Analisi in regime sinusoidale

Dec 27, 2023

Introduzione

Per trattare correttamente questo argomento è necessario avere solide base inerenti alla teoria dei numeri complessi.

Notazione dei Numeri Complessi

Poiché il tema trattato si basa sulla branca dell’elettronica, l’unità immaginaria è indicata con la lettera $j=\sqrt{-1}$ e non con la più classica $i$ , che potrebbe essere confusa con la corrente di un circuito.

Dati $\alpha, \beta \in \R$ , la forma cartesiana di un numero complesso è $z = \alpha+j \beta$ . Dati il modulo $\rho = |z| = \sqrt{\alpha^2 + \beta^2}$ e l’argomento $\phi = \arg [z]$ , la forma polare di un numero complesso è $z = \rho \angle \phi$ . Infine, la forma esponenziale è $z = \rho e^{j \phi}$ .

Per maggiori informazioni in merito, si suggerisce la lettura di Numeri Complessi.

Segnale Sinusoidale e Sfasamento

x(t) = A \cos(\omega t +\theta)

Il seguente segnale sinusoidale nel dominio del tempo è costituito dai seguenti parametri:

ampiezza A
pulsazione $\omega \; [\frac{\rm rad}{\rm sec}]$
fase $\theta \; [\rm rad]$
periodo T $[\rm sec]$
frequenza $f\; [\rm Hz]$ (inversa del periodo)

La fase determina lo sfasamento. Preso come riferimento un segnale con $\theta = 0^{\rm rad}$ , allora un segnale con fase $\theta_1 > \theta$ è in anticipo ed un segnale con fase $\theta_2 < \theta$ è in ritardo.

N.B. Molto spesso l’ampiezza di un segnale viene indicato con la stessa lettera del segnale, però maiuscola e con la lettera m in pedice. $X_m$ ampiezza di $x(t)$ tale che:

x(t) = X_m \cos(\omega t +\theta)

In modo che la lettera A possa essere associata ad un altro significato. Nel paragrafo che segue, la lettera A rappresenta l’ampiezza per evitare di leggere troppe X e dover fare attenzione ai pedici.

Fasore

Un fasore è un vettore in campo complesso associato ad una funzione (sinusoidale) nel dominio del tempo:

x(t) = A \cos(\omega t +\theta) \iff X = A e^{j \theta} \in \C

I circuiti elettrici che operano in corrente alternata possono essere analizzati nel dominio dei fasori per semplificare i calcoli e l’analisi stessa.

$X e^{j \omega t}$ è il fasore rotante (vettore) associato alla funzione $x(t)$ , la quale rappresenta la proiezione del fasore sull’asse reale.

\eq{ x(t) &= \Re[X e^{j \omega t}] =\\ &= \Re[Ae^{j \theta} e^{j \omega t}] =\\ &= A \cdot \Re[e^{j (\omega t + \theta)} ] =\\ &= A \cdot \Re[\cos(\omega t + \theta)+j\sin(\omega t + \theta) ] =\\ &= A \cos(\omega t + \theta) }

$y(t)$ rappresenta invece la proiezione di $X'e^{j \omega t}$ sull’asse immaginario:

\eq{ y(t) &= \Im[X' e^{j \omega t}] =\\ &= \Im[Ae^{j \theta} e^{j \omega t}] =\\ &= A \cdot \Im[e^{j (\omega t + \theta)} ] =\\ &= A \cdot \Im[\cos(\omega t + \theta)+j\sin(\omega t + \theta) ] =\\ &= A \sin(\omega t + \theta) }

Dominio del Tempo	Dominio dei Fasori
$A \cos(\omega t+\theta)$	$Ae^{j \theta}$
$-A\cos(\omega t+\theta)=A\cos(\omega t+\theta+\pi)$	$Ae^{j (\theta+\pi)}=-Ae^{j \theta}$
$A\sin(\omega t+\theta)=A\cos(\omega t+\theta-\pi/2)$	$Ae^{j (\theta-\pi/2)}=-jAe^{j \theta}$
$-A\sin(\omega t+\theta)=A\cos(\omega t+\theta-\pi/2)$	$Ae^{j (\theta+\pi/2)}=jAe^{j \theta}$

Fasore e Sfasamento

Si osserva che se $\varphi = \frac{\pi}{2}$ , allora $A \cos(\omega t + \theta) = A \sin(\omega t + \theta + \varphi)$ .

