Potenza in regime sinusoidale

Note

Articles in this blog's slice are, for the time being, ony in italian.
Gli articoli in questa parte di blog sono, per ora, solo in italiano.

Introduzione

Risulta opportuno richiamare i concetti di potenza ed energia in regime stazionario prima di approfondire l’argomento della potenza in regime sinusoidale.

Potenza in regime stazionario

La potenza istantanea di un bipolo in regime stazionario (ovvero in corrente o tensione continua) è:

$$p = V \cdot I\; \rm [W]$$

Secondo la convenzione dell’utilizzatore, $p=V\cdot I$ è la potenza dissipata dal bipolo.

Secondo la convenzione del generatore, $p=-V\cdot I$ è la potenza generata dal bipolo.

È importante notare che sia la tensione che la corrente sono costanti nel tempo, quindi perdono la dipendenza da t. In regime stazionario, si può scrivere:

$$p = p(t) = v(t) \cdot i(t) = V \cdot I \quad \forall t \in R$$

È utile fornire un chiarimento sulla notazione: solitamente le grandezze costanti vengono indicate con la lettera maiuscola mentre le grandezze dipendenti da un altro parametro (come ad esempio il tempo), vengono indicate con la lettera minuscola.

Energia in regime stazionario

Dato un intervallo di tempo $\Delta t = [0, \Delta t]$, il lavoro elettrico scambiato in tale intervallo è chiamato, seppur in modo improprio, energia elettrica. Si può indicare con la W di work o la E di electrical energy:

$$W\equiv E = \int_{0}^{\Delta t} p(t)dt \quad \rm [J]$$

L’unità di misura sono il joule $\rm [J]$ o watt-ora $\rm [Wh] = [3600\;J]$.

Potenza Istantanea e Media

Dato un circuito lineare in regime sinusoidale. Dato un bipolo al suo interno, le funzioni di tensione e corrente sono:

$$\eq{ v(t) &= V_m \cos(\omega t + \theta_v) \\ i(t) &= I_m \cos(\omega t + \theta_i) }$$

I parametri delle due funzioni sono i seguenti:

• pulsazione $\omega$ [rad/sec] di entrambe le funzioni: sono isofrequenziali,
• $V_m$ ampiezza della funzione sinusoidale della tensione,
• $I_m$ ampiezza della sinusoide della corrente,
• $\theta_v$ fase iniziale della funzione di tensione,
• $\theta_i$ fase iniziale della funzione di corrente.

Le ampiezze sono entrambe numeri puri (senza unità di misura). Le fasi si possono esprimere in radianti o i gradi.

La potenza istantanea è:

$$p(t) = v(t)\cdot i(t)= \frac{V_m I_m}{2} \bigg[\cos\big(\theta_v -\theta_i\big)+\cos\big(2\omega t+\theta_v + \theta_i\big) \bigg]$$

Il valore medio di $p(t)$ è la potenza media attiva:

$$P = \frac{1}{T} \int^{T}_{0} p(t)dt = \frac{V_m I_m}{2} \bigg[\cos\big(\theta_v -\theta_i\big) \bigg]$$

La potenza di picco è:

$$P_p = \frac{V_m I_m}{2} \bigg[\cos\big(\theta_v -\theta_i\big)+1 \bigg]$$

L’energia assorbita dal bipolo è:

$$E = \int_0^{\Delta t} p(t)dt = P\Delta t+\frac{V_m I_m}{2}\int_0^{\Delta t}\bigg[\cos\big(2\omega t+\theta_v +\theta_i\big)\bigg]dt$$

Per intervalli di tempo sufficientemente grandi, si ottiene:

$$E \xrightarrow[\Delta t \gg T]{} P \Delta t$$

Analizziamo ora la relazione tra la potenza in regime sinusoidale e i tre componenti principali dei circuiti elettrici, ovvero il resistore, l’induttore e il condensatore.

Valore Efficace

Il valore efficace di corrente sinusoidale $I_{\rm eff}$ è il valore di corrente costante che, applicato alla stessa resistenza R, causa la stessa dissipazione media.

