft}df

Il segnale nel dominio temporale $x(t)$ è rappresentato come una somma di sinusoidi:

\large x(t)=\int_{-\infty}^{\infty}|X(f)|e^{j[2\pi ft+\arg{(X(f))}]}df

Tra le condizioni necessarie è importante ricordare che l’energia associata esiste finita ed è tale che:

E_x=\int_{-\infty}^{\infty} x^2(t)dt

Se $x(t) \in \R$ allora $X(-f)=\overline{X}(f)$ quindi valgono le implicazioni:

il modulo (ampiezza) è simmetrico
$|X(-f)|=|X(f)|$
l’argomento (fase) è asimmetrico
$\arg(X(-f))=-\arg(X(k))$

Si può riscrivere il segnale come somma di infiniti termini sinusoidali con ampiezza $2|X(f)|$ e fase iniziale $\varphi_0 = \arg(X(f))$ :

\eq{ x(t) &= \int_{-\infty}^{0}X(f)e^{j2\pi ft}df + \int_{0}^{+\infty}X(f)e^{j2\pi ft}df =\\ &= \int_{0}^{+\infty} 2 |X(f)| \cdot \cos\!\big[ 2\pi ft+\arg{(X(f))} \big] df }

Ribadendo un concetto già in parte espresso, la rappresentazione grafica di $X(f)$ viene fatta mediante lo studio di:

spettro di ampiezze: $|X(f)|$
spettro di fase: $\arg(X(f))$

Dato $x(t) \in \R$ , lo spettro di ampiezze è simmetrico mentre lo spettro di fase è antisimmetrico (logicamente non più rispetto a $k$ , ma rispetto all’origine degli assi).

Se $x(t)$ è una funzione pari, la sua trasformata può essere semplificata prendendo in considerazione solo la parte reale del fattore $e^{-j (\dots)}$ . Stesso discorso per funzioni dispari: si prende solo la parte immaginaria.

\eq{ & x(t) \text{ pari }\implies X(f)=2\int_{0}^{\infty}x(t)\cos(2\pi ft)dt \\ & x(t) \text{ dispari }\implies X(f)=-2j\int_{0}^{\infty}x(t)\sin(2\pi ft)dt \\ }

Dato un generico valore di $\alpha \in \R$ , si deve prestare molta attenzione all’uguaglianza che segue, poiché chiarisce alcuni passaggi espressi nelle formule precedenti:

e^{-j\alpha} = \cos(\alpha)-j\sin(\alpha) \\ \implies \int x(t)e^{-j\alpha t}dt=\int x(t)\cos(\alpha t)dt -j\int x(t)\sin(\alpha t)dt

Teoremi e Proprietà

La notazione con $\omega = 2\pi f$ si appoggia ai concetti di teoria dei circuiti.

Linearità

x(t)=\alpha x_1(t) + \beta x_2(t) \implies y(t)=\mathcal{F}[x(t)]=\alpha \mathcal{F}[x_1(t)] +\beta \mathcal{F}[x_2(t)]

Dualità

\mathcal{F}[a(t)] = b(f) \implies \mathcal{F}[b(t)] = a(-f)

Valore nello zero

X(0) = \int_{-\infty}^{+\infty} x(t) dt \; \land \; x(0)= \int_{-\infty}^{+\infty} X(f)df

Derivazione

Sia $x(t)$ continua nel suo dominio, con derivata $y(t)=d/dt\;x(t)$ . Se esistono le trasformate di Fourier di tali funzioni, allora:

Y(f)=\mathcal{F}[y(t)]=X(f)\cdot j2\pi f = X(f)\cdot j \omega

La relazione che intercorre tra i segnali $x(t)$ ed $y(t)$ implica:

Y(0)=\int_{-\infty}^{\infty} y(t)dt= \int_{-\infty}^{\infty} \frac{d}{dt} x(t)dt=0

Integrazione

x(t) = \int_{-\infty}^{t}y(\tau)d\tau \;\land\; \int_{-\infty}^{\infty} y(t)dt=0 \implies X(f)=\frac{Y(f)}{j2\pi f} = \frac{Y(f)}{j \omega}\quad f\neq 0

Teorema del Ritardo

\large \mathcal{F} \Big[ x(t-t_0) \Big] = X(f) \cdot e^{-j2\pi f t_0}

Questa operazione corrisponde ad un ritardo se $t_0 > 0$ , quindi il grafico trasla verso destra. Altrimenti, se $t_0 < 0$ , si effettua un anticipo del segnale.

Come mostrato dalle formule seguenti, un ritardo temporale modifica lo spettro di fase della trasformata del segnale ma non modifica il suo spettro di ampiezza.

\eq{ & y(t) = x(t-t_0)\\ & Y(f) = X(f) \cdot e^{-j2\pi f t_0}\\ \implies & |Y(f)| = |X(f)| \\ \implies & \angle Y(f) = \angle X(f) -2\pi f t_0 }

Lo sfasamento introdotto dal ritardo varia linearmente con la frequenza.

Prodotto per Fasore

\large \eq{ \mathcal{F}& \bigg[ x(t)e^{j2\pi f_0 t} \bigg] = X(f-f_0)\\ \mathcal{F}&\bigg[x(t)e^{-j2\pi f_0 t} \bigg] = X(f+f_0) }

La moltiplicazione per un esponenziale nel dominio del tempo equivale ad un ritardo (traslazione) nel dominio delle frequenze.

