Teoremi delle Reti

Principi Introduttivi

Principio di Linearità

I modello matematici utilizzati per rappresentare i componenti elettrici sono lineari se impongono una relazione lineare tra causa ed effetto. La linearità implica omogeneità e additività.

f(αx1+βx2)=αf(x1)+βf(x2)f(\alpha x_1+\beta x_2) = \alpha f(x_1) + \beta f(x_2)

Un circuito è lineare se formato unicamente da componenti lineari.

Principio di Sovrapposizione

In un circuito lineare la tensione ai capi di un elemento è uguale alla somma algebrica delle tensioni ai capi di tale elemento quando ciascuno dei generatori indipendenti è acceso e tutti gli altri generatori indipendenti sono spenti. Si spegnono uno ad uno i generatori indipendenti e si calcolano le risposte al circuito.

In un circuito lineare la corrente che scorre su un elemento è uguale alla somma algebrica delle correnti che scorrono su tale elemento quando ciascuno dei generatori indipendenti è acceso e tutti gli altri generatori indipendenti sono spenti.

Si calcola la risposta del circuito al singolo generatore indipendente spegnendo tutti gli altri.

Spegnere un generatore di tensione equivale a sostituirlo con un corto circuito: v=0Vv = 0V. Spegnere un generatore di corrente equivale a sostituirlo con un circuito aperto i=0Ai= 0A.

I generatori dipendenti rimangono accesi poiché controllati da altre variabili. Inoltre, il principio di sovrapposizione non vale per le potenze.

Teorema di Millman

Il teorema di Millman consente di determinare la tensione ai capi di una rete elettrica costituita unicamente da due nodi. La rete può essere data da:

  • generatori di corrente reali e ideali
  • generatori di tensione reali
  • resistori

In primo luogo, si trasformano i generatori di tensione reali in generatori di corrente reali. Si ottiene una rete con M generatori di corrente ideali ed N resistori, ai quali è associato un valore di resistenza R e di conduttanza G.

v=∑m=1Mim/∑n=1NGn=ieqGeq\Large v = \sum_{m=1}^M i_m \bigg/\sum_{n=1}^N G_n = \frac{i_{eq}}{G_{eq}}

Teorema di Millman

Conservazione della Potenza

La somma algebrica delle potenze assorbite da tutti gli elementi di un circuito è nulla in ogni istante di tempo:

∑kpk(t)=vk(t)⋅ik(t)=0\sum_{k} p_k(t) = v_k(t)\cdot i_k(t) = 0

Nodo di Riferimento

Quando risulta utile ragionare sulle tensioni dei nodi, è necessario scegliere un nodo di riferimento. Il nodo di riferimento, detto massa di telaio o terra (ground), è quello a potenziale nullo: 0V0V.

La massa di telaio è usata negli schemi di apparecchiature elettriche ed elettroniche, mentre il simbolo di terra è più idoneo nel caso di impianti elettrici.

Teorema di Tellegen

Date due reti A e B, grazie alle proprietà della conservazione della potenza, si può scrivere:

∑kvkA⋅ikA=∑kvkB⋅ikB=∑kvkA⋅ikB=∑kvkB⋅ikA=0\sum_k v_k^A \cdot i_k^A = \sum_k v_k^B \cdot i_k^B = \sum_k v_k^A \cdot i_k^B = \sum_k v_k^B \cdot i_k^A = 0

Principio di Sostituzione

Date due porzioni arbitrarie di un circuito rappresentate dai bipoli A e B. Dati la tensione vv e la corrente ii ai terminali che collegano tali bipoli, la sostituzione di B con un generatore indipendente di tensione (o di corrente) di valore uguale alla tensione v (o alla corrente i), lascia invariate le tensioni e le correnti in A.

A livello pratico:

  1. bipolo in parallelo ad un generatore di tensione ⟶\longrightarrow circuito aperto,
  2. bipolo in serie ad un generatore di corrente ⟶\longrightarrow​ corto-circuito.

parallelo ad un generatore di tensione

serie ad un generatore di corrente

Bipoli di Thevenin e Norton

Dati due bipoli A e B connessi tra loro. Sia a un punto che giace sul primo collegamento e b un punto che giace sul secondo collegamento, sia ii la corrente che scorre su (entrambi) i collegamenti e vv​ la tensione ai capi dei collegamenti (ovvero ai capi di a-b).

I due teoremi che seguono sono applicabili a patto che tra i blocchi A e B non esistano altre interazioni. Nei paragrafi che seguono si sostituisce il bipolo A con un bipolo di Thevenin e, in seguito, con un bipolo di Norton per poter enunciare i teoremi.

