Capacità Elettrica

Introduzione

Per accumulare cariche su un condensatore è necessario spendere lavoro. Le cariche vengono trasportate sul conduttore da punti a potenziale nullo. Le cariche vengono respinte dal campo elettrico generato dalle cariche presenti sul conduttore.

Si procede calcolando il potenziale della sfera e analizzando la sua dipendenza dalla carica Q (e dai parametri adimensionali del sistema).

Il potenziale elettrico è calcolato effettuando l’integrale del campo elettrico. L’integrale si effettua su un percorso radiale, da un punto P sulla superficie fino all’infinito. Il punto P si trova a distanza (radiale) R dal centro della sfera.

Il potenziale sulla superficie dipende in modo lineare dalla carica mediante una costante che contiene al proprio interno il raggio R.

A parità di lavoro per unità di carica, si accumula più facilmente una carica Q su un conduttore avente un più ampio raggio di curvatura. A parità di carica Q, all’aumentare del raggio R diminuisce il potenziale in superficie.

Si può introdurre una nuova grandezza fisica: la capacità elettrica C, la quale è misurata in farad (F). I farad sono coulomb (C) fratto volt (V). La capacità elettrica è il rapporto tra una capacità ed un potenziale elettrico. Nella formula che segue, tra le parentesi quadre, sono poste le unità di misura:

A livello pratico, si usano molto spesso i sotto-multipli del Farad.

Si procede al calcolo della capacità elettrica per il conduttore circolare (della figura soprastante). Il valore di C dipende unicamente della caratteristiche del materiale posto attorno al conduttore (nel caso in figura, l’aria) e dal raggio R.

È utile considerare due sfere di diametro significativamente diverso: una palla da demolizioni ed una palla da bigliardo.

Il raggio di una palla da demolizioni è circa $R_1 = 4 \;\text{[m]}$, mentre il raggio di una palla da bigliardo è circa $R_2 = 30 \;\text{[mm]} = 30 \cdot 10^{-3}\;\text{[m]}$.

La capacità elettrica associata ad $R_1$ è nell’ordine delle centinaia di pico-farad:

La capacità elettrica associata ad $R_2$ nell’ordine dei pico-farad:

Quindi la capacità elettrica cresce linearmente con il raggio del conduttore.

Presa una carica Q da un micro-coulomb: $Q= 1\;\rm [\micro C]$. Il potenziale elettrico della sfera da demolizione è:

Il potenziale elettrico della palla da bigliardo è:

A parità di carica Q, la palla da bigliardo possiede un potenziale molto maggiore a causa del raggio molto inferiore (rispetto alla palla da demolizione).

In altre parole, a parità di carica Q, il potenziale elettrico è inversamente proporzionale al raggio del conduttore.

Per conferire una carica di Q ad un conduttore di raggio $R_2 \ll R_1$, bisogna compiere molto più lavoro per unità di carica (rispetto a quello che si compie per conferire la stessa Q al conduttore di raggio $R_1$).

Si può calcolare il potenziale elettrico generato vicino alla superficie del conduttore sapendo che il campo generato da una sfera carica è indistinguibile rispetto a quello generato da una carica puntiforme.

Il campo elettrico della palla da demolizione ha un’intensità di:

Il campo elettrico della palla da bigliardo invece ha un’intensità di:

La stessa carica distribuita su una sfera di raggio inferiore, origina un campo elettrico significativamente maggiore.

Condensatore Sferico

Si consideri un conduttore sferico, detto nucleo, di raggio R1 racchiuso all’interno di un guscio sferico con raggio interno pari ad R2 e raggio esterno pari ad R3. La carica Q viene spostata da un conduttore all’altro: dal nucleo al guscio.

I generatori compiono il lavoro elettrostatico necessario a trasportare questa carica ed accumularla sui conduttori. Si consideri il caso in cui Q viene trasportata dal guscio sferico al nucleo interno. Al termine del processo, il nucleo sarà caratterizzato da una carica +Q e il guscio da una carica netta -Q.

