Matrice di Transizione

Note

Articles in this blog's slice are, for the time being, ony in italian.
Gli articoli in questa parte di blog sono, per ora, solo in italiano.

Basi Teoriche

L’esponenziale della matrice A è chiamata matrice di transizione perché determina, in assenza di ingresso, il moto libero.

Dato un sistema LTI MIMO (Lineare Tempo-Invariato Multi-Input Multi-Output) tempo continuo:

$$\begin{cases} \dot{x}(t) = Ax(t)+Bu(t) \\ y(t)= Cx(t)+Du(t) \end{cases}$$

Se l’ingresso è costantemente nullo, ovvero se $u(t) = 0 \; \forall t \in \R$, allora:

$$\begin{cases} \dot{x}(t) = Ax(t)\\ y(t)= Cx(t) \end{cases}$$

Dato il valore dello stato al tempo iniziale: $x(0) = x_0$. La soluzione dell’equazione differenziale vettoriale è:

$$x(t) = e^{At} x_0$$

Si definisce la funzione esponenziale della matrice A, detta anche matrice di transizione:

$$e^{At} = \sum_{i=0}^\infty A^i \frac{t^i}{i!}$$

L’obiettivo di questo articolo è capire come calcolare questa matrice. Bisogna però introdurre le basi teoriche che ne permettono il calcolo. Alla fine della lettura, si capirà la seguente formula:

$$e^{At} = \gamma_0 I + \gamma_1 A$$

N.B. La matrice identità I di ordine n ha gli elementi della diagonale principale pari ad uno (da in alto a sinistra a in basso a destra), mentre tutti gli altri elementi sono nulli. Dato un ordine $n=4$:

$$I = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$$

In generale, si può scrivere:

$$I = Id_n = \begin{bmatrix} 1 & 0 & \dots & 0 & 0 \\ 0 & 1 & \cdots & 0 & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots\\ 0 & 0 & \dots & 1 & 0 \\ 0 & 0 & \dots & 0 & 1 \end{bmatrix}$$

Le notazioni I ed $Id_n$ sono equivalenti: la secondo notazione è più precisa sull’ordine della matrice. Se si sta effettuando una qualche operazione con un’altra matrice, si sottintende che l’ordine delle matrici è equivalente.

Proprietà di Composizione

La proprietà di composizione si spiega facilmente con un’immagine.

$$\begin{equation} \begin{split} x(t_1) &= e^{A(t_1-t_0)}\cdot x(t_0)\\ x(t_2) &= e^{A(t_2-t_0)}\cdot x(t_0)=e^{A(t_2-t_1)} \cdot x(t_1)\\ &=\underbrace{e^{A(t_2-t_1)}e^{A(t_1-t_0)}}_{e^{A(t_2-t_0)}} \cdot x(t_0) \end{split} \end{equation}$$

Polinomio ed Equazione Caratteristica

Il polinomio caratteristico di una matrice reale $A \in \mathbb{R}^{n,n}$ è:

$$\begin{equation} \begin{split} a(\lambda) &= \det(\lambda I - A) =\\ &= \lambda^n + \sum_{k = 0}^{n-1} a_{k}\lambda^{k} = \\ &=\lambda^n+a_{n-1}\lambda^{n-1} + \dots + a_{1}\lambda + a_0 \end{split} \end{equation}$$

L’equazione caratteristica di A è data dal polinomio caratteristico posto uguale a zero:

$$a(\lambda) = 0\implies \lambda^n+a_{n-1}\lambda^{n-1} + \dots + a_{1}\lambda + a_0 = 0$$

N.B. I coefficienti $a_{i}$ con $0\leq i\leq n-1$ dipendono dagli elementi che compongono la matrice A.

Autovalori e Matrici Triangolari

Le radici dell’equazione caratteristica sono gli autovalori di A. Le radici possono assumere valori in campo complesso.

$$\begin{equation} \begin{split} a(\lambda) &= (\lambda-\lambda_1)^{n_1} \cdot (\lambda-\lambda_2)^{n_2} \dots (\lambda-\lambda_h)^{n_h} =\\ &= \prod_{k=1}^h (\lambda-\lambda_k)^{n_k} = 0 \end{split} \end{equation}$$

Una matrice triangolare è una matrice quadrata in cui tutti gli elementi posti sopra (o sotto) la diagonale principale sono nulli. Gli autovalori di una matrice triangolare sono gli elementi della diagonale principale.

Sia ad esempio:

$$A = \begin{bmatrix} 15 & 0 & 0 \\ 2 & 1 & 0 \\ 0 & 4 & -5 \end{bmatrix}$$

Allora gli autovalori sono: $\lambda_1 = 15$, $\lambda_2 = 1$ e $\lambda_3 = -5$.

Teorema di Cayley-Hamilton

Ogni matrice quadrata è radice del proprio polinomio caratteristico.

$$\begin{equation} \begin{split} a(A) &= A^n+a_{n-1}A^{n-1} + \dots + a_{1}A + a_0 I = 0\\ \implies & A^n = -a_{n-1}A^{n-1} - \dots - a_{1}A - a_0 I \end{split} \end{equation}$$

Questa equazione è di grande importanza per quanto riguarda l’analisi dei sistemi LTI.

Polinomi Annullatore e Minimo

Un polinomio annullatore per A è un polinomio che soddisfa:

$$p(A) = 0$$

Il polinomio minimo di A è il polinomio annullatore di grado minimo:

$$\alpha(A) = 0$$

Il polinomio minimo gode di diverse proprietà. Tale polinomio unico se considerato monico (coefficiente del termine con esponente maggiore uguale ad uno) ed è un divisore del polinomio caratteristico.

$$\alpha(A) = \frac{\det(\lambda I - A)}{b(\lambda)}$$

con $b(\lambda)$ massimo comune divisore (monico) degli elementi della matrice aggiunta $\text{agg}(\lambda I - A)$.

Il polinomio minimo inoltre ha come radici tutti gli autovalori di A:

$$\begin{equation} \begin{split} \alpha(A) &= \lambda^l + \alpha_{l-1}\lambda^{l-1} + \dots + \alpha_{1}\lambda + \alpha_0 =\\ &= (\lambda-\lambda_1)^{l_1} \cdot (\lambda-\lambda_2)^{l_2} \dots (\lambda-\lambda_h)^{l_h} \quad \forall 0 < l_i \leq n_i \; ; \; 1\leq i \leq h \end{split} \end{equation}$$

Infatti vale da disuguaglianza:

$$\sum_{i = 1}^h l_i = l \leq \sum_{i = 1}^h n_i = n$$

Infine, sia data questa matrice:

$$(\lambda I - A)^{-1} = \frac{\text{agg}(\lambda I-A)}{\det (\lambda I-A)}$$

i suoi elementi sono rapporti tra polinomi in funzione di $\lambda$. Il minimo comune multiplo dei denominatori di tale matrice è il polinomio minimo di A. Il calcolo di questa matrice e del minimo comune multiplo dei denominatori costituiscono il procedimento per determinare il polinomio minimo di A.

Procedimento Analitico

Esempio 1

Esempio 2

Calcolo di Transizioni di Stato

Definizione di Modi