Processo aleatorio tempo continuo

Introduzione

Prima di affrontare l’argomento dei processi aleatori tempo continui, è necessario richiamare alcune parti di teoria dei segnali deterministici.

Funzione di autocorrelazione

I segnali deterministici possono essere ad energia o a potenza finita.

Per segnali ad energia ExE_x finita, la funzione di autocorrelazione è:

Rx(τ)=∫−∞∞x(t)x(t−τ)dt==⟨x(t)x(t−τ)⟩==lim⁡T→∞1T∫−T/2T/2x(t)x(t−τ)dt\eq{ R_x(\tau)&=\int_{-\infty}^{\infty}x(t)x(t-\tau)dt=\\ &=\lang x(t)x(t-\tau) \rang =\\ &=\lim_{T\to\infty}\frac{1}{T}\int_{-T/2}^{T/2}x(t)x(t-\tau)dt }

Per segnali a potenza PxP_x finita, vale la relazione:

Px=⟨x2(t)⟩=Rx(0)P_x = \lang x^2(t) \rang = R_x(0)

Le proprietà più importanti sono:

Rx(τ)=Rx(−τ)∣Rx(τ)∣≤Rx(0)=Px  ⟹  {Rx(τ)≥−PxRx(τ)≤Px\eq{ & R_x(\tau)=R_x(-\tau)\\ & |R_x(\tau)| \leq R_x(0)=P_x\\ & \implies \sis{ R_x(\tau) \geq -P_x\\ R_x(\tau) \leq P_x\\ } }

Dimostrazione:

⟨(x(t)±x(t−τ))2⟩≥0  ⟹  Px+Px±2Rx(τ)==  2[Px±Rx(τ)]≥0\eq{ & \lang(x(t)\pm x(t-\tau))^2\rang \geq 0 \\ \implies & P_x + P_x \pm 2R_x(\tau) =\\ =&\; 2\big[ P_x \pm R_x(\tau)\big]\geq 0 }

Nel dominio delle frequenze, si ricava la densità spettrale di potenza:

Sx(f)=F[Rx(τ)]S_x(f) = \mathcal{F} \big[ R_x(\tau) \big]

Questa funzione è conosciuta anche come spettro di potenza:

Px=Rx(0)=∫−∞∞Sx(f)dfP_x = R_x(0) = \int_{-\infty}^{\infty}S_x(f)df

Per segnali a potenza finita, se Sx(f)S_x(f) è simmetrica, si può introdurre il concetto di densità spettrale di potenza monolatera Sx(M)(f)S_x^{(\rm M)}(f) come segue:

Sx(M)(f)=2Sx(f)f≥0  ⟹  Px=∫−∞∞Sx(f)df=2∫0∞Sx(f)df=∫0∞Sx(M)(f)df\eq{ & S_x^{(\rm M)}(f) = 2 S_x(f)\quad f \geq 0\\ \implies & P_x = \int_{-\infty}^{\infty}S_x(f)df = 2\int_{0}^{\infty}S_x(f)df = \int_{0}^{\infty}S_x^{(\rm M)}(f)df }

Date x(t)x(t), y(t)y(t) e le corrispettive funzioni di autocorrelazione Rx(τ)R_x(\tau) e Ry(τ)R_y(\tau). Dato il seguente sistema LTI:

→x(t)LTI: h(t)→y(t)=x(t)∗h(t)\xrightarrow{x(t)}\boxed{\text{LTI: } h(t)} \xrightarrow{y(t)=x(t)\ast h(t)}

La convoluzione nei domini di tempo e di frequenza è:

y(t)=x(t)∗h(t)  ⟹  Ry(τ)=Rx(τ)∗h(τ)∗h(−τ)  ⟹  Sy(f)=Sx(f)⋅H(f)⋅H(f)∗==Sx(f)⋅∣H(f)∣2\eq{ y(t) &= x(t)\ast h(t) \\ \implies R_y(\tau) &=R_x(\tau)\ast h(\tau)\ast h(-\tau)\\ \implies S_y(f) &=S_x(f) \cdot H(f)\cdot H(f)^*=\\ &=S_x(f) \cdot |H(f)|^2 }

Esperimento Aleatorio

Un segnale non determinato (non predicibile) è detto aleatorio.

