Matrice Quadrata

Sep 2, 2024

Introduzione

Data una matrice A con m righe ed n collone, la sua dimensione è $m \times n$ .

A = \begin{bmatrix} a_{11} & \dots & a_{1n} \\ \vdots & \cdots & \vdots \\ a_{m1} & \dots & a_{mn} \end{bmatrix} = \Big( a_{ij} \Big)_{\substack{1 \leq i \leq m \\ 1 \leq j \leq n}}

Come si può intuire dalla notazione espressa sopra, l’elemento corrispondente alla i-esima riga e alla j-esima colonna è:

\Large a_{ij}

Se gli elementi della matrice appartengono al campo $\mathbb{K}$ (che può essere l’insieme dei numeri reali $\mathbb{R}$ ), le seguenti scritture sono equivalenti:

$A \in \mathbb{K}^{m,n}$
$A \in \mathbb{K}^{m \times n}$
$A \in \text{Mat}(m,n, \mathbb{K})$

Esistono diversi tipi di matrici: riga, colonna, rettangolari e quadrate. Questo articolo si concentra su quest’ultima tipologia: una matrice si dice quadrata quando ha lo stesso numero di righe e colonne. L’indice che denota la dimensione della matrice è detto ordine della matrice.

Somma tra matrici

Date due matrici A e B aventi lo stesso numero di righe e colonne, la loro somma restituisce una matrice i cui elementi si ottengono sommando gli elementi (delle matrici di partenza) che occupano la stessa posizione.

Date le matrici:

A = \Big( a_{ij} \Big)_{\substack{1 \leq i \leq m \\ 1 \leq j \leq n}} \quad ; \quad B = \Big( b_{ij} \Big)_{\substack{1 \leq i \leq m \\ 1 \leq j \leq n}}

Gli elementi $s_{ij}$ appartenenti alla matrice somma, sono:

s_{ij} = a_{ij} + b_{ij} \quad \forall i \in \{1,\dots,m\},\;\forall j \in \{1,\dots,n\}

Allora si può definire la matrice somma:

C = A + B = \Big( s_{ij} \Big)_{\substack{1 \leq i \leq m \\ 1 \leq j \leq n}} = \begin{bmatrix} a_{11} + b_{11} & \dots & a_{1n} + b_{1n} \\ \vdots & \cdots & \vdots \\ a_{m1} + b_{m1} & \dots & a_{mn} + b_{mn} \end{bmatrix}

Esempio:

Date le matrici:

A = \begin{bmatrix} 10 & -2 & 4 \\ 6 & 5 & 2\\ -3 & -8 & 9 \end{bmatrix} \quad ; \quad B = \begin{bmatrix} -20 & 2 & 14 \\ 10 & 7 & -7\\ 0 & 4 & 16 \end{bmatrix}

La loro somma è:

C = \begin{bmatrix} 10+(-20) & -2+2 & 4+14 \\ 6+10 & 5+7 & 2+(-7)\\ -3+0 & -8+4 & 9+16 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -10 & 0 & 18 \\ 16 & 12 & -5\\ -3 & -4 & 25 \end{bmatrix}

Differenza tra matrici

La matrice opposta si costruisce cambiando di segno tutti gli elementi della matrice di partenza. In questo modo è possibile effettuare la differenza tra matrici:

A = \Big( a_{ij} \Big)_{\substack{1 \leq i \leq m \\ 1 \leq j \leq n}} \quad ; \quad B = \Big( b_{ij} \Big)_{\substack{1 \leq i \leq m \\ 1 \leq j \leq n}} \quad ; \quad -B = \Big( -b_{ij} \Big)_{\substack{1 \leq i \leq m \\ 1 \leq j \leq n}}

Gli elementi $d_{ij}$ appartenenti alla matrice differenza, sono:

d_{ij} = a_{ij} - b_{ij} \quad \forall i \in \{1,\dots,m\},\;\forall j \in \{1,\dots,n\}

Allora si può definire la matrice differenza:

D = A + (-B) = \Big( d_{ij} \Big)_{\substack{1 \leq i \leq m \\ 1 \leq j \leq n}} = \begin{bmatrix} a_{11} - b_{11} & \dots & a_{1n} - b_{1n} \\ \vdots & \cdots & \vdots \\ a_{m1} - b_{m1} & \dots & a_{mn} - b_{mn} \end{bmatrix}

Esempio: date le matrici dell’esempio precedente. La matrice opposta di B è:

-B = \begin{bmatrix} 20 & -2 & -14 \\ -10 & -7 & 7\\ 0 & -4 & -16 \end{bmatrix}

La matrice differenza è:

D = \begin{bmatrix} 10+20 & -2-2 & 4-14 \\ 6-10 & 5-7 & 2+7\\ -3+0 & -8-4 & 9-16 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 30 & -4 & -10 \\ -4 & -2 & 9\\ -3 & -12 & 7 \end{bmatrix}

Prodotto tra matrici

Date due matrici A e B. Il prodotto tra matrici è anche detto prodotto riga per colonna. La seconda matrice deve avere numero di righe pari al numero di colonne della prima matrice. La matrice che ne risulta ha numero di righe pari alle righe della prima matrice e numero di colonne pari al numero di colonne della seconda matrice.

