Elettrostatica nei conduttori

Introduzione

Atomo Idrogenoide

Il modello classico dell’atomo idrogenoide è dato da un nucleo caricato positivamente e da un elettrone che orbita attorno al nucleo (del tutto simile al modello dell’atomo di idrogeno di Bohr). Quando il nucleo di un atomo è caricato positivamente, il potenziale elettrico generato è positivo.

L’energia potenziale elettrostatica di un elettrone che si muove nella regione di spazio in cui è presente un potenziale elettrico positivo è data da:

La carica dell’elettrone è negativa: l’energia potenziale elettrostatica del sistema (nucleo ed elettrone) è negativa.

Riferimento a zero dell’energia

Un elettrone in quiete, posto a distanza infinita dal nucleo di un atomo, è caratterizzato da un energia totale nulla. Quando un elettrone è intrappolato in una buca di potenziale, la sua energia totale è negativa. Per estrarre un elettrone da una buca di potenziale, occorre fornire energia all’elettrone.

Il potenziale elettrico (o elettrostatico) è il lavoro per unità di carica che compie il campo elettrico per spostare la carica dall’origine a una distanza infinita:

L’energia potenziale elettrostatica rappresenta il lavoro che si deve compiere per spostare l’elettrone dalla distanza infinita fino al di fuori della buca di potenziale, vincendo le forze del campo.

Energia potenziale elettrostatica di dielettrico

Grazie al principio di sovrapposizione dei campi, si può affermare che il campo elettrico in un determinato punto dello spazio (il solito punto P) è dato dalla somma vettoriale dei campi elettrici generati dalle cariche considerate singolarmente. Ne consegue la proprietà di sommabilità dei potenziali: il potenziale elettrico e l’energia potenziale elettrostatica sono calcolabili in qualsiasi punto come la somma dei potenziali generati dalle singole cariche.

L’energia potenziale generata da ogni nucleo atomico, ad esempio, è:

Sommando punto a punto l’energia potenziale elettrostatica data da tutti i nuclei presenti, si ottiene un grafico come in figura:

La buca di potenziale presente al centro del grafico è una “conca” al cui interno le cariche possono muoversi solamente se hanno energia a sufficienza per uscire dalle buche di potenziale dei singoli nuclei. In un materiale isolante (detto dielettrico), l’energia totale degli elettroni più esterni non è sufficiente a farli muovere da un sito atomico all’altro.

La buca di potenziale all’interno di un dielettrico ha una profondità di diversi elettron-volt [eV]:

La buca di potenziale (in un dielettrico) è molto maggiore dell’energia totale delle cariche.

Un conduttore è un materiale in cui gli elettroni hanno energia totale a sufficienza per muoversi da un sito atomico ad un altro.

Distribuzione delle energie cinetiche

Le cariche contenute in un solido non sono caratterizzate tutte quante dalla stessa energia. Gli elettroni in un solido si comportano come le molecole di un gas all’interno di un contenitore: si possono muovere al suo interno, ma non possono uscire (come nel caso di una buca di potenziale).

L’energia media delle cariche e la loro distribuzione attorno all’energia media dipende dalla temperatura a cui si trovano le suddette cariche. A basse temperature, gli elettroni tendono ad avere tutti un’energia che tende a quella più probabile. All’aumentare della temperatura, la distribuzione si allarga ed aumenta il numero di cariche la cui energia si discosta in modo considerevole (molto maggiore o molto minore) rispetto all’energia più probabile (ovvero il punto di massimo del grafico della funzione).

$f_E(E)$ rappresenta la frazione di particelle molto vicine all’energia E. Si tratta di grafici dalla tipica forma a campana di Gauss: più alte e strette per temperature basse e più larghe e basse per temperature più alte.

Se si pone l’energia E sull’asse orizzontale ed $f_E(E)$ su quello verticale, al variare della temperatura T si può verificare quanto appena scritto, come si vede dal seguente grafico:

L’energia degli elettroni all’interno di una buca di potenziale andrebbe rappresentata da una linea sfumata. A livello grafico, all’aumentare della temperatura, aumentano:

1. livello della linea: energia più probabile
2. ampiezza della sfumatura: dispersione in energia

A livello pratico, all’aumentare della temperatura aumenta anche la probabilità che alcuni elettroni della distribuzione abbiano sufficiente energia per muoversi da un sito atomico a quello adiacente.

L’emissione termoionica è il fenomeno grazie al quale un elettrone riesce ad uscire dalla propria buca di potenziale. Tale fenomeno è alla base del funzionamento dei transistor.