Si consideri un esperimento aleatorio, ovvero uno spazio di probabilità, definito da:

  1. spazio campione Ω={ωi}\Omega = \{\omega_i\}
  2. classe di eventi S
  3. legge di probabilità Pr(⋅)\Pr{\cdot}

Si devono individuare le funzioni campione xi(t)x_i(t) in funzione del tempo. Sono uguali, in numero, ai risultati dell’esperimento ωi\omega_i. Il processo aleatorio è la corrispondenza che associa ad ogni risultato ωi\omega_i una delle funzioni campione xi(t)x_i(t):

X(ωi; t)=xi(t)\Large X(\omega_i;\,t)=x_i(t)

La notazione di un processo aleatorio spesso omette la dipendenza da ωi\omega_i ed è dunque semplicemente X(t)X(t).

Le funzioni campione sono tutti (e soli) i possibili segnali di un dato processo aleatorio. La realizzazione è invece il segnale effettivamente osservato in una data prova dell’esperimento aleatorio.

Fissato in modo arbitrario un istante t=t1t=t_1, il valore del processo X(ωi ; t1)X(\omega_i\,;\,t_1) è un insieme di i valori ottenuti “campionando” le funzioni campione nel dato istante: xi(t1)x_i(t_1). Si può associare una variabile aleatoria al valore che assume il processo ad un dato istante.

Indici Caratteristici

Il comportamento statistico di una variabile può essere descritto mediante la funzione distribuzione di probabilità del primo ordine del processo:

FX(x; t1):=Pr({X(t1)≤x})F_X(x;\,t_1):=\Pr{\{X(t_1)\leq x\}}

Questa funzione non è sufficiente per descrivere un processo aleatorio, ma fonda le basi per poter definire la funzione distribuzione di probabilità di ordine n del processo:

FX(x1, x2, …, xn; t1, t2, …, tn):=Pr({X(t1)≤x1, X(t2)≤x2, …, X(tn)≤xn})F_X(x_1,\,x_2,\,\dots,\,x_n;\,t_1,\,t_2,\,\dots,\,t_n):=\Pr{\{X(t_1)\leq x_1,\,X(t_2)\leq x_2,\,\dots,\,X(t_n)\leq x_n\}}

Per descrivere un processo aleatorio si può usare anche la funzione densità di probabilità di ordine n:

fX(x1, x2, …, xn; t1, t2, …, tn):=∂nFX(x1, x2, …, xn; t1, t2, …, tn)∂x1 ∂x2… ∂xnf_X(x_1,\,x_2,\,\dots,\,x_n;\,t_1,\,t_2,\,\dots,\,t_n) := \frac{\partial^n F_{X}(x_1,\,x_2,\,\dots,\,x_n;\,t_1,\,t_2,\,\dots,\,t_n)}{\partial x_1\,\partial x_2\dots\,\partial x_n}

Si può quindi affermare che un processo aleatorio è una famiglia di variabili aleatorie dipendenti dalla variabile temporale t e caratterizzate dalla classe delle densità di probabilità congiunte fX(x1, x2, …, xn; t1, t2, …, tn)f_X(x_1,\,x_2,\,\dots,\,x_n;\,t_1,\,t_2,\,\dots,\,t_n).

Indici statistici del I ordine

Un indice statistico si dice del primo ordine quando il suo calcolo prende in considerazione una sola variabile aleatoria estratta dal processo.