Dati due fasori $X=A \cos(\omega t + \theta)$ , $Y = A \cos(\omega t + \theta + \varphi)$ .

Se $\varphi = \frac{\pi}{2}$ e $\frac{\varphi}{\omega}=\frac{T}{4}$ , ovvero il rapporto tra sfasamento e pulsazione equivale ad un quarto del periodo, allora i due fasori si dicono in quadratura. Nel piano complesso, tali fasori sono perpendicolari.

quadratura

Se invece $\varphi = \pi$ e $\frac{\varphi}{\omega}=\frac{T}{2}$ , allora si parla di opposizione di fasori.

opposizione fase

Proprietà dei Fasori

Dato il segnale sinusoidale $x(t)$ ed il suo fasore X:

\alpha x(t) = \alpha X\quad \forall \alpha \in \R

Dato $y(t)$ con fasore Y ed avente la stessa frequenza di $x(t)$ , allora:

z(t)=x(t)+y(t)\quad ; \quad Z=X+Y

Uguaglianza nel dominio del tempo implica uguaglianza nel dominio dei fasori (e viceversa).

y(t)=x(t) \iff Y=X

Data la funzione:

x(t) = A \cos(\omega t) \iff X = A e^{j \theta} \in \C

Fasore della derivata:

\eq{ x'(t) &= \frac{d x(t)}{dt} = -A\omega\sin(\omega t) \iff \\ \iff X' &=j\omega X = j\omega A e^{j \theta} \in \C }

Fasore dell’integrale:

\eq{ \widetilde{x} &= \int x(t)dt = \frac{A\sin(\omega t)}{\omega} \iff \\ \iff \widetilde{X} &= \frac{X}{j\omega}= \frac{A e^{j \theta}}{j\omega} \in \C }

Teorema Principale

N.B. isofrequenziale significa letteralmente alla stessa frequenza.

La somma algebrica di N sinusoidi isofrequenziali e di N delle loro derivate di qualunque ordine è ancora una sinusoide alla stessa frequenza.

a(t) = \sum_{n=0}^N \alpha_n \frac{d^{N-n} x(t)}{dt^{N-n}}\quad ;\;N\in\N,\;\alpha_n \in \R

Sia $A e^{j \omega t}$ il fasore rotante (vettore) associato alla funzione $a(t)$ . Sia $X e^{j \omega t}$ il fasore rotante associato a $x(t)$ :

\eq{ \Re[A e^{j \omega t}] &= \sum_{n=0}^N \alpha_n \frac{d^{N-n} \Re[X e^{j \omega t}]}{dt^{N-n}} =\\ &= \Re \bigg[X e^{j \omega t} \sum_{n=0}^N \alpha_n (j\omega)^{N-n}\bigg]\\ \implies A &= X\cdot \bigg[\sum_{n=0}^N \alpha_n (j\omega)^{N-n}\bigg]\\ \implies X &= \frac{A}{\sum_{n=0}^N \alpha_n (j\omega)^{N-n}} }

Si possono ricostruire i segnali sinusoidali di partenza:

\eq{ x(t) &= X_m \cos(\omega t + \psi) = \Re\big[X e^{j \omega t}\big] \\ a(t) &= A_m \cos(\omega t + \varphi) = \Re\big[A e^{j \omega t}\big] \\ }

L’ampiezza di $x(t)$ si indica con $X_m$ e non con la lettera A (come sopra a questo paragrafo) per evitare ambiguità con il fasore rotante associato ad $a(t)$ .

Generatore Indipendente

Nei circuiti elettrici in regime sinusoidale, un generatore indipendente di tensione o corrente si presenta nella forma di segnale sinusoidale. Si analizza il caso di un generatore indipendente di tensione, ma il discorso è analogo per un generatore indipendente di corrente.

Passaggio dal dominio temporale al dominio dei fasori:

v(t) = V_m \cos(\omega t +\theta) \iff V = V_m \cdot e^{j \theta}

Si ottiene inoltre la frequenza di eccitazione del circuito $\omega$ in rad/sec.

L’unità di misura rimane rispettivamente il volt e l’ampere.