La carica +Q si distribuisce sulla superficie esterna del nucleo (raggio R1) mentre la carica -Q si distribuisce sulla superficie interna del guscio (raggio R2). Questo oggetto si può definire un condensatore sferico. Un condensatore è un componente elettronico in cui due conduttori sono affiancati e separati da un isolante. Grazie all’interazione elettrostatica che avviene tra le cariche depositate sui conduttori, è possibile accumulare carica in maniera molto più efficace rispetto all’utilizzo di conduttori isolati. I conduttori su cui vengono accumulate le cariche sono detti armature. La capacità del condensatore si deve ridefinire utilizzando la differenza di potenziale tra le armature, piuttosto che il potenziale dei singoli conduttori:

Con Q si intende la carica spostata dal generatore, da un’armatura all’altra. $\Delta V$​ rappresenta la differenza di potenziale tra l’armatura positiva e quella negativa.

Per calcolare la capacità del condensatore, bisogna calcolare la differenza di potenziale tra l’armatura positiva (a potenziale maggiore) e l’armatura negativa.

Si suddivide idealmente il condensatore in quattro regioni:

1. $r \leq R_1$: all’interno del nucleo,
2. $R_1 < r < R_2$: spazio (aria o dielettrico) tra il nucleo e il guscio,
3. $R_2 \leq r \leq R_3$: all’interno del guscio,
4. $R_3 < r$: al di fuori del guscio.

Per quanto riguarda le regioni 1 e 3, il raggio è compreso all’interno di un conduttore in equilibrio elettrostatico: la differenza di potenziale è nulla. Il campo elettrico nella regione 2 è diverso da zero e indistinguibile da quello di una carica puntiforme posizionata al centro della sfera centrale:

La differenza di potenziale ai capi del condensatore è data dall’integrale da R1 ad R2 di E:

La capacità del condensatore è il rapporto tra la carica Q e la differenza di potenziale appena calcolata:

La capacità di un condensatore sferico è direttamente dipendente dal prodotto $R_1 \cdot R_2$. Maggiore è la superficie su cui è distribuita la carica, più alta sarà la capacità del condensatore. La capacità del condensatore sferico è inversamente proporzionale alla differenza $R_2 - R_1$. Diminuendo lo spessore dell’intercapedine di aria tra l’armatura positiva e l’armatura negativa è possibile aumentare la capacità del condensatore. Questa approccio è usato per realizzare i moderni super-condensatori, in cui lo “spessore di isolante” tra le armatura del condensatore è ridotto ad uno strato molecolare. Nella pratica, i condensatori sferici non vengono utilizzati in quanto risulta impossibile realizzare dei contatti elettrici che trasportino carica sull’armatura centrale. Inoltre, sono caratterizzati da un pessimo rapporto tra capacità e volume occupato.

Tipologie di Condensatori

Condensatore a facce piane parallele

Le armature sono lastre metalliche affacciate e mantenute ad una distanza costante indicata con la lettera d. Il campo elettrico E può essere considerato uniforme in tutta la regione tra le armature, solo se si trascurano gli effetti di bordo (che avvengono lungo il perimetro delle armature).

Come percorso di integrazione, per semplificare i calcoli, si sceglie la curva $\gamma$ perpendicolare alle armature e parallela ad E. Per calcolare il campo elettrico nello spazio tra le armature, si utilizza il teorema di Gauss.

Si prenda in esame l’armatura positiva. Per studiare il campo elettrico E in un punto P nello spazio tra le armature, si costruisce una superficie di Gauss (chiamata al solito S) che passa per il punto P. La superficie scelta è un cilindro che con la base inferiore nel metallo dell’armatura positiva (dove il campo è nullo) e la base superiore che interseca il punto P. Si procede calcolando il flusso del campo E attraverso questa superficie.

La carica racchiusa equivale alla base del cilindro B, moltiplicata per la densità superficiale di carica:

Il flusso del campo è:

Sulla base inferiore del cilindro, il campo è nullo perché ci si trova dentro ad un conduttore. Sulla superficie laterale, il campo è nullo perché perpendicolare alla normale. Assumendo che E sia uniforme sulla superficie (base) B, allora:

Si definisce in modo informale $\ominus$ come l’armatura negativa e $\oplus$ l’armatura positiva. Il potenziale elettrico si calcola effettuando l’integrale tra l’armatura positiva e quella negativa. Sapendo che la distanza tra le due armature è d, si può scrivere:

La capacità di un condensatore a facce piane è:

N.B. All’interno della formula, S rappresenta l’area della superficie di Gauss denominata S.