Date le seguenti matrici:

A = \Big( a_{ij} \Big)_{\substack{1 \leq i \leq m \\ 1 \leq j \leq n}} \quad ; \quad B = \Big( b_{ij} \Big)_{\substack{1 \leq i \leq n \\ 1 \leq j \leq p}} \quad ; \quad C = AB= \Big(c_{ij} \Big)_{\substack{1 \leq i \leq m \\ 1 \leq j \leq p}}

La matrice prodotto è così costituita:

c_{ij} = \sum_{k=1}^n a_{ik} \cdot b_{kj} \quad \forall i \in \{1,2,\dots,m\}, \; \forall j \in \{1,2,\dots,p\},

Esempio. Si procede con un esempio non numerico per far capire il funzionamento del prodotto.

Dati i seguenti indici: $m=2,\;n=3,\;p=2$ .

A=\begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \end{bmatrix} \quad ; \quad B = \begin{bmatrix} b_{11} & b_{12} \\ b_{21} & b_{22} \\ b_{31} & b_{32} \\ \end{bmatrix}

Allora ne risulta il seguente prodotto:

C = \begin{bmatrix} a_{11}b_{11} + a_{12}b_{21} + a_{13}b_{31} & a_{11}b_{12} + a_{12}b_{22} + a_{13}b_{32} \\ a_{21}b_{11} + a_{22}b_{21} + a_{23}b_{31} & a_{21}b_{12} + a_{22}b_{22} + a_{23}b_{32} \\ \end{bmatrix}

Matrice Identità o Identica

La matrice identità I ha gli elementi della diagonale principale pari ad uno, mentre tutti gli altri elementi sono nulli. La diagonale principale comprende tutti gli elementi che hanno lo stesso numero di indice sia per la riga che per la colonna: da in alto a sinistra fino in basso a destra.

In generale, si può scrivere:

I = \text{Id}_n = \begin{bmatrix} 1 & 0 & \dots & 0 & 0 \\ 0 & 1 & \cdots & 0 & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots\\ 0 & 0 & \dots & 1 & 0 \\ 0 & 0 & \dots & 0 & 1 \end{bmatrix}

Le notazioni I ed $\text{Id}_n$ sono equivalenti: la secondo notazione è più precisa sull’ordine della matrice. Se si sta effettuando una qualche operazione con un’altra matrice, si sottintende che l’ordine delle matrici è equivalente.

Caratteristiche e proprietà

Determinante

Il determinante di una matrice A si indica con $\det(A)$ . Il determinante si calcola in modo diverso in base all’ordine della matrice. Il determinante di una matrice formata da un unico elemento, è l’elemento stesso

Determinante di una matrice 2x2

A = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{bmatrix} \\ \implies \det(A) = (a_{11} \cdot a_{22})-(a_{12} \cdot a_{21})

Determinante di una matrice 3x3

Per una matrice di ordine 3, si può applicare la regola di Sarrus:

\begin{equation} \begin{split} A &= \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \\ \end{bmatrix} \\ \\ \implies \det(A) &=a_{11}a_{22}a_{33}+a_{12}a_{23}a_{31}+a_{13}a_{21}a_{32}+\\ &-(a_{13}a_{22}a_{31}+a_{12}a_{21}a_{33}+a_{11}a_{23}a_{32}) \end{split} \end{equation}

Se non si vuole ricordarsi questa enorme differenza di somme di prodotti, si possono seguire i seguenti passi:

accostare una matrice identica a quella di partenza a destra della prima,
sommare i prodotti lungo le prime tre diagonali principali (complete) da sinistra verso destra,
sommare i prodotti lungo le ultime tre anti-diagonali (complete) percorse da destra verso sinistra, calcolare la differenza tra i risultati ottenuti ai punti 1) e 2).
calcolare la differenza tra i risultati ottenuti ai punti 2 e 3.

Cofattore

Data una matrice di ordine n.