Il valore medio statistico è:

ηX(t):=∫−∞+∞xfX(x,t)dx\eta_X(t):=\int_{-\infty}^{+\infty} x f_X(x,t)dx

Fissato un istante t=t‾t=\overline{t} si ottiene il valore atteso:

ηX(t‾)=E{X(t‾)}=∫−∞+∞xfX(x, t‾)dx\eta_X (\overline{t}) = E\{X(\overline{t})\}=\int_{-\infty}^{+\infty} x f_X(x,\,\overline{t})dx

La potenza media statistica istantanea è definita come:

PX(t):=E{X2(t)}=∫−∞+∞x2fX(x, t)dxP_X(t) := E\{X^2(t)\}=\int_{-\infty}^{+\infty} x^2 f_X(x,\,t)dx

Chiamata semplicemente potenza media, è l’analogo della potenza istantanea dei segnali determinati.

La funzione varianza del processo è:

σX2(t):=E{(X(t)−ηX(t))2}==∫−∞+∞(x−ηX(t))2fX(x,t)dx==PX(t)−ηX2(t)\eq{ \sigma_X^2(t) &:= E\Big\{\Big(X(t)-\eta_X(t)\Big)^2\Big\} =\\ &= \int_{-\infty}^{+\infty} \Big(x-\eta_X(t)\Big)^2 f_X(x,t)dx =\\ &= P_X(t)-\eta_X^2(t) }

Notazione: a seconda del testo di riferimento, l’indice statistico del valore medio viene indicato con la lettera η\eta (eta), μ\mu (mu) oppure più semplicemente con una m.

Indici statistici del II ordine

Dati due istanti di tempo t1t_1 e t2t_2, si ottengono le due variabili aleatorie Y=X(t1)Y=X(t_1) e Z=X(t2)Z=X(t_2). La correlazione rYZ=E{YZ}r_{YZ}=E\{YZ\} è funzione dei due istanti di tempo e può essere calcolata solo se è nota la funzione densità di probabilità del secondo ordine del processo: fX(x1,x2; t1,t2)f_X(x_1,x_2;\,t_1,t_2).

La correlazione prendere il nome di funzione di autocorrelazione perché le due variabili aleatorie sono estratte dallo stesso processo aleatorio:

RX(t1,t2):=E{X(t1)X(t2)}==∫x1=−∞+∞∫x2=−∞+∞x1x2fX(x1,x2;t1,t2)dx1dx2\eq{ R_X(t_1,t_2) &:= E\{X(t_1)X(t_2)\} =\\ &=\int_{x_1=-\infty}^{+\infty}\int_{x_2=-\infty}^{+\infty} x_1 x_2 f_X(x_1,x_2;t_1,t_2)dx_1 dx_2 }

In modo analogo, la covarianza prendere il nome di funzione di autocovarianza:

CX(t1,t2):=  E{[X(t1)−ηX(t1)]⋅[X(t2)−ηX(t2)]}==∫x1=−∞+∞∫x2=−∞+∞[x1−ηX(t1)][x2−ηX(t2)]fX(x1, x2; t1, t2)dx1dx2\eq { C_X(t_1,t_2) &:= \; E\Big\{\Big[X(t_1)-\eta_X(t_1)\Big]\cdot\Big[X(t_2)-\eta_X(t_2)\Big]\Big\} = \\ &= \int_{x_1=-\infty}^{+\infty}\int_{x_2=-\infty}^{+\infty} \big[x_1-\eta_X(t_1)\big]\big[x_2-\eta_X(t_2)\big] f_X(x_1,\,x_2;\,t_1,\,t_2)dx_1 dx_2 }

Tali indici sono legati dalla relazione:

CX(t1,t2)=RX(t1,t2)−ηX(t1)ηX(t2)C_X(t_1,t_2) = R_X(t_1,t_2)-\eta_X(t_1)\eta_X(t_2)

Proprietà di stazionarietà

Se il valore della funzione densità di probabilità rimane invariato per qualunque intervallo Δt\Delta t e per ogni ordine n, allora il processo si dice stazionario in senso stretto.

fX(x1, x2, …, xn; t1+Δt, t2+Δt, …, tn+Δt)==fX(x1, x2, …, xn; t1, t2, …, tn)∀n,  ∀Δt\eq{ &f_X(x_1,\,x_2,\,\dots,\,x_n;\,t_1+\Delta t,\,t_2+\Delta t,\,\dots,\,t_n+\Delta t) = \\ =&f_X(x_1,\,x_2,\,\dots,\,x_n;\,t_1,\,t_2,\,\dots,\,t_n) \quad \forall n,\;\forall \Delta t }

Ciò significa che X(t)X(t) può essere diverso da X(t+Δt)X(t+\Delta t). I due processi non possono essere discriminati sulla base degli indici statistici introdotti.