Proprietà della Modulazione

\mathcal{F} \bigg[ x(t)\cos(2\pi f_0 t) \bigg] = \frac{1}{2}\bigg[X(f-f_0)+X(f+f_0)\bigg]

Grazie alla relazione di Eulero, si può anche scrivere:

\mathcal{F} \bigg[ x(t)\sin(2\pi f_0 t) \bigg] = \frac{1}{2j}\bigg[X(f-f_0)-X(f+f_0)\bigg]

Proprietà del prodotto

Dati due segnali $x(t)$ e $y(t)$ e le relative trasformate, dato il prodotto:

z(t) = x(t)\cdot y(t)

La trasformata del prodotto è data dall’operazione di integrale di convoluzione, che si indica con il simbolo $\otimes$ ed equivale a:

Z(f) = \int_{-\infty}^{+\infty} X(\nu) Y(f-\nu) = X(f) \otimes Y(f)

Convoluzione

Dati due segnali $x(t)$ e $y(t)$ , se esistono le trasformate di Fourier di tali funzioni allora l’operatore di convoluzione $\otimes$ è tale che:

\eq{ & z(t)=x(t) \otimes y(t)=\int_{-\infty}^{+\infty} x(\tau)\cdot y(t-\tau)d\tau \\ \implies & Z(f) = X(f) \cdot Y(f) }

Si può calcolare la convoluzione in un dato istante $t_0$ restringendo il dominio:

z(t_0)=x(t)\otimes y(t)\bigg|_{t=t_0}

Relazione di Parseval

Dati due segnali complessi $x(t)$ e $y(t)$ ed il complesso coniugato $y(t)^*$ di $y(t)$ . Siano definite le trasformate per tali segnali:

\eq{ & \mathcal{F} \bigg[ x(t) \bigg] = X(f)\\ & \mathcal{F} \bigg[ y(t) \bigg] = Y(f)\\ & \mathcal{F} \bigg[ y(t)^* \bigg] = Y(f)^* }

Allora:

\int_{-\infty}^{+\infty} x(t)y(t)^* dt = \int_{-\infty}^{+\infty} X(f)Y(f)^* df

Si osserva che, nel caso in cui $y(t)=x(t)$ , la relazione di Parseval equivale all’energia dissipata dal segnale:

\int_{-\infty}^{+\infty} |x(t)|^2 dt = \int_{-\infty}^{+\infty} |X(f)|^2 df=E_x

Teorema del cambiamento di scala

Una dilatazione nel dominio del tempo comporta una compressione nel dominio delle frequenze:

x(\alpha t) \xrightarrow{\; \mathcal{F}\;} \frac{1}{|\alpha|} X\bigg(\frac{f}{\alpha}\bigg)

Trasforma tempo-continuo periodico

Dato il segnale $x(t)$ tempo-continuo con periodo $T_0$ , la sua trasformata è:

\eq{ \Large \mathcal{F}[x(t)]&= \mathcal{F}\Bigg[\sum_{k=-\infty}^{\infty}X_k e^{j2\pi k t/T_0} \Bigg]=\\ &=\sum_{k=-\infty}^{\infty}X_k\cdot\mathcal{F}\big[e^{j2\pi k t/T_0}\big]=\\ &=\sum_{k=-\infty}^{\infty}X_k\cdot \delta\bigg(f-\frac{k}{T_0}\bigg)=\\ &=\sum_{k=-\infty}^{\infty}X_k\cdot \delta\bigg(f-kf_0\bigg) }

Serie tempo-discreto

La sequenza tempo-discreta e periodica $x[n]$ di periodo $N_0$ è esprimibile come una somma di oscillazioni sinusoidali poste in corrispondenza delle frequenze armoniche relative:

\tag{3.0} f_k := \frac{k}{N_0 T} \quad \forall 0\leq k \leq N_0 -1,\; k \in \Z

Nella formula è presente il periodo di campionamento T poiché $f_k$ si può esprimere come:

f_k = k \cdot \frac{f_c}{N_0} = k \cdot \frac{1}{N_0 \cdot T} = \frac{k}{N_0 T}

La sequenza dei coefficienti discreti $\overline{X}_k$ è generalmente chiamata trasformata discreta di Fourier:

\tag{3.1} \large \overline{X}_k = \frac{1}{N_0} \sum_{n=0}^{N_0 -1} x[n]e^{-j2\pi kn/N_0} \quad \forall k \in \Z

\tag{3.2} \large \mathcal{F}_D \bigg[ x[n]\bigg]:= \overline{X}_k ,\; k \in \Z

Si osserva che la somma degli $\overline{X}_k$ vale per $N_0$ sia pari che dispari e che anche $\overline{X}_k$ ha periodo $N_0$ .

La formula inversa è:

\tag{3.3} \large x[n]=\sum_{k=0}^{N_0 -1} \overline{X}_k e^{j2\pi kn/N_0} = \mathcal{F}_D^{-1} \biggl[ \overline{X}_k \biggr]\quad n \in \Z

Dimostrazione della formula inversa:

Per dimostrare la formula 3.3, si moltiplica da entrambe le parti per il fattore $e^{-j\, 2\pi\,n \,m/ N_0}$ con $0\leq m \leq N_0 -1$ . Bisogna quindi usare una sommatoria:

\tag{3.4} \sum_{n=0}^{N_0 -1} x[n] e^{-j\, 2\pi\,n \,m/ N_0} = \sum_{n=0}^{N_0 -1}\sum_{k=0}^{N_0 -1} \overline{X}_k e^{j 2\pi k n / N_0} e^{-j\, 2\pi\,n \,m/ N_0}

Il secondo membro della 3.4 può essere riscritta invertendo l’ordine delle sommatorie ed “estraendo” il termine $\overline{X}_k$ :

\tag{3.5} \sum_{n=0}^{N_0 -1}\sum_{k=0}^{N_0 -1} \overline{X}_k e^{j 2\pi k n / N_0} e^{-j\, 2\pi\,n \,m/ N_0} = \sum_{k=0}^{N_0 -1} \overline{X}_k \sum_{n=0}^{N_0 -1}e^{j 2\pi n(k-m) / N_0}

La sommatoria in n assume valori diversi a seconda della relazione che intercorre tra k ed m:

\tag{3.6} \sum_{n=0}^{N_0 -1}e^{j 2\pi n(k-m) / N_0} = \sis{ 0\quad & m \neq k\\ N_0 \quad & m = k }

Usando l’impulso discreto di Dirac, si può riscrivere la 3.5 come:

\tag{3.7} \sum_{k=0}^{N_0 -1} \overline{X}_k \cdot N_0 \cdot \delta[k-m] = \overline{X}_m \cdot N_0

Si può riscrivere la 3.4 come:

\tag{3.8} \eq{ & \sum_{n=0}^{N_0 -1} x[n] e^{-j\, 2\pi\,n \,m/ N_0} = N_0 \cdot \overline{X}_m \quad \forall 0\leq m \leq N_0 -1\\ \implies & \sum_{n=0}^{N_0 -1} x[n] e^{-j\, 2\pi\,n \,m/ N_0} = N_0 \cdot \frac{1}{N_0} \sum_{n=0}^{N_0 -1} x[n]e^{-j\, 2\pi\,n \,m/ N_0}\\ \implies & \sum_{n=0}^{N_0 -1} x[n] e^{-j\, 2\pi\,n \,m/ N_0} = \sum_{n=0}^{N_0 -1} x[n]e^{-j\, 2\pi\,n \,m/ N_0} }

L’uguaglianza è verificata: la formula è dimostrata.

Teoremi e Proprietà

$\mathcal{F}_D$ effettua operazioni tra vettori. In ambiente MATLAB si fa uso della funzione fft(): l’algoritmo più efficiente per effettuare la DFT (Discrete Fourier Trasform).

Prodotto

\eq{ & p[n]=x[n] \cdot y[n] \\ & \overline{P}_k = N_0 \cdot \overline{X}_k \otimes \overline{Y}_k }

La convoluzione tra le trasformate discrete, nel campo delle frequenze, è una somma di convoluzione ciclica tra le sequenze periodiche ( $\overline{X}_k$ e $\overline{Y}_k$ ).

Convoluzione Ciclica

Sia $z[n]$ la sequenza data come somma di convoluzione ciclica tra le sequenze periodiche $x[n]$ e $y[n]$ (di periodo $N_0$ ).

z[n] = x[n]\otimes y[n]\;\xrightarrow{\quad \mathcal{F}_D \quad}\; \overline{Z}_k=\overline{X}_k\cdot\overline{Y}_k

Poiché si tratta di un teorema molto importante, si procede con la dimostrazione:

\eq{ & z[n] =x[n]\otimes y[n]= \frac{1}{N_0}\sum_{m=0}^{N_0 -1} x[m]\cdot y[n-m] = \frac{1}{N_0}\sum_{m=0}^{N_0 -1} y[m]\cdot x[n-m]\\ \implies \overline{Z_k} &= \frac{1}{N_0} \sum_{n=0}^{N_0 -1} z[n] e^{-j 2\pi k n / N_0} = \frac{1}{N_0} \sum_{n=0}^{N_0 -1}\frac{1}{N_0} \sum_{m=0}^{N_0 -1} x[m] y[n-m] e^{-j 2\pi k n / N_0}=\\ &= \frac{1}{N_0} \sum_{m=0}^{N_0 -1} x[m] \sum_{n=0}^{N_0 -1} y[n-m] e^{-j 2\pi k n / N_0} =\\ &= \frac{1}{N_0} \sum_{m=0}^{N_0 -1} x[m] \overline{Y}_k e^{-j 2\pi\, k\, m / N_0} =\overline{X}_k \cdot \overline{Y}_k }

Campionamento in frequenza

La sequenza periodica $y[n]$ di periodo $N_0$ si costruisce a partire dalla sequenza non periodica $x[n]$ .

y[n]=\sum_{m=-\infty}^{\infty} x[n-mN_0]

Data la trasformata di $x[n]$ :

\overline{X}(f) = \sum_{n=-\infty}^{+\infty} x[n] e^{-j2\pi nfT}

Allora la trasformata della periodicizzazione discreta di $x[n]$ è:

\overline{Y}_k = \frac{1}{N_0}\overline{X}(f) = \frac{1}{N_0}\overline{X}\bigg(\frac{k}{N_0 T}\bigg)

Trasformata tempo-discreto

Data una sequenza, ovvero un segnale tempo-discreto non periodico $x[n]$ . La condizione di assoluta sommabilità della sequenza è condizione sufficiente per l’esistenza della sua trasformata di Fourier:

\tag{4.0} \large \sum_{n=-\infty}^{\infty}|x[n]| < \infty \implies \exist \; \overline{X}(f) = \sum_{n=-\infty}^{\infty}x[n]e^{-j2\pi fnT}

La funzione $\overline{X}(f)$ è indicata con l’overline per attuare una distinzione dalla trasformata di Fourier per segnali tempo-continui $X(f)$ . Questa scrittura non è in nessun modo legata al concetto di complesso coniugato.

La sequenza $x[n]$ può essere intesa come il campionamento di un segnale tempo-continuo $x(t)$ . La trasformata $\overline{X}(f)$ è una funzione periodica di periodo pari alla cosiddetta frequenza di campionamento $f_c = 1/T$ .