Alcuni fasori “notevoli” in base alla fase:

\begin{equation*} \begin{split} \theta &= 0\degree = 0^{\,\rm rad} \implies V = V_m \\ \theta &= \pm 180 \degree = \pm \pi^{\,\rm rad} \implies V = -V_m \\ \theta &= +90\degree = +\pi/2^{\,\rm rad}\implies V = +jV_m \\ \theta &= -90\degree = -\pi/2^{\,\rm rad} \implies V = -jV_m \end{split} \end{equation*}

TODO immagine carina

Dato il fasore di tensione V, si può ottenere la tensione in funzione del tempo $v(t)$ allo stesso modo in cui è stata ricavata sopra. Dato $V e^{j \omega t}$ è il fasore rotante associato alla funzione, allora:

\eq{ v(t) &= \Re[V e^{j \omega t}] =\\ &= \Re[V_m e^{j \theta} e^{j \omega t}] =\\ &= V_m \cdot \Re[e^{j (\omega t + \theta)} ] =\\ &= V_m \cdot \Re[\cos(\omega t + \theta)+j\sin(\omega t + \theta) ] =\\ &= V_m \cos(\omega t + \theta) }

In modo analogo, per completezza, si può scrivere:

i(t) = I_m \cos(\omega t +\theta) \iff I = I_m \cdot e^{j \theta}

Relazione tra fasori

Sia V il fasore della funzione $v(t)$ , ovvero la variazione di tensione in funzione del tempo. Sia I il fasore di $i(t)$ , ovvero la variazione di corrente in funzione del tempo.

Resistore

Dato R il valore della resistenza (in Ohm):

\eq{ v(t) &=R i(t) \\ & \implies V=RI \\ & \implies |V|=R|I| \\ & \implies \arg (V) = \arg(I) }

Induttore

Dato L il valore di induttanza (in Henry):

\eq{ v(t) &= L \frac{di(t)}{dt} \\ & \implies i(t) = \frac{1}{L} \int v(t)dt \\ & \implies V = j \omega LI \\ & \implies \arg (V) = \arg (I) + \frac{\pi}{2} \\ }

V ed I sono in quadratura, con V in ritardo su I.

Condensatore

Dato C il valore di capacità elettrica (in Farad):

\eq{ i(t) &= C \frac{dv(t)}{dt} \\ & \implies I = j \omega CV \\ & \implies |I| = \omega C |V| \\ & \implies \arg (I) = \arg (V) + \frac{\pi}{2} }

V ed I sono in quadratura, con V in anticipo su I.

Impedenza e Ammettenza

L’impedenza Z di un bipolo è il rapporto tra il fasore di tensione V e il fasore di corrente I. La sua unità di misura è l’ohm $[\Omega]$ .

L’impedenza rappresenta la tendenza di un circuito ad opporsi al passaggio di corrente sinusoidale (corrente alternata). In quanto rapporto tra fasori, l’impedenza è un numero complesso. La parte reale è data dalla resistenza $R=\Re[Z]$ e la parte immaginaria dalla reattanza $X = \Im[Z]$ . L’unità di misura è l’Ohm per entrambe le componenti dell’impedenza.

\eq{ Z &= \frac{V}{I} = R+jX \quad \in \C \\ &= |Z| \angle \theta }

Il modulo dell’impedenza è $|Z| = \sqrt{R^2 + X^2}$ e l’argomento è $\theta = \tan^{-1} (X/R)$ . La notazione polare implica:

\sis{ R = |Z| \cos(\theta) \\ X = |Z| \sin(\theta) }

L’ammettenza Y si misura in Siemens ed è il reciproco dell’impedenza Z.

\eq{ Y &= G + jB \in \C \\ &= \frac{1}{Z} }

L’ammettenza rappresenta la tendenza di un circuito a non opporsi al passaggio di corrente sinusoidale. La sua parte reale è data dalla conduttanza $G=\Re[Y]$ e la parte immaginaria dalla suscettanza $B = \Im[Y]$ . L’unità di misura è l’Ohm per entrambe le componenti.

L’analisi circuitale in regime sinusoidale prevede che ad ogni elemento sia associato: funzione nel tempo, corrispondente equazione con i fasori, valore di impedenza e la corrispondente ammettenza.