A = \begin{bmatrix} a_{11} & \dots & a_{1n} \\ \vdots & \cdots & \vdots \\ a_{n1} & \dots & a_{nn} \end{bmatrix}

Sia $A_{ij}$ ma matrice ottenuta eliminando la i-esima riga e la j-esima colonna della matrice A. Sia inoltre $\det(A_{ij})$ il determinante di tale sotto-matrice.

Il minore complementare relativo all’elemento $a_{ij} \in A$ è il determinante della sotto-matrice $A_{ij}$ e si indica con:

C_{ij} = \det(A_{ij})

Il cofattore (o minore complementare o complemento algebrico) relativo all’elemento $a_{ij}$ si indica con $\text{Cof}(a_{ij})$ e si ottiene cambiando di segno $C_{ij}$ . Se la somma dei coefficienti $i+j$ è pari, il segno del cofattore è positivo. Se la somma $i+j$ è dispari, il segno del cofattore è negativo. Tale concetto si può esplicitare con la formula:

\begin{equation} \begin{split} \text{Cof}(a_{ij}) &= (-1)^{i+j} \cdot C_{ij} =\\ &= (-1)^{i+j} \cdot \det(A_{ij}) \end{split} \end{equation}

Teorema di Laplace

Il teorema di Laplace permette di calcolare il determinante di una matrice quadrata di ordine qualsiasi attraverso formule ricorsive applicabili sia per righe che per colonne: gli sviluppi di Laplace. Dato per assodato il concetto di cofattore illustrato nel paragrafo precedente, si può procedere con lo sviluppo di Laplace per righe. Fissata una qualsiasi riga della matrice A, il suo determinante è pari alla somma dei prodotti degli elementi della riga fissata per i rispettivi complementi algebrici:

\det(A) = \sum_{j = 1}^n \Big[a_{ij} \cdot \text{Cof}(a_{ij})\Big] = \sum_{j = 1}^n \Big[a_{ij} \cdot (-1)^{i+j} \cdot \det(A_{ij}) \Big]

Alternativamente, si può procedere con lo sviluppo di Laplace per colonne. Fissata una qualsiasi colonna della matrice A, il suo determinante è pari alla somma dei prodotti degli elementi della colonna fissata per i rispettivi complementi algebrici:

\det(A) = \sum_{i = 1}^n \Big[a_{ij} \cdot \text{Cof}(a_{ij}) \Big] = \sum_{i = 1}^n \Big[a_{ij} \cdot (-1)^{i+j} \cdot \det(A_{ij}) \Big]

Si usa il metodo che permette di risparmiare calcoli. Si sceglie la riga o la colonna che possiede più zeri in modo da avere meno addendi possibili: essendo una formula ricorsiva, ogni addendo porta con sé diversi calcoli in più.

Traccia

La traccia di una matrice è la somma degli elementi posti sulla diagonale principale.

Data una matrice di ordine n.

A = \begin{bmatrix} a_{11} & \dots & a_{1n} \\ \vdots & \cdots & \vdots \\ a_{n1} & \dots & a_{nn} \end{bmatrix} \in \text{Mat}(n,n, \mathbb{K})

La traccia si indica con:

\text{tr}(A) = \sum_{i = 1}^n a_{ii} = a_{11} + a_{22} + \dots + a_{nn}

La traccia è quindi un valore scalare appartenente al campo $\mathbb{K}$ a cui appartengono anche i valori della matrice.

Polinomio Caratteristico

Il polinomio caratteristico è usato per il calcolo degli autovalori di una matrice quadrata:

p_A(\lambda) := \det(A-\lambda I)

Il calcolo del polinomio caratteristico si effettua seguenti i seguenti passi:

scrivere la matrice $\lambda I$ ,
determinare la differenza $A - \lambda I$ ,
calcolare il determinante della matrice trovata

Il risultato è il polinomio caratteristico, il cui grado corrisponde all’ordine della matrice A.

Sia $n=2$ l’ordine di A, allora:

\begin{equation} \begin{split} A &= \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{bmatrix} \\ \lambda I &= \begin{bmatrix} \lambda &0 \\ 0 & \lambda \end{bmatrix}\\ A -\lambda I &= \begin{bmatrix} a_{11}-\lambda & a_{12} \\ a_{21} & a_{22}-\lambda \end{bmatrix}\\ \\ \implies \det(A -\lambda I) &= \Big[(a_{11}-\lambda)(a_{22}-\lambda)\Big]- \Big[a_{12}\cdot a_{21}\Big]=\\ &= a_{11}a_{22} -\lambda a_{11} -\lambda a_{22} + \lambda^2 - a_{12}a_{21} =\\ &= a_{11}a_{22} -\lambda(a_{11}+a_{22})+ \lambda^2 - a_{12}a_{21} =\\ &= \lambda^2 - \text{tr}(A)\lambda+\det(A)= p_A(\lambda) \end{split} \end{equation}