Si nota come la densità superficiale di carica è data da:

La capacità dipende direttamente dalle superfici delle armature e inversamente dalla distanza d tra le armature stesse. Per realizzare un condensatore di ampia capacità occorre moltiplicare la superficie delle armature oppure diminuire la distanza tra le armature (come nel caso del condensatore sferico).

Per incrementare la superficie dei condensatori a facce piane parallele, sono stati studiate diversi approcci. Quello tradizionale consiste nel realizzare le armature di un condensatore tramite la metallizzazione di un film di poliestere (o polipropilene) molto sottile. La sovrapposizione di due film costituisce un condensatore. Questa striscia può essere arrotolata a formare un cilindro molto compatto. Un approccio più seguito nei dispositivi SMD (Sourface Mounted Device) è quello di realizzare conduttori inter bloccati sovrapposti tra di loro. I conduttori pari sono collegati assieme e costituiscono l’equivalente di un’unica armatura. I conduttori dispari sono collegati tra di loro e costituiscono l’equivalente dell’altra armatura.

Realizzazione fisica

In questo paragrafo si analizza la capacità di un condensatore a facce piane parallele costituito da fogli di dimensione A3: 297 x 420 mm.

Si utilizza come dielettrico, tra le armature di alluminio, un foglio di carta. La superficie S è data dall’area del foglio di carta:

Lo spessore del dielettrico equivale alla distanza tra le facce del condensatore. Si ipotizzi che tra i conduttori vi sia tale una distanza pari a:

La capacità del condensatore è:

Data una carica Q pari a 0.25 micro-coulomb:

È possibile calcolare il potenziale elettrico del condensatore:

Condensatore Cilindrico

Si considerino un’armatura centrale di raggio R1 e lunghezza L, ed una armatura esterna di raggio R2. Si carichi l’armatura interna con una carica +Q prelevata dall’armatura esterna, che possiederà quindi una carica -Q. Si assuma che il campo elettrico sia perfettamente radiale per (quasi) tutta la lunghezza del condensatore: si trascurano gli effetti di bordo.

Per calcolare la capacità del condensatore, si segue lo stesso procedimento del caso precedente: a partire dal calcolo di $E(r)$, si trova $\Delta V$ effettuando un’integrazione. Risulta infine possibile calcolare la capacità del condensatore.

Per calcolare il campo E nel punto P a distanza r dall’asse del cilindro, si utilizza il Teorema di Gauss con una superficie a forma di cilindro.La superficie laterale del cilindro di Gauss passa per il punto P. Si sceglie un cilindro retto in modo che le due basi abbiano la normale $\widehat{n}$ diretta in modo assiale così che sia perpendicolare al campo elettrico. L’unico accorgimento è che $l \ll L$​, ovvero che l sia molto più corto di L così che le basi della superficie di Gauss siano lontane dai bordi del condensatore (dove sono presenti effetti di bordo).

Sulle basi, il campo E è perpendicolare alla normale della superficie di Gauss: il loro contributo al flusso è nullo. Rimane solo il contributo sulla superficie laterale $S_L$ che passa per il punto P:

Per calcolare la carica racchiusa bisogna effettuare la seguente proporzione:

Secondo il teorema di Gauss, il flusso di E è uguale alla carica racchiusa nella superficie chiusa S:

Si può quindi calcolare il campo elettrico:

Il campo è indistinguibile da quello calcolato per un cilindro carico di lunghezza indefinita. Si può procedere con il calcolo del potenziale elettrico, ovvero l’integrale del campo dall’armatura positiva (di raggio R1) all’armatura negativa (di raggio R2):

Si può procedere calcolando la capacità del cilindro:

La capacità aumenta diminuendo lo spazio tra le armature: per avere il denominatore che tende a zero, il rapporto tra i due raggi R2 ed R1 deve tendere ad 1 (a causa del logaritmo naturale in cui si trovano).

Sapendo che il limite per $x$ che tende a zero da destra (ovvero nel semi-piano delle $x$ positive) di $1/x$ tende all’infinito:

Allora si può scrivere:

Connessioni di Condensatori

A livello circuitale, un condensatore è un elemento con due terminali (bipolo). Il simbolo che rappresenta il condensatore presenta alcune variazioni in base alla caratteristica specifica che si vuole mettere in risalto.