Elemento	Tempo	Fasore	Impedenza	Ammettenza
R: Resistore	$v=Ri$	$V=RI$	$Z = R$	$Y=1/R$
L: Induttore	$v = L \frac{di}{dt}$	$V = j \omega LI$	$Z = j \omega L$	$Y=1/(j \omega L)$
C: Condensatore	$i = C \frac{dv}{dt}$	$V = I/(j \omega C)$	$Z = 1/(j \omega C)$	$Y = j \omega C$

Si può ricavare la seguente tabella:

Elemento	Corrente Continua	Alte Frequenze
L: Induttore	corto circuito	circuito aperto
C: Condensatore	circuito aperto	corto circuito

Un bipolo lineare privo di generatori indipendenti si può rappresentare tramite la sua impedenza (o ammettenza).

Dimostrazioni

Impedenza di un resistore con valore di resistenza R:

\eq{ & v(t) = R i(t) \implies V=RI \\ & Z_R = \frac{V}{I}= \frac{RI}{I}=R \; [\Omega] }

Impedenza di un induttore con valore di induttanza L. Si fa uso della formula dell’integrale di un fasore:

\eq{ & i(t) = \frac{1}{L} \int v(t)dt \implies I = \frac{V}{j\omega L}\\ & Z_L = \frac{V}{I}= \frac{V}{V / (j\omega L)}= \frac{V \cdot j\omega L}{V}=j\omega L \; [\Omega] }

Impedenza di un condensatore con capacità elettrica C. Si fa uso della formula della derivata di un fasore:

\eq{ & i(t)= C \frac{dv(t)}{dt} \implies I = j\omega VC\\ & Z_C = \frac{V}{I}=\frac{V}{j\omega VC}= \frac{1}{j\omega C}\; [\Omega] }

N.B. L’integrale è la formula inversa della derivata, dunque la dimostrazione su come si ottengono i valori di impedenza può essere sviluppata in modo diverso (ottenendo il medesimo risultato).

Leggi di Kirchoff

Le leggi di Kirchoff rimangono valide anche nel dominio dei fasori.

\eq{ \sum_{k = 1}^n & v_k(t) = 0 \\ \sum_{k = 1}^n & i_k(t) = 0 \\ \sum_{k = 1}^n & I_k(t) = 0 \\ }

Dato $V_k = V_{m_k} \cdot e^{j \theta_k}$ si può scrivere:

\eq{ \sum_{k = 1}^n V_{m_k} \cos(\omega t+\theta_k) &= 0 \\ \Re\bigg[\sum_{k = 1}^n V_k \cdot e^{j \omega t} \bigg] = 0 }

Bipoli in serie

Date N impedenze in serie. Ai capi di ognuna è applicata una tensione diversa. $Z_i$ è associata al fasore $V_i$ , per $i=1,\dots,N$ .

L’equivalente di N fasori in serie è:

Z_{\rm eq} = \sum_{i = 1}^N Z_i

La fasore di tensione è dato dalla somma di tutti i $V_i$ fasori associati alle impedenze:

V = \sum_{i = 1}^N V_i = \bigg( \sum_{i = 1}^N Z_i \bigg) \cdot I

Per calcolare il valore di uno specifico fasore di tensione, si applica un partitore di tensione ai capi della relativa impedenza:

V_k = Z_k \cdot I = V \cdot \frac{Z_k}{Z_{\rm eq}}

Bipoli in parallelo

Date N impedenze in parallelo. Su ognuna scorre una corrente diversa. $Z_i$ è associata al fasore $I_i$ , per $i=1,\dots,N$ .

L’equivalente di N fasori in parallelo è espresso dall’ammettenza equivalente:

Y_{\rm eq} = \frac{1}{Z_{\rm eq}} = \sum_{i=1}^N \frac{1}{Z_i} = \sum_{i=1}^N Y_i

La fasore di corrente è dato dalla somma di tutti i $I_i$ fasori associati al reciproco delle impedenze:

I = \sum_{i=1}^N I_i = V \cdot \bigg( \sum_{i=1}^N \frac{1}{Z_i} \bigg)

Per calcolare il valore di uno specifico fasore di corrente, si applica un partitore di corrente ai capi della relativa ammettenza:

I_k = Y_k \cdot V = I \cdot \frac{Y_k}{Y_{\rm eq}}

A livello pratico, se si vuole calcolare il parallelo $Z_p$ tra le due impedenze $Z_1$ e $Z_2$ si può utilizzare una formula più comoda della somma delle ammettenze:

Z_p = \frac{1}{\frac{1}{Z_1} + \frac{1}{Z_2}} = \frac{Z_1 \cdot Z_2}{Z_1 + Z_2}

La prima formula è il reciproco della somma delle ammettenze, ovvero nuovamente un valore di impedenza:

\eq{ Y_{\rm eq} &= \frac{1}{Z_{\rm eq}} = \sum_{i=1}^2 \frac{1}{Z_i} = \sum_{i=1}^2 Y_i =\\ &= 1/Z_1 + 1/Z_2 = Y_1 + Y_2 \\ \implies Z_p &= \frac{1}{Y_{\rm eq}} }

Grazie alla seconda formula (dopo il secondo simbolo di uguaglianza) si ottiene lo stesso risultato con meno calcoli.

Metodo dei fasori

Per trovare la risposta a regime dei circuiti sottoposti ad eccitazioni sinusoidali bisogna effettuare i seguenti passaggi:

trasformare il circuiti dal dominio del tempo a quello dei fasori,
risolvere il circuito come se fosse resistivo,
trasformare i fasori delle incognite nel dominio del tempo.

Teoremi delle Reti

Principio di Sovrapposizione

In un circuito lineare in regime sinusoidale, se i generatori operano tutti alla stessa frequenza (sono isofrequenziali), si può applicare il principio di sovrapposizione.

La tensione ai capi di un elemento è la somma algebrica delle tensioni ai capi di quell’elemento quando ogni generatore indipendente funziona da solo.

La corrente che scorre attraverso un elemento è la somma algebrica delle correnti che scorrono su quell’elemento quando ogni generatore indipendente funziona da solo.

Se i generatori non sono isofrequenziali, si può trasformare il circuito nel dominio del tempo e applicare il principio di sovrapposizione solo in quel dominio.

Bipoli di Thevenin e Norton

Nel dominio dei fasori, nel bipolo di Thevenin si sostituisce la resistenza in serie al generatore indipendente di tensione con un impedenza in serie. Nel bipolo di Norton, si sostituisce la resistenza in parallelo al generatore indipendente di corrente con un’ammettenza in parallelo.

Metodi di Analisi Circuitale

Analisi Nodale

L’analisi nodale considera come incognite le tensioni di nodo e le correnti dei generatori di tensione. Dato un circuito nel dominio dei fasori costituito da n nodi e scelto il nodo di riferimento assunto a $0V$ :

definire le tensioni nodali $(n-1)$ rispetto al riferimento,
applicare la LKC ai $(n-1)$ nodi,
esprimere le correnti dei componenti in funzione delle tensioni di nodo,
scrivere le m equazioni di vincolo degli m generatori di tensione,
risolvere il sistema lineare avente $n-1+m$ equazioni ed incognite.

Analisi Nodale con Supernodo

Un supernodo è una linea chiusa che racchiude un generatore di tensione ed i nodi a cui è connesso. Dato un circuito nel dominio dei fasori, costituito da n nodi:

definire le tensioni nodali $(n-1)$ rispetto al riferimento,
applicare la LKC ai supernodi ed ai nodi esclusi il riferimento e quelli connessi al riferimento tramite un generatore di tensione,
esprimere le correnti dei componenti in funzione delle tensioni di nodo,
scrivere le m equazioni di vincolo degli m generatori di tensione,
risolvere il sistema lineare ottenuto.

Analisi agli Anelli

Un circuito nel dominio dei fasori è planare se si può disegnare su un piano in modo che nessuna coppia di fili si intersechi in un punto che non sia un nodo. L’analisi agli anelli si applica solo a circuiti planari. Un anello è una maglia che non può essere scomposta in sotto-maglie. Dato un circuito costituito da n anelli:

definire le n correnti (fittizie) di anello,
applicare la LKT ad ogni anello,
esprimere le tensioni ai capi dei componenti in funzione delle correnti di anello,
scrivere le m equazioni di vincolo degli m generatori di corrente,
risolvere il sistema lineare di $n+m$ equazioni ed incognite.