Il valore efficace di tensione sinusoidale $V_{\rm eff}$ è il valore di tensione costante che, applicato alla stessa resistenza R, causa la stessa dissipazione media.

$$\eq{ I_{\rm eff} &= \frac{I_m}{\sqrt{2}} \\ \\ V_{\rm eff} &= \frac{V_m}{\sqrt{2}} \\ }$$

Il concetto di valore efficace si può estendere a segnali periodici di periodo T grazie alla radice del valore quadratico medio (root mean square):

$$I_{\rm eff} = I_{\rm rms} = \sqrt{\frac{1}{T} \int_0^T i^2(t)dt}$$

La potenza invece assume il valore:

$$P = \frac{1}{T} \int_0^T p(t)dt = V_{\rm eff} \;I_{\rm eff} \cos(\theta_v - \theta_i)$$

Potenza Complessa

Data l’unità immaginaria $j=\sqrt{-1}$ e dati i fasori di tensione e corrente (incluso il complesso coniugato della corrente):

$$\eq{ & V = V_m e^{j\theta_v} \in \C \\ & I = I_m e^{j\theta_i} \in \C \\ & I^* = I_m e^{-j\theta_i} \in \C }$$

Allora la potenza complessa è:

$$S = \frac{1}{2} V I^* = \frac{1}{2} V_m I_m e^{j(\theta_v -\theta_i)} \quad \rm [VA]$$

La potenza apparente è il modulo di S, ma anche il prodotto tra tensione efficace e corrente efficace, ovvero:

$$|S| = V_{\rm eff} I_{\rm eff} = \frac{V_m}{\sqrt{2}}\frac{I_m}{\sqrt{2}}=\frac{1}{2} V_m I_m \quad \rm [VA]$$

Data la fase $\varphi = \angle S = \theta_v - \theta_i$.

Il fattore di potenza FP è il coseno della fase della potenza complessa, ovvero il rapporto tra la potenza P e la potenza complessa S, entrambe associate ad un bipolo operante in regime sinusoidale:

$$FP = \cos(\varphi)= \cos(\theta_v - \theta_i) = P/S$$

Potenza Reattiva

La potenza reattiva è:

$$Q = \frac{1}{2} V_m I_m \sin(\varphi) \quad \rm [VAR]$$

Si può riscrivere la formula di potenza complessa:

$$\eq{ S &=\frac{1}{2} V_m I_m e^{j\varphi}= P+jQ=\\ &=\frac{1}{2}V_m I_m \cos(\theta_v-\theta_i)+j\frac{1}{2}V_m I_m\sin(\theta_v-\theta_i)=\\ &=\frac{1}{2} V_m I_m \cos(\varphi)+j\frac{1}{2}V_m I_m\sin(\varphi) }$$

Lo sfasamento fra le funzioni di tensione e corrente genera la potenza reattiva. L’unità di misura di tale potenza è il VAR: voltampere reattivi.

Impedenza e Ammettenza di Potenza Complessa

Data l’impedenza Z e l’ammettenza Y tali che:

$$\eq{ Z &= R +jX \in \C \\ Y &= G +jB \in \C \\ }$$

La potenza complessa si può scrivere come:

$$\eq{ S &= \frac{1}{2}(R+jX)I_m^2 = \frac{1}{2}(G-jB)V_m^2 \\ P &= X I_{\rm eff}^2 = -B V_{\rm eff}^2 }$$

Caratterizzazione di bipoli

Tutti i bipoli trattati in questa sessione (resistori, induttori e condensatori) sono bipoli passivi: non possono erogare energia. I bipoli attivi, come i generatori dipendenti o indipendenti di tensione o di corrente, possono erogare energia.

Un’altra distinzione tra bipoli, attivi o passivi che siano, è tra bipoli statici o dinamici. I bipoli statici comprendono tutti i tipi di generatori e i resistori. Induttori e condensatori sono invece bipoli dinamici, poiché dotati di memoria.

Resistore

Dato R il valore costante in ohm $[\Omega]$ del resistore:

$$\eq{ & i(t) = I_m \cos(\omega t + \theta_i) \\ & v(t) = V_m \cos(\omega t + \theta_v)= R \cdot i(t) \\ \\ & R = \frac{v(t)}{i(t)} = \frac{V_m \cos(\omega t + \theta_v)}{ I_m \cos(\omega t + \theta_i)} = \frac{V_m}{I_m}\\ & \implies \theta_v = \theta_i\\ & \implies V_m = R \cdot I_m }$$

Le fasi iniziali delle funzioni di corrente e tensione sono equivalenti, altrimenti il valore della resistenza varierebbe nel tempo.