\tag{4.1} \overline{X}(f) = \overline{X}(f+f_c) = \overline{X}\bigg(f+\frac{1}{T}\bigg)

Si osserva inoltre che:

\tag{4.2} e^{-j2n}=1\; \forall n \in \Z

Si può ricostruire il segnale di partenza con:

\tag{4.3} \large x[n]=T\int_{-1/2T}^{1/2T} \overline{X}(f) e^{j2\pi fTn}df

Dimostrazione della formula inversa:

Per dimostrare la formula 4.3, si moltiplica la 4.0 da entrambe le parti per un’oscillazione complessa alla frequenza $f$ e si integra sull’intervallo $\pm 1/2T$ :

\tag{4.4} \eq{ \int_{-1/2T}^{1/2T}\overline{X}(f)e^{j2\pi fnT}df &= \int_{-1/2T}^{1/2T} \sum_{m=-\infty}^{\infty}x[m]e^{-j2\pi fmT}e^{j2\pi fnT}=\\ &= \sum_{m=-\infty}^{\infty}x[m] \int_{-1/2T}^{1/2T}e^{-j2\pi f(m-n)T}df }

Si osserva inoltre che:

\tag{4.5}\int_{-1/2T}^{1/2T}e^{-j2\pi f(m-n)T}df = \sis{ 0 \quad & m \neq n\\ 1/T \quad & m = n }

La serie al secondo membro della 4.4 si riduce al solo membro in cui $n=m$ . Quindi la 4.4 diventa la 4.3.

Teoremi e Proprietà

Linearità

x[n]=\alpha x_1[n] + \beta x_2[n] \implies y[n]=\mathcal{F}\big[x[n]\big]=\alpha\mathcal{F}\big[x_1[n]\big]+\beta \mathcal{F}\big[x_2[n]\big]

Valore nello zero

\overline{X}(0) = \sum_{n} x[n] \equiv\sum_{n=-\infty}^{+\infty} x[n]

Il valore medio è:

x[0]=T \int_{-1/2T}^{1/2T} \overline{X}(f) df=<\overline{X}(f)>

Ritardo

Il ritardo di $n_0$ passi nel dominio temporale è dato da una moltiplicazione nel dominio delle frequenze:

\large \mathcal{F} \biggl[ x[n-n_0] \biggr] = \overline{X}(f) e^{-j2\pi fn_0 T}

Prodotto per Fasore

\large \mathcal{F} \biggl[ x[n]e^{j2\pi f_0 nT} \biggr] = \overline{X}(f-f_0)

Proprietà della Modulazione

\mathcal{F}\bigg[x[n]e^{j2\pi f_0 nT}\bigg]=\overline{X}(f-f_0)

Somma di Convoluzione

\eq{ & z[n]=x[n]\otimes y[n]=\sum_{k=-\infty}^{+\infty}x[k]y[n-k]=\sum_{k=-\infty}^{+\infty}y[k] x[n-k]\\ & \overline{Z}(f) = \overline{X}(f) \cdot \overline{Y}(f) }

Convoluzione ciclica

\overline{X}(f) \otimes \overline{Y}(f) = \int_{-1/2T}^{1/2T}\overline{X}(\alpha)\overline{Y}(f-\alpha) d\alpha

Prodotto

z[n]=x[n]\cdot y[n]\;\xrightarrow{\quad \mathcal{F} \quad}\;\overline{Z}(f)=T\cdot \overline{X}(f)\circledast\overline{Y}(f)

Derivazione: incremento

Dati i segnali tempo-discreto non periodici $x[n]$ e $y[n]$ e date le relative trasformate discrete di Fourier: $\overline{X}(f)$ , $\overline{Y}(f)$ .

L’operazione di derivata, con y incremento di x è:

\eq{ y[n]&=\Delta \bigg[ x[n] \bigg] = x[n]-x[n-1]\\ \overline{Y}(f)&=\overline{X}(f)-\overline{X}(f) e^{-j2\pi fT}=\\ &= \overline{X}(f)\Big(1-e^{-j2\pi fT}\Big) }

Come appena dimostrato, l’operatore di incremento è $\Delta [\cdot]$ ed è tale che:

\Delta \Big[x[n]\Big]\xrightarrow{\quad \mathcal{F} \quad} \overline{X}(f)\Big(1-e^{-j2\pi fT}\Big)

Somma

Per evitare confusione con la precedente dimostrazione, si utilizza il segnale tempo-discreto non periodico $z[n]$ .

Se, per il segnale $x[n]$ , il valore nello zero è nullo, ovvero se vale la condizione:

\overline{X}(0)=\sum_{n} x[n] = 0

Allora la sequenza somma $z[n]$ della sequenza $x[n]$ è:

\eq{ z[n] &= S \bigg[ x[n] \bigg] =\sum_{k=-\infty}^{n} x[k]\\ \overline{Z}(f)&=\frac{\overline{X}(f)}{1-e^{-j2\pi fT}}}

La proprietà della somma si dimostra grazie alla proprietà dell’incremento:

\eq{ \Delta \Big[z[n]\Big] &= z[n]-z[n-1]=\\ &= \sum_{k=-\infty}^{n} x[k]-\sum_{k=-\infty}^{n-1} x[k] = x[n]\\ }

Nel dominio nelle frequenze, si ottiene:

\eq{ \Delta \Big[z[n]\Big]&\xrightarrow{\quad \mathcal{F} \quad} \overline{Z}(f)\Big(1-e^{-j2\pi fT}\Big)\\ \implies \overline{X}(f) &= \overline{Z}(f)\Big(1-e^{-j2\pi fT}\Big)\\ \implies \overline{Z}(f)&=\frac{\overline{X}(f)}{1-e^{-j2\pi fT}} }

Trasformate Notevoli

Impulso Triangolare

Dato un impulso triangolare di altezza A e durata $T_0$ :

\widetilde{x}(t) = A \cdot \text{triang} \bigg(\frac{t}{T_0 / 2} \bigg)

La funzione $x(t)$ è un treno di impulsi triangolari come quello sopra descritti:

x(t) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} A \cdot \text{triang} \bigg(\frac{t-nT_0}{T_0 / 2} \bigg)

L’impulso $\widetilde{x}(t)$ è una funzione pari, mentre il seno è dispari. Inoltre, l’intervallo di integrazione è simmetrico e centrato nell’origine. La parte positiva del seno è uguale e contraria alla sua parte negativa. Nella formula soprastante, tutto ciò che moltiplica $-j$ si annulla. Il coseno invece è una funzione pari, quindi:

\int_{-T_0/2}^{T_0/2}\cos(t)dt = 2\int_{0}^{T_0/2}\cos(t)dt

Si noti che, nella formula che segue, la prima uguaglianza è possibile perché nell’intervallo di integrazione cade un solo triangolo.