Bipoli

Teorema di Thevenin

Un circuito resistivo lineare accessibile da due terminali equivale ad un generatore indipendente di tensione in serie ad un resistore. La vTv_{T} del generatore è a vuoto. RTR_T rappresenta la resistenza equivalente ReqR_{\rm eq} quando tutti i generatori indipendenti sono spenti.

v=RT⋅i+vT\Large v = R_{T} \cdot i+ v_{T}

Bipolo Thevenin

Teorema di Norton

Un circuito resistivo lineare accessibile da due terminali equivale ad un generatore indipendente di corrente in parallelo ad un resistore. La iNi_N del generatore è di corto-circuito. RNR_N rappresenta la ReqR_{\rm eq} quando tutti i generatori indipendenti sono spenti.

i=GN⋅v−iN=vRN−iN\Large i = G_N \cdot v -i_N = \frac{v}{R_N}-i_N

Bipolo Norton

Si può trasformare un bipolo di Thevenin in uno di Norton e viceversa se e solo se:

RT≠0∧RN≠0R_{T} \neq 0 \land R_N \neq 0

Trasformazioni

Trasformazione Th-N

Il resistore in serie al generatore indipendente di tensione viene posto in parallelo al generatore indipendente di corrente (N).

vS=R⋅iSv_S = R \cdot i_S
Trasformazione N-Th

Il resistore in parallelo al generatore indipendente di corrente viene posto in serie al generatore indipendente di tensione.

iS=vSRi_S = \frac{v_S}{R}

Th to N

Teorema Massimo Trasferimento di Potenza

Dato un circuito lineare rappresentato a mezzo del suo equivalente di Thevenin, la potenza trasferita al carico pL è massima quando il valore della resistenza di carico RL è uguale a quello della resistenza di Thevenin RT.

Massimo Trasferimento di Potenza

pL,max⁡=VT24RT\large p_{L,\max} = \frac{V_T^2}{4R_T}

Tale condizione non coincide con quella di massimo rendimento η\eta​. Il rendimento di un circuito è un numero puro dato dal rapporto tra energia in uscita dal sistema ed energia in ingresso.

η=pLpL+pT=RLRL+RT\eta = \frac{p_L}{p_L + p_T} = \frac{R_L}{R_L+R_T}

Metodi di Analisi Circuitale

Analisi Nodale

L’analisi nodale considera come incognite le tensioni di nodo e le correnti dei generatori di tensione. Dato un circuito costituito da n nodi e scelto il nodo di riferimento assunto a 0V0V:

  1. definire le tensioni nodali (n−1)(n-1) rispetto al riferimento,
  2. applicare la LKC ai (n−1)(n-1) nodi,
  3. esprimere le correnti dei componenti in funzione delle tensioni di nodo,
  4. scrivere le m equazioni di vincolo degli m generatori di tensione,
  5. risolvere il sistema lineare avente n−1+mn-1+m equazioni ed incognite.

Analisi Nodale con Supernodo

Un supernodo è una linea chiusa che racchiude un generatore di tensione ed i nodi a cui è connesso. Dato un circuito costituito da n nodi:

  1. definire le tensioni nodali (n−1)(n-1) rispetto al riferimento,
  2. applicare la LKC ai supernodi ed ai nodi esclusi il riferimento e quelli connessi al riferimento tramite un generatore di tensione,
  3. esprimere le correnti dei componenti in funzione delle tensioni di nodo,
  4. scrivere le m equazioni di vincolo degli m generatori di tensione,
  5. risolvere il sistema lineare ottenuto.

Analisi agli Anelli

Un circuito è planare se si può disegnare su un piano in modo che nessuna coppia di fili si intersechi in un punto che non sia un nodo. L’analisi agli anelli si applica solo a circuiti planari. Un anello è una maglia che non può essere scomposta in sotto-maglie. Dato un circuito costituito da n anelli:

  1. definire le n correnti (fittizie) di anello,
  2. applicare la LKT ad ogni anello,
  3. esprimere le tensioni ai capi dei componenti in funzione delle correnti di anello,
  4. scrivere le m equazioni di vincolo degli m generatori di corrente,
  5. risolvere il sistema lineare di n+mn+m equazioni ed incognite.

Analisi agli Anelli con Superanello

Un superanello è il contorno di due anelli che condividono lo stesso generatore di corrente. Dato un circuito costituito da n anelli ed m generatori di corrente:

  1. definire le n correnti (fittizie) di anello e individuare i superanelli,
  2. applicare la LKT ad ogni superanello e agli anelli esclusi quelli in cui è presente un generatore di corrente esclusivo,
  3. esprimere le tensioni ai capi dei componenti in funzione delle correnti di anello,
  4. scrivere le m equazioni di vincolo degli m generatori di corrente,
  5. risolvere il sistema lineare ottenuto.

Metodo delle Maglie

Il metodo delle maglie prevede di:

  1. disegnare un grafo associato al circuito,
  2. identificare albero e coalbero associato,
  3. definire le maglie fondamentali: aggiungere iterativamente una corda del coalbero all’albero,
  4. procedere come nell’analisi agli anelli.