La potenza istantanea è:

$$\eq{ p(t) &= v(t)i(t) = \frac{V_m I_m}{2} \bigg[\cos\big(\theta_v -\theta_i\big)+\cos\big(2\omega t+\theta_v + \theta_i\big) \bigg]=\\ &=\frac{R \cdot I_m \cdot I_m}{2}\Big[\cos(0)+\cos(2\omega t+2\theta_i)\Big]=\\ &=\frac{R I_m^2}{2}\Big[1+\cos(2\omega t+2\theta_i)\Big] }$$

La potenza media è:

$$\eq{ P &= \frac{1}{T} \int^{T}_{0} p(t)dt =\\ &=\frac{V_m I_m}{2} \bigg[\cos\big(\theta_v -\theta_i\big) \bigg]= \frac{R I_m^2}{2} \cdot \cos(0) =\\ &=\frac{R I_m^2}{2} =\frac{V_m^2}{2 R} }$$

La potenza di picco è il doppio della potenza media:

$$P_p = 2P = R I_m^2 = \frac{V_m^2}{R}$$

Ricordando che $\varphi = \theta_v - \theta_i$, la potenza reattiva è:

$$\eq{ Q_R &= \frac{1}{2} V_m I_m \sin(\varphi) = \frac{V_m I_m}{2}\sin(0)=0\\ \implies &\cos(\varphi) = 1\implies \varphi=0 }$$

La potenza reattiva è nulla perché il resistore non scambia potenza con il resto del circuito: è un bipolo resistivo.

Induttore

Dato L il valore in Henry [H] dell’induttore:

$$\eq{ & V_m = L \omega I_m \\ & i(t) = I_m \cos(\omega t + \theta_i) \\ & v(t) = L \frac{di}{dt} = L \omega I_m \cos\bigg(\omega t + \theta_i + \frac{\pi}{2}\bigg) \\ }$$

Queste formule hanno le seguenti implicazioni:

$$\eq{ \theta_v &= \theta_i + \pi/2\\ \theta_i &= \theta_v - \pi/2\\ L &= \frac{V_m}{\omega I_m} \\ }$$

La potenza istantanea è:

$$\eq{ p(t) &= v(t)\cdot i(t) = \frac{V_m I_m}{2} \bigg[\cos\big(\theta_v -\theta_i\big)+\cos\big(2\omega t+\theta_v + \theta_i\big) \bigg]=\\ &= \frac{V_m I_m}{2} \bigg[\cos\big(\theta_v -\theta_i\big)+\cos\big(2\omega t+\theta_v + \theta_i\big) \bigg] =\\ &= \frac{L \omega I_m I_m}{2} \bigg[\cos\big(\theta_i + \pi/2 -\theta_i\big)+\cos\big(2\omega t+\theta_i + \pi/2 + \theta_i\big) \bigg] =\\ &=\frac{L \omega I_m^2}{2} \bigg[ \cos\big(2\omega t+2\theta_i + \pi/2\big)\bigg]=\\ &= -\frac{L \omega I_m^2}{2} \bigg[ \sin\big(2 \omega t+ 2 \theta_i\big) \bigg]\\ }$$

Si osserva la seguente relazione tra seno e coseno:

$$\cos\bigg(\psi+\frac{\pi}{2}\bigg)=-\sin(\psi)\quad\forall\psi$$

La potenza media e la potenza di picco sono nulle:

$$\eq{ P &= \frac{1}{T} \int^{T}_{0} p(t)dt = \frac{V_m I_m}{2} \bigg[\cos\big(\theta_v -\theta_i\big) \bigg]=\\ &= \frac{L \omega I_m^2}{2} \bigg[\cos\bigg(+\frac{\pi}{2}\bigg) \bigg]=\\ &= \frac{L \omega I_m^2}{2}\cdot 0 = 0\\ P &= 0 \implies P_p = 0 }$$

La potenza reattiva è:

$$\eq{ Q_L &= \frac{1}{2} V_m I_m \sin(\varphi)=\\ &= \frac{L \omega I_m^2}{2} \cdot \sin(\pi/2)=\\ &= \frac{L \omega I_m^2}{2} = \frac{V_m^2}{2 L \omega} > 0 }$$

La potenza media è nulla, dunque l’induttore è un bipolo reattivo. Il fattore di potenza è in ritardo e il bipolo si dice induttivo se $\varphi > 0$:

$$P = 0 \implies \cos(\varphi) = 0 \implies \varphi=\pi/2$$

Condensatore

Dato C il valore in Farad [F] del condensatore:

$$\eq{ & I_m = C \omega V_m \\ & i(t) = C \frac{dv}{dt} = C \omega V_m \cos \bigg( \omega t + \theta_v + \frac{\pi}{2} \bigg) \\ & v(t) = V_m \cos(\omega t + \theta_v) }$$