Un processo è stazionario in senso lato (o in senso debole) se:

  1. la funzione valore medio è costante nel tempo ηX(t)=ηX\eta_X(t)=\eta_X
  2. dati due istanti di tempo t1t_1 e t2t_2, la funzione di autocorrelazione dipende solo dalla loro differenza: RX(t1, t2)=RX(t1−t2)R_X(t_1,\,t_2)=R_X(t_1-t_2)​

Se la funzione valore medio è costante nel tempo allora:

ηX(τ)=E{X(τ)}=ηX∀τ∈R\eta_X(\tau) = E\{X(\tau)\} = \eta_X \quad \forall \tau \in \R

Filtraggio

Dato un generico segnale aleatorio X(t)X(t) costituito da una componente di segnale utile s(t)s(t) a cui si aggiunge un disturbo aleatorio D(t)D(t) con ηD(t)=0\eta_D(t)=0. L’operazione di filtraggio su X(t)X(t) deve mantenere invariato il segnale utile e (cercare di) annullare il disturbo. Il filtro è un sistema lineare stazionario.

Il segnale Y(t)Y(t) in uscita dal filtro è un processo aleatorio strettamente legato all’input. Data h(t)h(t) la risposta impulsiva del filtro, grazie alla proprietà di stazionarietà:

Y(t)=X(t)⊗h(t)Y(t)= X(t) \otimes h(t)

Le densità di probabilità dell’uscita sono quasi sempre impossibili da determinare, nonostante siano note le densità di probabilità del segnale aleatorio di ingresso.

Indici statistici dell’uscita

Noto il valore medio dell’ingresso, si può ricavare il valore medio del segnale aleatorio in uscita dal filtro:

ηY(t)=E{Y(t)}=E{X(t)⊗h(t)}=ηX(t)⊗h(t)\eta_Y(t) = E\{Y(t)\} = E\{X(t) \otimes h(t)\} = \eta_X(t) \otimes h(t)

La funzione di autocorrelazione è data da una doppia convoluzione:

RY(t1,t2)=RX(t1,t2)⊗h(t1)⊗h(t2)R_Y(t_1,t_2) = R_X(t_1,t_2) \otimes h(t_1) \otimes h(t_2)

Processo aleatorio stazionario in senso lato

Questo paragrafo analizza il caso particolare in cui il processo in ingresso, ovvero X(t)X(t), è stazionario in senso lato.

Si ricordano le seguenti implicazioni:

  1. la funzione valore medio è costante nel tempo ηX(t)=ηX\eta_X(t)=\eta_X
  2. dati due istanti di tempo t1t_1 e t2t_2, la funzione di autocorrelazione: RX(t1, t2)=RX(t1−t2)R_X(t_1,\,t_2)=R_X(t_1-t_2)

Sia H(f)H(f) la risposta in frequenza del filtro. Il valore medio del segnale aleatorio in uscita è pari al valore medio del segnale aleatorio in ingresso moltiplicato per il cosiddetto guadagno in continua, ovvero H(0)H(0):

ηY(t)=ηX(t)⊗h(t)=ηX⋅H(0)\eta_Y(t) = \eta_X(t) \otimes h(t) = \eta_X \cdot H(0)

Data rh(τ)r_h(\tau) la funzione di autocorrelazione della risposta impulsiva del filtro. La funzione di autocorrelazione del segnale aleatorio in uscita è data da:

RY(τ)=RX(τ)⊗h(τ)⊗h(−τ)=RX(τ)⊗rh(τ)R_Y(\tau) = R_X(\tau) \otimes h(\tau) \otimes h(-\tau) = R_X(\tau) \otimes r_h(\tau)