\eq{ X_k &=\frac{1}{T_0}\int_{-T_0/2}^{T_0/2}x(t)e^{-j\,2\pi \,k\,t/T_0}dt=\\ &=\frac{1}{T_0}\int_{-T_0/2}^{T_0/2}A \cdot \text{triang} \bigg(\frac{t}{T_0 / 2}\bigg)e^{-j\,2\pi \,k\,t/T_0}dt=\\ &=\frac{1}{T_0}\int_{-T_0/2}^{T_0/2}\widetilde{x}(t)\cos(2\pi \,k\,t/T_0)dt-j\frac{1}{T_0}\int_{-T_0/2}^{T_0/2}\widetilde{x}(t)\sin(2\pi \,k\,t/T_0)dt=\\ &=\frac{2A}{T_0}\int_{0}^{T_0/2}\text{triang} \bigg(\frac{t}{T_0 / 2}\bigg)\cos(2\pi \,k\,t/T_0)dt=\\ &=\frac{2A}{T_0}\int_{0}^{T_0/2}\bigg[1-\frac{t}{T_0 / 2}\bigg]\cos\bigg(2\pi \,k\,\frac{t}{T_0}\bigg)dt=\dots=\\ &=\frac{A}{(\pi k)^2}\Big[1-(-1)^k\Big] \in \R^+ \cap \{0\} }

I coefficienti assumono valori per tutti i numeri reali, compresi $\pm \infty$ , escluso invece lo zero.

k	0	1	2	3	4	5
$X_k$	$\frac{A}{2}$	$\frac{2A}{\pi^2}$	$0$	$\frac{2A}{(3\pi)^2}$	$0$	$\frac{2A}{(5\pi)^2}$

Per $k=0$ si ottiene la componente continua: $X_k = X_m \implies X_0 = A/2$

Impulso Rettangolare

Dato un impulso rettangolare di durata T:

x(t) = \text{rect}\bigg(\frac{t}{T}\bigg) = \sis{ 0 & \quad |t| < T/2 \\ 1 & \quad |t| > T/2 \\ 1/2 & \quad |t| = T/2 } \quad \approx \sis{ 0 & \quad |t| < T/2 \\ 1 & \quad |t| \geq T/2 }

La sua trasformata è:

\eq{ X(f) &= \int_{-\infty}^{\infty}x(t)e^{-j2\pi ft}dt =\\ &= \int_{-\infty}^{\infty}\text{rect}\bigg(\frac{t}{T}\bigg)e^{-j2\pi ft}dt =\\ &= \int_{-T/2}^{T/2}1 e^{-j2\pi ft}dt =\\ &= \bigg[-\frac{e^{-j2\pi ft}}{j2\pi f}\bigg]_{-T/2}^{T/2} =\\ &= \frac{e^{j2\pi f T/2}-e^{-j2\pi f T/2}}{j2\pi f} }

Grazie alla formula di Eulero e alla funzione seno cardinale:

\theta := \pi fT \implies \frac{e^{j\pi fT}-e^{-j\pi fT}}{j2\pi f} =\frac{\sin(\pi fT)}{\pi f}

Alla formula sopra, per ottenere un seno cardinale, manca una T a denominatore. Dunque, moltiplicando e dividendo per T, si ottiene un seno cardinale moltiplicato per T.

\eq{ \text{sinc}(\overline{t}) = \sis{ \sin(\pi \overline{t})/(\pi \overline{t}) & \quad \overline{t} \neq 0 \\ 1 &\quad \overline{t} = 0 \\ } \quad ;\;\overline{t} := fT }

Si può scrivere:

\eq{ X(f) &= \frac{e^{j\pi fT}-e^{-j\pi fT}}{j2\pi f} =\\ &= \frac{\sin(\pi fT)}{\pi f} =\\ &= \frac{T}{T}\frac{\sin(\pi fT)}{\pi f} =\\ &= \frac{T \sin(\pi fT)}{\pi fT} =\\ &= T \text{sinc}(fT) }

\text{rect}\bigg(\frac{t}{T}\bigg) \xrightarrow{\;\mathcal{F}\;} T \text{sinc}(fT)

La formula rimane valida anche per rettangoli di ampiezza arbitraria $A \in \R$ :

A\text{rect}\bigg(\frac{t}{T}\bigg) \xrightarrow{\;\mathcal{F}\;} AT \text{sinc}(fT)

Inoltre, il rettangolo è una funzione pari, dunque:

\eq{ X(f)&=2\int_{0}^{\infty}x(t)\cos(2\pi ft)dt \\ &=2\int_{0}^{T/2}1\cos(2\pi ft)dt \\ &=2\bigg[\frac{\sin(2\pi ft)}{2\pi f} \bigg]_{0}^{T/2} =\\ &=2\bigg[\frac{\sin(2\pi f\cdot T/2)}{2\pi f} \bigg] =\\ &=\frac{\sin(\pi fT)}{\pi f}=\\ &= T \text{sinc}(fT) }

Il risultato è stato ottenuto senza utilizzare la formula di Eulero, quindi è più semplice (meno error-prone).

Esempi di Triangoli e Rettangoli

Esempio:

x(t) = \text{sinc}\bigg(\frac{t}{T}\bigg)

Il parametro T indica dove la sinusoide centrata nell’origine interseca l’asse orizzontale del tempo.