L’elettrostatica è la branca della fisica che studia fenomeni elettrici in cui le cariche sono statiche (ferme). Il modello discusso in precedenza descrive i conduttori come una buca di potenziale di alcuni eV di profondità all’interno della quale gli elettroni sono liberi di muoversi spostandosi da un sito atomico all’altro. Quando sulle cariche presenti in un conduttore agisce una forza, queste accelerano e si muovono. Se le cariche libere sono positive, queste si muovono nella stessa direzione del campo elettrico. Se le cariche disponibili per la conduzione sono negative, si muovono nella direzione opposta a quella del campo elettrico. Il numero di cariche libere all’interno di un conduttore è dell’ordine del numero di Avogadro per ogni centimetro cubo di materiale. Se la temperatura del conduttore non è molto elevata, la dispersione (in energia) delle cariche è tale da non permettere loro di uscire dal conduttore.

L’applicazione di un campo elettrico ad un materiale isolante invece, non è caratterizzata da uno spostamento delle cariche elettriche all’interno del materiale: gli elettroni non hanno energia sufficiente per uscire dalla buca di potenziale generata dal proprio nucleo.

Campo Elettrico

In un conduttore in equilibrio elettrostatico, il campo elettrico è nullo.

Se si applica un campo elettrico ad un conduttore, su tutte le cariche disponibili per la conduzione agisce una forza F per effetto dell’interazione con il campo.

La forza è concorde con il campo se la carica è positiva, oppure discorde se la carica è negativa. Le cariche, per effetto della forza elettrostatica, si muovono all’interno del materiale conduttore. Le cariche, dopo un tempo che corrisponde ad alcuni nanosecondi, raggiungono il bordo della buca di potenziale. Non potendo uscire dalla buca, le cariche si accumulano sul bordo.

In condizioni statiche, una volta ferme, le cariche accumulate in superficie generano a loro volta un campo elettrico che è diretto in modo uscente dalle cariche positive verso le cariche negative (per le quali il campo è diretto in modo entrante).

Il campo elettrico totale all’interno del materiale è dato dalla sovrapposizione del campo esterno (in verde) e il campo elettrico interno (in viola). La loro somma vettoriale, in condizioni statiche, è nulla.

Le cariche negative accumulate durante il transitorio sul lato sinistro del conduttore agiscono da pozzi per le linee del campo. Le cariche positive accumulate a destra del conduttore agiscono da sorgenti per le linee del campo.

Le ultime due immagini sono rappresentazioni equivalenti del fenomeno illustrato. Tale fenomeno, in conclusione, è valido anche nel caso di un campo elettrico non uniforme.

Densità Volumetrica di Carica

In un conduttore in equilibrio elettrostatico, la densità volumetrica di carica è nulla.

Si supponga di conferire una carica Q ad un conduttore e di attendere il tempo necessario ad assicurare la condizione di stazionarietà. Si costruisce una superficie di Gauss S interamente compresa all’interno del conduttore e si calcola il flusso del campo elettrico.

Grazie al teorema di Gauss, si può affermare che se il flusso del campo è nullo, allora anche la carica racchiusa è nulla e di conseguenza anche $\rho = 0$.

Distribuzione delle Cariche

In un conduttore in equilibrio elettrostatico, le cariche sono distribuite superficialmente.

Se si costruisce una superficie di Gauss S interamente compresa all’interno del conduttore, sia il campo elettrico che il flusso del campo sono nulli. Se si espande la superficie di Gauss fino a toccare la superficie del conduttore, la carica sorgente Q conferita al conduttore deve obbligatoriamente giacere sulla superficie.

Preso un conduttore avente una cavità al proprio interno. Si analizzi il caso in cui il conduttore sia provvisto di un foro che metta in comunicazione la superficie esterna con la superficie interna. Il campo elettrico è nullo in tutti i punti della superficie, fatta eccezione per il contributo dato dal foro. Il flusso del campo tende ad essere nullo, così come la carica racchiusa.

Il foro applicato sulla superficie del conduttore permette di trasportare carica sul conduttore stesso. Inoltre, è possibile accumulare carica spendendo poco lavoro.

Generatore di Van de Graaff

Il generatore di Van de Graaff è un generatore elettrostatico che sviluppa differenze di potenziale molto elevate. Viene infatti utilizzato come acceleratore di particelle.