Queste formule hanno le seguenti implicazioni:

$$\eq{ \theta_i &= \theta_v + \pi/2\\ \theta_v &= \theta_i - \pi/2\\ C &= \frac{I_m}{\omega V_m } }$$

La potenza istantanea è:

$$\eq{ p(t) &= v(t)\cdot i(t) = \frac{V_m I_m}{2} \bigg[\cos\big(\theta_v -\theta_i\big)+\cos\big(2\omega t+\theta_v + \theta_i\big) \bigg]=\\ &=\frac{C \omega V_m V_m}{2} \bigg[\cos\Big(\theta_v -\theta_v + \frac{\pi}{2}\Big)+\cos\Big(2\omega t+\theta_v + \theta_v + \frac{\pi}{2}\Big) \bigg]=\\ &=\frac{C \omega V_m^2}{2}\bigg[\cos\Big(2\omega t+2\theta_v+\frac{\pi}{2}\Big)\bigg] =\\ &=\frac{C \omega V_m^2}{2}\bigg[\cos\Big(2\omega t+2\theta_i-\frac{\pi}{2}\Big)\bigg] =\\ &=\frac{C \omega V_m^2}{2} \bigg[ \sin\big(2 \omega t+ 2 \theta_i\big) \bigg] }$$

Si osserva che il seno è un coseno anticipato di $\pi/2$.

$$\cos(\psi) = \sin\bigg(\psi+\frac{\pi}{2}\bigg) \implies \cos\bigg(\psi-\frac{\pi}{2}\bigg)=\sin(\psi)\quad\forall\psi$$

La potenza media e la potenza di picco sono nulle:

$$\eq{ P &= \frac{1}{T} \int^{T}_{0} p(t)dt = \frac{V_m I_m}{2} \bigg[\cos\big(\theta_v -\theta_i\big) \bigg]=\\ &= \frac{C \omega V_m^2}{2} \bigg[\cos\bigg(-\frac{\pi}{2}\bigg) \bigg]=\\ &= \frac{C \omega V_m^2}{2}\cdot 0 = 0\\ P &= 0 \implies P_p = 0 }$$

La potenza reattiva è:

$$\eq{ Q_C &= \frac{1}{2} V_m I_m \sin(\varphi)=\\ &= \frac{V_m I_m}{2} \sin(-\pi/2)=\\ &= -\frac{C \omega V_m^2}{2}= -\frac{I_m^2}{2 C \omega} < 0 }$$

La potenza media è nulla, dunque il condensatore è un bipolo reattivo.

Il fattore di potenza è in anticipo e il bipolo si dice capacitivo se $\varphi < 0$:

$$P = 0 \implies \cos(\varphi) = 0 \implies \varphi=-\pi/2$$

Massimo Trasferimento di Potenza

Date le impedenze:

$$Z_S = R_S + jX_S \quad ; \quad Z_L = R_L + jX_L$$

Date le resistenze positive $R_L > 0 [\Omega]$ e $R_S > 0 [\Omega]$ e dato il fasore di corrente:

$$I=\frac{V_S}{Z_L + Z_S}=\frac{V_S}{R_S + R_L + j(X_S+X_L)}$$

La potenza media è:

$$P_L(R_L, X_L) = \frac{1}{2}R_L|I|^2 = \frac{1}{2}R_L\frac{|V_S|^2}{(R_S + R_L)^2 + (X_S+X_L)^2}$$

Un generatore di tensione $V_S$ con impedenza interna $Z_S$ trasferisce al carico la massima potenza media se: $Z_L = Z_S^*$ (carico adattato).

La potenza disponibile è:

$$\eq{ P_{\text{disp}} &= P_{L,\max}(R_L, X_L)= \frac{1}{2}R_L|I|^2 =\\ &=\frac{1}{2}R_L\frac{|V_S|^2}{|R_L + jX_L + R_S + jX_S|^2} =\\ &=\frac{1}{2}R_S\frac{|V_S|^2}{|R_S - jX_S + R_S + jX_S|^2} =\\ &=\frac{1}{2}R_S\frac{|V_S|^2}{(2R_S)^2}=\frac{|V_S|^2}{8R_S} }$$

Rendimento

Si valuti il rendimento $\eta$ in condizioni di carico adattato $\eta_A$.

$$\eta_A = \frac{R_S}{R_S + R_S}+\frac{R_S}{2R_S}=0.5$$

Il rendimento è:

$$\eta = \frac{R_S}{R_L + R_S}$$

Rendimento per la massima trasmissione di energia:

$$R_L \gg R_S \implies \eta \approx 1$$

Rendimento per il massimo trasferimento di potenza:

$$R_L = R_S \implies \eta = \eta_A = 1/2$$

Conservazione della Potenza

Nell’ambito dei circuiti resistivi, la somma delle potenze istantanee assorbite dagli elementi del circuito è sempre nulla. Il principio di conservazione della potenza risulta valido anche in regime sinusoidale.