X(f) = \int_{-\infty}^{\infty}\frac{\sin(\pi t/T)}{\pi t/T}e^{-j2\pi ft}dt

I calcoli sono molto complicati. Si può applicare la proprietà di dualità:

\mathcal{F}\bigg[\text{rect}\bigg(\frac{t}{\alpha}\bigg)\bigg] = \alpha\cdot\text{sinc}(f \alpha) \implies \mathcal{F}\bigg[\alpha\cdot \text{sinc}(\alpha t)\bigg] =\text{rect}\bigg(-\frac{f}{\alpha}\bigg)

Ponendo $\alpha = 1/T$ :

\mathcal{F}\bigg[\frac{1}{T}\text{sinc}\bigg(\frac{t}{T}\bigg)\bigg] =\text{rect}(-fT) \implies \mathcal{F}\bigg[\text{sinc}\bigg(\frac{t}{T}\bigg)\bigg] =T\cdot \text{rect}(fT)

Esempio: questo esempio è una generalizzazione dell’esempio precedente.

x(t)= \text{sinc}(Bt) \xrightarrow{\;\mathcal{F}\;} X(f)=\frac{1}{B}\text{rect}\bigg(\frac{f}{B}\bigg)

Dato un impulso triangolare di durata $2T$ . Lungo l’asse orizzontale, la funzione sale da $-T$ a $0$ per raggiungere la quota $1$ e poi scende per valori di $t$ che vanno da $0$ a $T$ :

x(t) = \text{triang}\bigg(\frac{t}{T}\bigg)= \sis{ 1-\big|t/T\big| & \quad |t| \leq T \\ 0 & \quad |t| > T}

Il triangolo è una funzione pari:

\eq{ X(f)&=\int_{-\infty}^{\infty}\text{triang}\bigg(\frac{t}{T}\bigg)e^{-j2\pi ft}dt =\\ &= 2\int_{0}^{T} \bigg( 1 -\frac{t}{T} \bigg)\cos(2\pi ft) dt }

Si può applicare l’operatore di derivazione.

\eq{ y(t) &= \frac{d}{dt} x(t)\\ \implies Y(f)&=\mathcal{F}[y(t)]=X(f)\cdot j2\pi f\\ \implies X(f)&=\frac{Y(f)}{j2\pi f} }

La derivata del triangolo unitario è data dalla somma di due rettangoli unitari. In modo analogo:

y(t) = \frac{d}{dt} x(t) = \frac{1}{T}\text{rect}\bigg(\frac{t+T/2}{T}\bigg)-\frac{1}{T}\text{rect}\bigg(\frac{t-T/2}{T}\bigg) \\

Si può calcolare la trasformata della derivata:

\eq{ Y(f) &= \int_{-\infty}^{\infty}y(t)e^{-j2\pi ft}dt =\\ &=\int_{-\infty}^{0}\frac{1}{T}\text{rect}\bigg(\frac{t+T/2}{T}\bigg)e^{-j2\pi ft}dt+ \int_{0}^{\infty}-\frac{1}{T}\text{rect}\bigg(\frac{t-T/2}{T}\bigg)e^{-j2\pi ft}dt\\ &=\frac{1}{T}T\text{sinc}(fT)e^{j2\pi fT/2}-\frac{1}{T}T\text{sinc}(fT)e^{-j2\pi fT/2}=\\ &=\text{sinc}(fT)\Big[e^{j\pi fT}-e^{-j\pi fT}\Big] }

Si ricorda nuovamente lo formula di Eulero:

\theta := \pi fT \implies \frac{e^{j\pi fT}-e^{-j\pi fT}}{j2\pi f} =\frac{\sin(\pi fT)}{\pi f}

La trasformata di $x(t)$ è:

\eq{ X(f)&=\frac{Y(f)}{j2\pi f} =\\ &=\text{sinc}(fT)\frac{e^{j\pi fT}-e^{-j\pi fT}}{j2\pi f} =\\ &=\text{sinc}(fT) \frac{\sin(\pi fT)}{\pi f} =\\ &=\text{sinc}(fT) \frac{\sin(\pi fT)}{\pi f}\frac{T}{T} =\\ &= T \text{sinc}^2(fT) }

Dualità per Triangoli e Rettangoli

Applicando la proprietà di dualità e grazie al teorema del cambiamento di scala, si riassumono le trasformate studiate fino ad ora:

\eq{ & \mathcal{F}\bigg[\text{triang}\big(\alpha t\big)\bigg] =\frac{1}{|\alpha|}\text{sinc}^2\bigg(\frac{f}{\alpha}\bigg)\\ & \implies \mathcal{F}^{-1}\bigg[\frac{1}{|\alpha|}\text{sinc}^2\bigg(\frac{f}{\alpha}\bigg)\bigg]=\text{triang}\big(\alpha t\big)\\ & \mathcal{F}\bigg[\text{sinc}^2 (\alpha t)\bigg] =\frac{1}{|\alpha|}\text{triang}\bigg(\frac{f}{\alpha}\bigg)\\ & \mathcal{F}\bigg[\text{rect}\big(\alpha t\big)\bigg] =\frac{1}{|\alpha|}\text{sinc}\bigg(\frac{f}{\alpha}\bigg)\\ & \mathcal{F}\bigg[\text{sinc}(\alpha t)\bigg] =\frac{1}{|\alpha|}\text{rect}\bigg(\frac{f}{\alpha}\bigg) }

Esempio: trasforma di un segnale sinusoidale tempo-continuo con periodo $T_0$ . La frequenza $f_0$ è l’inverso del periodo. Grazie alla formula di Eulero, si può scrivere:

\eq{ x(t)&=A\cos\bigg(2\pi\frac{t}{T_0}\bigg)=\\ &=A\cos\big(2\pi f_0 t\big)=\\ &=A\frac{e^{j\pi f_0 t}+e^{-j\pi f_0 t}}{2}=\\ &=\frac{A}{2}\bigg[e^{j\pi f_0 t}+e^{-j\pi f_0 t} \bigg] }

La funzione Delta di Dirac è la trasformata della costante unitaria.