Normale	Elettrolitico	Variabile

Condensatori in serie

Due (o più) condensatori sono collegati in serie quando si trovano come in figura:

Se si collega tale circuito ad un generatore, avviene spostamento di carica dall’armatura collegata al terminale negativo (del generatore) all’armatura collegata al terminale positivo. Grazie al fenomeno dell’induzione elettrostatica, le armature al centro dello schema, (isolate dal generatore) sono soggette ad una ridistribuzione di carica che fa in modo di portare la stessa carica Q (in modulo) su entrambe le armature.

La differenza di potenziale (ddp, per brevità) ai capi di una serie di condensatori è la somma algebrica delle ddp ai capi dei singoli condensatori.

Si ipotizzi di sostituire la serie di condensatori con un unico condensatore equivalente. La capacità di tale elemento è:

Si inverte l’espressione in modo da ottenere due fattori che si sommano. Poiché la carica sulle armature del condensatore equivalente è la stessa che si trova sulle armature dei due condensatori C₁ e C₂, si può scrivere: $Q = Q_1 = Q_2$.

La capacità $C_{eq}$ di una serie di condensatori è l’inverso della somma degli inversi delle capacità parziali. Questa quantità è più piccola della più piccola capacità che costituisce la serie.

La differenza di potenziale che supporta il condensatore equivalente è la somma delle differenze di potenziali massime che riescono a supportare i singoli condensatori: il collegamento in serie può essere utile nei casi in cui è necessario disporre di un condensatore equivalente ad elevato isolamento.

Condensatori in parallelo

Due (o più) condensatori sono collegati in parallelo quando le armature sono collegate alla stessa differenza di potenziale.

La carica accumulata (data dal generatore) è suddivisa tra i condensatori sulla base delle capacità dei singoli condensatori (che costituiscono il parallelo). Condensatori aventi capacità maggiore, accumulano più carica su di essi.

La capacità equivalente di un parallelo è la somma delle capacità parziali:

Spesso si utilizzano paralleli tra condensatori, al posto di un singolo condensatore, per ridurre la resistenza equivalente. A livello di realizzazione circuitale, un condensatore presenta diversi parametri che solitamente vengono trascurati: resistenza ed induttanza associate ad armature e terminali, resistenza del dielettrico.

Acceleratori di Particelle

Applicazione pratica dei condensatori

Il condensatore è la forma più semplice di acceleratore di particelle. Se nello spazio è presente un campo elettrico, le cariche sono soggette ad una forza che ne causa accelerazione secondo quanto definito dalla seconda legge di Newton.

Energia

Questo paragrafo studia l’energia associata al campo elettrico all’interno di un condensatore.

Per accumulare cariche su un condensatore, è richiesto lavoro (che viene compiuto dal generatore del circuito). Il lavoro deve vincere le forze repulsive a cui sono soggette le cariche presenti sulle armature del condensatore.

Si consideri un condensatore caricato con una carica Q che presenta tra le armature una differenza di potenziale $\Delta V$. La differenza di potenziale ai capi di un condensatore è una funzione della carica già accumulata sulle armature e varia nel processo di carica del condensatore. Si assuma di partire da un condensatore completamente scarico. La differenza di potenziale ai suoi capi è nulla e non vi è alcun campo elettrico tra le armature. Si supponga di spostare una carica infinitesima dq dall’armatura inferiore all’armatura superiore. Il lavoro svolto in questo passaggio è nullo in quanto non abbiamo dovuto vincere alcuna forza repulsiva.

Una volta accumulata una carica positiva dq sull’armatura superiore, si avrà una carica negativa -dq sull’armatura inferiore. Tra le cariche si instaura un (debole) campo elettrico. Lo spostamento di una seconda carica infinitesima dq, dall’armatura inferiore all’armatura superiore, deve vincere il campo elettrico che si è instaurato per via delle cariche già accumulate sulle armature. Mano a mano che il condensatore si carica, aumenterà il lavoro che si deve compiere per spostare una carica dq dall’armatura negativa all’armatura positiva.