Conduttore Cavo

Un conduttore cavo può essere utilizzato come schermo elettrostatico. Sia Q una carica puntiforme posta all’interno di un conduttore metallico cavo e sia S la superficie di Gauss posta all’interno delle pareti del conduttore.

Carica stazionaria

Le linee del campo generate da Q partono dalla carica stessa per arrivare alla superficie interna del conduttore. Diverse cariche negative (all’interno del conduttore) si posizionano sulla superficie interna per neutralizzare le suddette linee del campo e fare in modo che il campo elettrico interno al conduttore rimanga nullo.

Per conoscere quanta carica si accumula sulla superficie interna del conduttore, è necessario calcolare il flusso del campo elettrico attraverso la superficie S. Il campo elettrico è nullo in tutti i punti della superficie, di conseguenza anche il flusso del campo è nullo:

Dal teorema di Gauss, si ottiene che anche la carica contenuta nella superficie S è nulla. Per fare in modo che la somma algebrica delle cariche contenute nella superficie di Gauss sia nulla, occorre che la carica indotta sulla superficie interna sia uguale alla carica Q, ma con segno opposto: $-Q$. La carica $-Q$ “libera” (nel senso che “lascia andare”) una carica Q che si posiziona sulla superficie esterna del conduttore generando a sua volta linee del campo che escono dal conduttore.

Carica in movimento

Nel caso in cui la carica si muova all’interno della cavità, le linee del campo si muovono di conseguenza. Le cariche indotte sulla superficie interna si ridistribuiscono per neutralizzare le linee del campo ed assicurare che il campo elettrico interno al conduttore rimanga nullo. Lo spostamento delle cariche indotte sulla superficie interna non comporta lo spostamento delle cariche poste sulla superficie esterna del conduttore poiché non si verifica l’azione a distanza del campo elettrico nella regione interna del conduttore. Si suppone che le cariche indotte sulla superficie interna si muovano a velocità infinita e neutralizzino istante per istante il campo elettrico nella cavità.

Dipolo Elettrico

Si analizzi il caso in cui nella cavità del conduttore sono presenti due cariche sorgenti, di cui una positiva e l’altra negativa: un dipolo elettrico. Alcune linee del campo generate dalla carica positiva entrano direttamente nella carica negativa, mentre altre raggiungono la superficie interna del conduttore e vengono neutralizzate da cariche negative (interne al conduttore). Le suddette cariche negative indotte lasciano libere delle cariche positive che generano linee del campo entranti verso la carica negativa del dipolo. La conseguenza più evidente, rispetto ai due casi precedenti, è che dalla superficie esterna del conduttore non escono più linee del campo. Si suppone, come sopra, che le cariche indotte sulla superficie interna si muovano a velocità infinita e neutralizzino istante per istante il campo elettrico del dipolo.

Superficie Equipotenziale

La superficie di un conduttore in equilibrio elettrostatico è equipotenziale.

Si considerino due punti A e B sulla superficie del conduttore. La differenza di potenziale $\Delta V_{AB}$ è data dal cosiddetto integrale di cammino:

La differenza di potenziale è indipendente dal percorso che si sceglie per andare dal punto A al punto B. Scegliere di integrare su un’arbitraria curva $\gamma$ esterna al conduttore potrebbe complicare il calcoli. Poiché il campo è nullo punto a punto all’interno del conduttore, presa una qualsiasi curva $\delta$ che passa al interno del conduttore stesso, si può affermare che il suo integrale è nullo e quindi anche la differenza di potenziale tra i punti A e B. Questa proprietà ha validità per ogni coppia di punti presenti sulla superficie del conduttore.

Perpendicolarità delle linee

Tutte le linee del campo escono in modo perpendicolare dalla superficie di un conduttore in equilibrio elettrostatico. Poiché la superficie di un conduttore (in equilibrio elettrostatico) è equipotenziale ed il gradiente è un vettore perpendicolare alle superfici equipotenziali, il campo E (antiparallelo al gradiente) deve necessariamente essere perpendicolare alla superficie.

In un conduttore in equilibrio elettrostatico, le linee del campo che escono dalla superficie non possono rientrare sulla stessa superficie.

La superficie di un conduttore è equipotenziale. Le componenti $\overline{E}$ e $d \overline{l}$ sono paralleli tra loro, dunque il coseno dell’angolo compreso è nullo. La somma di quantità definite positive è nulla solo se una delle due quantità è nulla. Il campo E deve essere nullo, quindi la linea del campo che esce dalla superficie e rientra nella superficie stessa, non può esistere.