La conservazione della potenza attiva è:

$$\sum_k P_k = 0 \;\rm [W] = [VA]$$

La conservazione della potenza reattiva è:

$$\sum_k Q_k = 0 \;\rm [VAR]$$

Il principio di conservazione si enuncia per potenze complesse:

$$\sum_k S_k =\sum_k (P_k + j Q_k) = 0\;\rm [VA]$$

La potenza apparente $|S|$ non si conserva perché l’operatore di modulo non è lineare.

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Il teorema si può enunciare anche in un altro modo. La somma delle potenze complesse erogate dai generatori deve essere uguale alla somma delle potenze complesse assorbite dai restanti bipoli.

$$\sum_{k,\rm \,gen} S_k = \sum_{n,\rm \,bipoli} S_n$$

Teorema di Bouchrot

La potenza complessa assorbita da un bipolo B è uguale alla somma delle potenze complesse assorbite dagli elementi che lo compongono. Tale proprietà vale anche per potenza attiva e reattiva.

$$\sum_{k\in B} S_k+\frac{1}{2}(VI^*)=0$$

Sovrapposizione della Potenza

La potenza complessa non gode del principio di sovrapposizione. Non è possibile sommare gli effetti associati a diversi generatori che operino tutti alla stessa frequenza (isofrequenziali) all’interno del circuito. Nel caso in cui siano presenti generatori a frequenze diverse, la potenza media è la somma delle potenze medie dovute ai singoli generatori a frequenze diverse.

Conclusioni

A seguito di tutta la trattazione, si può tornare all’introduzione e pensare il regime stazionario come un caso specifico del regime sinusoidale. Ad esempio, tensione e corrente sono definite come:

$$\eq{ v(t) &= V_m \cos(\omega t + \theta_v) \\ i(t) &= I_m \cos(\omega t + \theta_i) }$$

In regime stazionario, sia la pulsazione $\omega$ che le fasi iniziali $\theta_v$ sono nulle. Rimane solo il contributo delle ampiezze, che sono costanti:

$$\eq{ & \omega = 0 \;;\;\theta_v=0\;;\;\theta_i=0\\ \implies & v(t)= V_m \cos(0t+0)= V_m \\ \implies & i(t)= I_m \cos(0t+0)= I_m \\ }$$

La potenza istantanea è:

$$\begin{equation*} \begin{split} p(t) &= \frac{V_m I_m}{2} \bigg[\cos\big(\theta_v -\theta_i\big)+\cos\big(2\omega t+\theta_v + \theta_i\big) \bigg] = \\ &= \frac{V_m I_m}{2} \bigg[\cos(0)+\cos(0) \bigg]= \frac{V_m I_m}{2} \bigg[1+1 \bigg] = \\ &= \frac{V_m I_m}{2}2 = V_m I_m\\ \implies p &= V \cdot I \impliedby V \equiv V_m \; ; \; I \equiv I_m \end{split} \end{equation*}$$

Il valore medio della potenza istantanea è metà della potenza media attiva:

$$P = \frac{V_m I_m}{2} \bigg[\cos\big(\theta_v -\theta_i\big) \bigg] = \frac{v(t)\cdot i(t)}{2}$$

La potenza di picco equivale alla potenza istantanea vista l’assenza di picchi:

$$P_p = \frac{V_m I_m}{2} \bigg[\cos\big(\theta_v -\theta_i\big)+1 \bigg] = V_m I_m$$

Dato un intervallo di tempo $\Delta t$, l’energia assorbita dal bipolo è:

$$\eq{ E &= \int_0^{\Delta t} p(t)dt =\\ &= P\Delta t+\frac{V_m I_m}{2}\int_0^{\Delta t}\bigg[\cos\big(2\omega t+\theta_v +\theta_i\big)\bigg]dt=\\ &= P\Delta t+\frac{V_m I_m}{2}\int_0^{\Delta t} 1dt=\\ &= \frac{V_m I_m}{2} \Delta t + \frac{V_m I_m}{2}\Delta t=\\ &= V_m I_m\Delta t }$$