\mathcal{F}[1]=\delta(f) \implies \mathcal{F}[\alpha]=\alpha\delta(f)

La proprietà di modulazione, cambiando il segnale di riferimento per non causare ambiguità, afferma che:

\mathcal{F}\bigg[\widetilde{x}(t)\cos(2\pi f_0 t)\bigg] = \frac{1}{2}\bigg[\widetilde{X}(f-f_0)+\widetilde{X}(f+f_0)\bigg]

Utilizzando la forma di $x(t)$ con il coseno, si può scrivere:

\eq{ \widetilde{x}(t) &= A \\ \implies x(t)&=\widetilde{x}(t)\cos(2\pi f_0 t)\\ \implies X(f)&=\frac{1}{2}\bigg[\widetilde{X}(f-f_0)+\widetilde{X}(f+f_0)\bigg]=\\ &=\frac{1}{2}\bigg[A\delta(f-f_0)+A\delta(f+f_0)\bigg]=\\ &=\frac{A}{2}\bigg[\delta(f-f_0)+\delta(f+f_0)\bigg]\\ }

Oppure, utilizzando la formula del prodotto per un fasore:

\large \mathcal{F}\bigg[\widetilde{x}(t)e^{j2\pi f_0 t} \bigg] = \widetilde{X}(f-f_0) \quad \land \quad \mathcal{F}\bigg[\widetilde{x}(t)e^{-j2\pi f_0 t} \bigg] = \widetilde{X}(f+f_0)

Si può scrivere:

\eq{ \widetilde{x}(t) &= \frac{A}{2} \implies \widetilde{X}(f) = \frac{A}{2}\delta(f) \\ \implies x(t)&=\widetilde{x}(t)\bigg[e^{j\pi f_0 t}+e^{-j\pi f_0 t} \bigg]=\\ &=\widetilde{x}(t) e^{j\pi f_0 t} + \widetilde{x}(t)e^{-j\pi f_0 t}\\ \implies X(f)&=\widetilde{X}(f-f_0)+\widetilde{X}(f+f_0)=\\ &=\frac{A}{2}\delta(f-f_0)+\frac{A}{2}\delta(f+f_0)=\\ &=\frac{A}{2}\bigg[\delta(f-f_0)+\delta(f+f_0)\bigg] }

Esempio: relazione di Parseval. Si vuole calcolare l’energia del segnale che segue:

\eq{ x(t) &= A \text{sinc}\bigg(\frac{t}{T}\bigg) \\ \implies E_x &= \int_{-\infty}^{\infty} A^2 \text{sinc}^2\bigg(\frac{t}{T}\bigg)dt }

Il procedimento di questo integrale è molto complesso. Applicando la trasformata, si ottiene:

\eq{ X(f) &= AT \text{rect}(fT) \\ \implies E_x &= \int_{-\infty}^{\infty} (AT)^2 \text{rect}^2(fT)dt= \\ &= (AT)^2 \int_{-1/(2T)}^{1/(2T)} 1 dt =\\ &= (AT)^2 \frac{1}{T} = A^2 T }

Nel campo delle frequenze, il rettangolo è alto $AT$ (posto fuori dall’integrale) e lungo $1/T$ .

Esempio: ripetizioni periodiche.

\eq{ x(t) &= A \cos\bigg(2\pi\frac{t}{T_0}\bigg)\text{rect}\bigg(\frac{t}{T_0/2}\bigg)\\ y(t) &= \sum_{n=-\infty}^{\infty} x(t-nT_0) \\ Y_k &= \frac{1}{T_0} \int_{-T_0/2}^{T_0/2}y(t)e^{-j\,2\pi \,k\,t/T_0}dt=\\ &= \frac{1}{T_0} X\bigg(k\frac{1}{T_0}\bigg) }

Grazie alla proprietà di modulazione:

\eq{ &\mathcal{F}\bigg[\widetilde{x}(t)\cos(2\pi f_0 t)\bigg] = \frac{1}{2}\bigg[\widetilde{X}(f-f_0)+\widetilde{X}(f+f_0)\bigg]\\ \widetilde{x}(t) &= A \text{rect}\bigg(\frac{t}{T_0/2}\bigg)\\ \implies \widetilde{X}(f) &= A\frac{T_0}{2}\text{sinc}\bigg(f\frac{T_0}{2}\bigg) \\ \implies X(f) &=\frac{1}{2}\widetilde{X}\bigg(f-\frac{1}{T_0}\bigg)+\frac{1}{2}\widetilde{X}\bigg(f+\frac{1}{T_0}\bigg) =\\ &= \frac{A}{2}\frac{T_0}{2}\text{sinc}\bigg[\bigg(f-\frac{1}{T_0}\bigg)\frac{T_0}{2}\bigg]+\frac{A}{2}\frac{T_0}{2}\text{sinc}\bigg[\bigg(f+\frac{1}{T_0}\bigg)\frac{T_0}{2}\bigg] }

Si può campionare il segnale:

\eq{ Y_k &= \frac{1}{T_0} X\bigg(\frac{k}{T_0}\bigg) =\\ &= \frac{A}{4}\text{sinc}\bigg[\bigg(\frac{k}{T_0}-\frac{1}{T_0}\bigg)\frac{T_0}{2}\bigg]+\frac{A}{4}\text{sinc}\bigg[\bigg(\frac{k}{T_0}+\frac{1}{T_0}\bigg)\frac{T_0}{2}\bigg]=\\ &= \frac{A}{4}\text{sinc}\bigg(\frac{k-1}{2}\bigg)+\frac{A}{4}\text{sinc}\bigg(\frac{k+1}{2}\bigg) }

Esponenziale monolatero

Il comportamento dell’esponenziale per $t \leq 0$ viene azzerato grazie alla moltiplicazione per la funzione gradino.