Sapendo che la densità spettrale di potenza è la trasformata di Fourier della funzione di autocorrelazione, ovvero:

SX(f)=F[RX(τ)]S_X (f) = \mathcal{F}\Big[R_X(\tau) \Big]

Allora un altro modo per ottenere la funzione di autocorrelazione del processo aleatorio in uscita dal filtro è:

SY(f)=SX(f)⋅∣H(f)∣2S_Y(f) = S_X(f) \cdot |H(f)|^2

Ed applicare l’operatore di anti-trasformata alla funzione densità spettrale di potenza:

RY(τ)=F−1[SY(f)]R_Y(\tau) = \mathcal{F}^{-1}\Big[S_Y (f)\Big]

Esempio. Dato il seguente processo aleatorio:

X(t)=∑k=−∞+∞δ(t−kT−Θ)X(t) = \sum_{k=-\infty}^{+\infty} \delta (t-kT-\Theta)

con Θ\Theta variabile aleatoria uniformemente distribuita in [0,T)[0, T).

Il processo subisce un filtraggio con risposta impulsiva data da:

h(t)={1/TT<∣t∣<2T∣tT/2∣∣t∣<T0∣t∣>2Th\Large (t) = \sis{ 1/T \quad & T < |t| < 2T \\ \big|\frac{t}{T/2}\big| \quad & |t| < T \\ 0 \quad & |t| > 2T }

Ovvero un rettangolo alto 1/T1/T lungo ±2T\pm 2T ma che presenta un triangolo “verso il basso” tra ±T\pm T.

esempio_1

Senza perdersi nei calcoli, la funzione valore medio dell’input è:

ηX(t)=E{X(t)}=1T∫−∞+∞δ(u)du=1T\eta_X(t) = E\{X(t)\} = \frac{1}{T} \int_{-\infty}^{+\infty} \delta (u)du = \frac{1}{T}

La funzione valore medio dell’output è:

ηY(t)=ηX(t)⋅∣H(0)∣=1T⋅∫−∞+∞h(t)dt=3T\eta_Y(t) = \eta_X(t) \cdot |H(0)|= \frac{1}{T} \cdot \int_{-\infty}^{+\infty} h(t)dt = \frac{3}{T}

Come si può vedere dal grafico soprastante, i contributi delle parti rettangolari sono rispettivamente (1/2)/T(1/2)/T, così come il contributo del triangolo (inverso) al centro.

Caso d’uso reale

In questo paragrafo si analizza un caso d’uso reale del filtraggio di un processo aleatorio in senso lato.

Dato un processo aleatorio SSL (stazionario in senso lato) X(t)X(t) con funzione di autocorrelazione pari a:

RX(τ)=α  sinc(Bτ)R_X(\tau) = \alpha \; \text{sinc}(B\tau)

Il processo attraversa un filtro con risposta in frequenza:

H(f)=triang(fT)H(f) = \sqrt{\text{triang}(fT)}

da cui si ottiene il processo aleatorio Y(t)Y(t) e grazie al quale si costruisce il campione:

Z=Y(0)+Y(−2T)Z = Y(0)+Y(-2T)

Si vuole calcolare media e varianza del campione Z.

Risulta utile calcolare il valore della risposta in frequenza nel punto f=0f=0:

H(0)=triang(0)=1=1H(0) = \sqrt{\text{triang}(0)} = \sqrt{1} = 1

Si procede calcolando la media dell’ingresso per ricavare la media dell’uscita. Poiché il processo aleatorio è stazionario in senso lato, ci si aspetta un valore medio costante nel tempo:

ηX=lim⁡τ→∞RX(τ)==lim⁡τ→∞α  sinc(Bτ)==α⋅0=0\eq{ \eta_X &= \sqrt{\lim_{\tau \to \infty} R_X(\tau)} =\\ &= \sqrt{\lim_{\tau \to \infty}\alpha \; \text{sinc} (B\tau)} =\\ &= \alpha \cdot 0 = 0 }

La funzione valore medio dell’output è:

ηY(t)=ηX(t)⋅∣H(0)∣=0\eta_Y(t) = \eta_X(t) \cdot |H(0)| = 0

N.B. Poiché la media è costante, si può togliere la dipendenza temporale dalle due funzioni e scrivere:

ηY=ηX⋅∣H(0)∣=0\eta_Y = \eta_X \cdot |H(0)| = 0

La media del campione Z è data dalla formula:

μZ=E{Z}==E{Y(0)+Y(−2T)}==μY+μY=0\eq{ \mu_Z &= E\{Z\} =\\ &= E\{Y(0) + Y(-2T)\} =\\ &=\mu_Y + \mu_Y = 0 }

Per calcolare la varianza di Z è necessario disporre della funzione di autocorrelazione dell’uscita del filtro, che si ottiene a sua volta anti-trasformando la densità spettrale di potenza (dell’uscita).

La densità spettrale di potenza dell’uscita dipende da quella di ingresso secondo la seguente relazione:

SX(f)=F[rX(τ)]=αBrect(fB)SY(f)=SX(f)⋅∣H(f)∣2==αBrect(fB)⋅triang(fT)==αBrect(fB)⋅triang(2Bf)==αBtriang(2Bf)=\eq{ S_X(f) &= \mathcal{F}[r_X(\tau)] = \frac{\alpha}{B} \text{rect}\bigg(\frac{f}{B} \bigg) \\ \\ S_Y(f) &= S_X(f) \cdot |H(f)|^2 =\\ &= \frac{\alpha}{B} \text{rect}\bigg(\frac{f}{B} \bigg) \cdot \text{triang}(fT) =\\ &= \frac{\alpha}{B} \text{rect}\bigg(\frac{f}{B} \bigg) \cdot \text{triang}\bigg(\frac{2}{B}f \bigg)=\\ &= \frac{\alpha}{B} \text{triang}\bigg(\frac{2}{B}f \bigg)=\\ }

Si osserva, per come sono definite, che:

  1. rect(⋅)\text{rect}(\cdot) impone SY(f)≠0S_Y(f) \neq 0 per ∣f∣<B/2|f| < B/2
  2. triang(⋅)\text{triang}(\cdot) impone SY(f)≠0S_Y(f) \neq 0 per ∣f∣≤B/2|f| \leq B/2

Dunque il rettangolo si può omettere perché non cambia il comportamento della funzione.

Si procede calcolando la funzione di autocorrelazione dell’uscita dal filtro (ed un paio di valori che serviranno in seguito).

rY(τ)=F−1[SY(f)]==αBB2sinc2(τT)==α2sinc2(Bτ2)  ⟹  rY(0)=α/2  ⟹  rY(−2T)=0\eq{ r_Y(\tau) &= \mathcal{F}^{-1}[S_Y(f)] =\\ &= \frac{\alpha}{B}\frac{B}{2}\text{sinc}^2\bigg(\frac{\tau}{T}\bigg)=\\ &= \frac{\alpha}{2}\text{sinc}^2\bigg(\frac{B\tau}{2}\bigg)\\ & \implies r_Y(0) = \alpha / 2\\ & \implies r_Y(-2T) =0 }

Infine si può calcolare la varianza del campione:

σZ2=E[Z2]==E[(Y(0)+Y(−2T))2]==E[Y2(0)]+E[Y2(−2T)]+2E[Y(0)+Y(−2T)]==rY(0)+rY(0)+2rY(−2T)==α\eq{ \sigma_Z^2 &= E\Big[Z^2\Big] = \\ &= E\Big[\big(Y(0)+Y(-2T)\big)^2\Big] =\\ &= E\Big[Y^2(0)\Big] + E\Big[Y^2(-2T)\Big] + 2E\Big[Y(0) + Y(-2T)\Big] =\\ &= r_Y(0) + r_Y(0) + 2r_Y(-2T) =\\ &= \alpha }

con α\alpha che deve essere un valore noto, ad esempio α=5  [V2]\alpha = 5 \; \rm [V^2]