La differenza di potenziale ai capi del condensatore è data dal rapporto tra q e C. Il parametro q rappresenta la somma delle cariche già spostate dall’armatura inferiore a quella superiore.

La quantità di lavoro infinitesimo dL che si deve compiere per spostare una carica infinitesima dq è data dal prodotto della carica dq per la differenza di potenziale presente in quel momento (che a sua volta dipende dalla carica già accumulata q). Dunque la differenza di potenziale è una funzione che ha q come parametro: si indica infatti con $\Delta V (q)$.

Il lavoro complessiva per caricare il condensatore da carica nulla alla carica Q è l’integrale di dL tra zero (valore di partenza) e Q (valore di arrivo):

La formula soprastante è valida perché, quando si arrivare ad accumulare una carica Q sull’armatura superiore, la differenza di potenziale varrà:

$\Delta V$ non è più in funzione di q (o di nessun’altra variabile) perché il valore di Q è costante.

Il lavoro svolto dal generatore per caricare il condensatore è accumulato sotto forma di energia potenziale elettrica (del condensatore).

Forza fra le armature

Sistema isolato

Le armature di un condensatore raccolgono cariche di segno opposto. Si può valutare il valore della forza attrattiva $\overline{F}_e$ nel caso di un condensatore caricato e totalmente isolato. Si può supporre che la forza attrattiva tra le armature sia assimilabile ad una forza elastica. Si supponga di applicare una forza meccanica $\overline{F}_{DV}$ con l’obiettivo di separare le armature. Se la forza meccanica applicata è (anche se di poco) superiore alla forza di attrazione elettrostatica $\overline{F}_{el}$, le due armature si allontaneranno di una quantità infinitesima dx (a cui si può aggiungere la soprallineatura di “vettore” se si vuole anche esplicitare la direzione).

Sia $dL_{DV}$ il lavoro meccanico compiuto per allontanare le armature di una quantità infinitesima dx. La forza $\overline{F}_{DV}$ sarà lievemente maggiore della forza di attrazione elettrostatica $\overline{F}_{el}$, con segno opposto. Al limite, le due forze si equivalgono. Il lavoro erogato incrementa l’energia potenziale elettrostatica del sistema, ovvero dU.

La forza elettrostatica è la derivata parziale dell’energia elettrostatica rispetto alla distanza x, ma con segno negativo. La forza fa evolvere il sistema verso la minima energia potenziale elettrostatica, ovvero per x decrescente.

Sistema non isolato

Si consideri il caso in cui il condensatore è collegato ad un generatore che mantiene costante la differenza di potenziale tra le armature del condensatore.

Applicando una forza meccanica $\overline{F}_{DV}$, si causa uno spostamento infinitesimo dx dell’armatura e (di conseguenza) una variazione di capacità. Il lavoro infinitesimo compiuto dalla forza meccanica è:

In un sistema non isolato, l’energia potenziale elettrostatica è data dalla somma dei seguenti contributi:

1. $dL_{DV}$: lavoro meccanico compiuto spostando l’armatura,
2. $dL_{gen}$: lavoro del generatore compiuto per mantenere il potenziale costante.

Il lavoro del generatore serve per spostare carica da un’armatura ad un’altra, mantenendo però costante il potenziale. La variazione di distanza tra le armature corrisponde ad una variazione di capacità. A parità di potenziale, occorre fornire o sottrarre carica al condensatore. Per ogni carica infinitesima dq spostata dal generatore, il lavoro compiuto è dato dalla carica stessa moltiplicata per la differenza di potenziale:

Tale formula è valida se si prende in considerazione la precedente definizione di differenza di potenziale ignorando per semplicità che fosse in funzione di q:

Si può quindi tornare all’espressione di dU e applicare le opportune sostituzioni. Il lavoro $dL_{DV}$ si pone in funzione di $F_{el}$ e $L_{gen}$ si pone in funzione della variazione di capacità:

In un sistema non isolato, la variazione di capacità avviene con $\Delta V$ costante. La forza elettrostatica attira tra loro le armature: ciò causa un aumento dell’energia potenziale elettrostatica. Il sistema evolve verso il minimo dell’energia totale, ovvero il massimo dell’energia potenziale elettrostatica.