\large x(t) = e^{-t/T} \cdot u(t)= \sis{e^{-t/T} \quad & t > 0\\ 0 & t \leq 0 }

La sua trasformata di Fourier è:

\eq{ X(f) &= \int_{-\infty}^{+\infty}x(t)e^{-j2\pi ft}dt =\\ &= \int_{0}^{+\infty} e^{-t/T} e^{-j2\pi ft}dt =\\ &= \int_{0}^{+\infty} e^{-t(1/T+j2\pi f)}dt =\\ &= \lim_{c \to +\infty}\int_{0}^c e^{-t(1/T+j2\pi f)}dt=\\ &= \frac{T}{1+j2\pi fT} }

L’anti-trasformata di Fourier dell’esponenziale monolatero è:

\eq{ \large X(f) &= \sis{e^{-f/T} \quad & f > 0\\ 0 & f \leq 0}\\ x(t)&=\int_{-\infty}^{\infty}X(f)e^{j2\pi ft}df=\\ &=\int_{0}^{\infty}e^{-f/T}e^{j2\pi ft}df=\\ &=\lim_{c\to +\infty}\int_{0}^{c} e^{f(j2\pi t-1/T)}df=\\ &=\lim_{c\to +\infty}\frac{jT(1-e^{c(j2\pi t-1/T)})}{2\pi tT+j}=\\ &=\frac{jT(1-0)}{2\pi tT+j}=\frac{jT}{2\pi tT+j}=\\ &=\frac{T}{1+j2\pi tT} }

Esponenziale discreto

Data la sequenza:

x[n]=a^n \cdot u[n]

Data la formula della somma della serie geometrica:

\sum_{n=0}^{\infty} q^n = \frac{1}{1-q}\quad |q|<1

La trasformata di Fourier della sequenza è:

\eq{ \overline{X}(f) &= \sum_{n=-\infty}^{\infty}a^n \cdot u[n]\cdot e^{-j2\pi fnT}=\\ &= \sum_{n=0}^{\infty}a^n \cdot e^{-j2\pi fnT}\impliedby u[n] = 0\quad\forall n < 0\\ &= \sum_{n=0}^{\infty}\Big[a\cdot e^{-j2\pi fT}\Big]^n =\\ &= \frac{1}{1-ae^{-j2\pi fT}}\impliedby q = a\cdot e^{-j2\pi fT}\\ }

Si osserva che la condizione di esistenza è: $|a|<1$ .

Lo spettro di ampiezza è il modulo della trasformata. Lo spettro di fase è l’argomento principale. Inoltre, $\overline{X}(f) \in \C$ :

\eq{ \overline{A}(f)&=|\overline{X}(f)| =\\ &=\sqrt{\Re{\Big[\overline{X}(f)\Big]}^2+\Im{\Big[\overline{X}(f)\Big]}^2}\\ &=\frac{1}{\sqrt{1+a^2-2a\cos(2\pi fT)}}\\ \\ \Theta(f) &= \angle \overline{X}(f) =\\ &= -\text{arctg}\bigg[\frac{a \sin(2\pi fT)}{1-a\cos(2\pi fT)}\bigg] }

Delta di Dirac discreta

La trasformata di Fourier della sequenza $\delta [n]$ è:

\overline{\Delta}(f) = \sum_{n=-\infty}^{\infty}\delta[n]e^{-j2\pi fnT}=1

L’unico termine non nullo della serie si ha per $n=1$ :

\eq{ n &\neq 0 \implies \delta[n]e^{-j2\pi fnT}=0\\ n &= 0 \implies \delta[n]e^{-j2\pi fnT}=1 }

$\overline{\Delta}(f)$ è una funzione periodica di periodo $1/T$ che assume il valore $1$ in ogni periodo.

Dimostrazione Prodotto per fasore

Il sequente codice MATLAB illustra la proprietà del prodotto per fasore per il segnale $x(t) = rect(t)$ .

function prodotto_fasore_tcontinuo

N = 2; % durata sul semiasse positivo
f0 = 1.6;

% --- dominio del tempo
% es: x(t) = rect(t) --> X(f) = sinc(f)

t = linspace(-N, N, 1001);
t_size = zeros(size(t));
xt = rect(t);
yt = xt .* exp(1i * 2 * pi * f0 .* t);

figure(1);
plot(t, xt, 'LineWidth', 2.5, 'Color', 'b')
hold on
plot(t, real(yt), 'LineWidth', 2.5, 'Color', 'r')
hold on
plot(t, t_size, t_size, t, 'Color', '#808080', 'LineStyle','--')
grid on
title('Prodotto per fasore', FontSize=20)
set(legend("$x(t) = rect(t)$", "$y(t) = x(t)e^{j2\pi f_0 t}$"),'Interpreter','latex','FontSize',24);
hold off

% --- dominio delle frequenze

f = linspace(-N, N, 1001);
f_size = zeros(size(f));
Xf = sinc(f);
Yf = sinc(f-f0);

figure(2);
plot(f, Xf, 'LineWidth', 2.5, 'Color', 'b')
hold on
plot(f, Yf, 'LineWidth', 2.5, 'Color', 'r')
hold on
plot(f, f_size, f_size, f, 'Color', '#808080', 'LineStyle','--')
grid on
title('Traslazione in frequenza', FontSize=20)
set(legend("$X(f)=sinc(f)$", "$Y(f)=X(f-f_0)=sinc(f-f_0)$"),'Interpreter','latex','FontSize',24);
hold off

end

% by using x(abs(x)<=1) inside the indexing operation (on the left), you
% ensure that both sides of the assignment have the same dimensions.
function y = rect(x)
    y=zeros(1, length(x));
    y(abs(x) < 1/2) = 1;
    y(abs(x) == 1/2) = 1/2;
end


function y = cardinal_sin(x)
    y=zeros(1,length(x));
    y(x==0)=1;
    y(x~=0)=sin(pi*x(x~=0))./(pi*x(x~=0));
end