In generale, dato un ordine n:

\begin{equation} \begin{split} p_A(\lambda) &= (-1)^n \lambda^n + (-1)^{n-1} a_{n-1}\lambda^{n-1} + \dots + (-1)a_1 \lambda + a_0 =\\ &= (-1)^n \lambda^n + \sum_{k = 0}^{n-1} (-1)^k a_k \lambda^k \end{split} \end{equation}

I coefficienti $a_{i}$ con $0\leq i\leq n-1$ dipendono dagli elementi che compongono la matrice A. I due “estremi” sono:

a_{n-1} = \text{tr}(A) \quad ; \quad a_0 = \det(A)

L’equazione caratteristica è data dal polinomio caratteristico posto uguale a zero.

Gli zeri del polinomio caratteristico corrispondono agli autovalori associati alla matrice:

\begin{equation} \begin{split} p_A(\lambda) &= (\lambda-\lambda_1)^{n_1} \cdot (\lambda-\lambda_2)^{n_2} \dots (\lambda-\lambda_h)^{n_h} =\\ &= \prod_{k=1}^h (\lambda-\lambda_k)^{n_k} = 0 \end{split} \end{equation}

Il teorema di Cayley-Hamilton afferma che ogni matrice quadrata è radice del proprio polinomio caratteristico.

Autovalori ed Autovettori

Data una matrice quadrata $A \in \text{Mat}(n,n, \mathbb{K})$ , lo scalare $\lambda_0 \in \mathbb{K}$ è un autovalore di A se esiste un vettore colonna non nullo $\overline{v} \in \mathbb{K}^n$ tale che il prodotto tra la matrice A e il vettore in questione è uguale al prodotto tra l’autovalore e il vettore. In simboli:

A\overline{v} = \lambda_0 \overline{v}

$\overline{v}$ è un vettore colonna non nullo ed è detto autovettore relativo all’autovalore $\lambda_0$ .

Matrice Trasposta

La matrice trasposta si ottiene scambiando righe e colonne di una matrice assegnata. Si indice ponendo in apice la lettera T. La trasposta si può calcolare per matrici di qualsiasi ordine, non solo quadrate:

A = \begin{bmatrix} a_{11} & \dots & a_{1n} \\ \vdots & \cdots & \vdots \\ a_{m1} & \dots & a_{mn} \end{bmatrix} \in \text{Mat}(m, n, \mathbb{K}) \implies A^T = \begin{bmatrix} a_{11} & \dots & a_{1n} \\ \vdots & \cdots & \vdots \\ a_{n1} & \dots & a_{nm} \end{bmatrix} \in \text{Mat}(n, m, \mathbb{K})

Un esempio pratico:

A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \end{bmatrix} \in \R^{2, 3} \implies A^T = \begin{bmatrix} 1 & 4 \\ 2 & 5 \\ 3 & 6 \end{bmatrix} \in \R^{3, 2}

Matrice Aggiunta

La matrice aggiunta associata ad A è la matrice complessa coniugata della matrice trasposta di A.

\text{agg}(A) = \overline{A^T}

I suoi elementi si ottengono scrivendo la trasposta A^T e sostituendo ogni elemento della trasposta con il relativo complesso coniugato.

Matrice Inversa

Moltiplicando una matrice per la sua matrice inversa, si ottiene la matrice identità. Una matrice A di ordine n si dice invertibile se esiste la sua matrice inversa A^-1.

A \text{ matrice quadrata invertibile } \iff \exists A^{-1} \text{ t.c. } AA^{-1} = \text{Id}_n = A^{-1}A

Se A è una matrice quadrata a coefficienti in un campo $\mathbb{K}$ , allora è invertibile se e solo se il suo determinante è diverso da zero:

A \in \text{Mat}(n,n, \mathbb{K}) \text{ matrice quadrata invertibile } \iff \det(A) \neq 0

Dato per assodato il concetto di cofattore, si può procedere al calcolo della matrice inversa tramite i seguenti passaggi:

calcolo del determinante di A
1. se $\det(A) = 0$ , la matrice non è invertibile e non si può procedere.
2. se $\det(A) \neq 0$ , la matrice è invertibile e si può procedere.
calcolo della matrice dei cofattori
determinare la matrice trasposta della matrice dei cofattori (matrice aggiunta)
moltiplicare la matrice aggiunta per lo scalare $1/\det(A)$

Data:

\tag{m.i. 1} A = \begin{bmatrix} a_{11} & \dots & a_{1n} \\ \vdots & \cdots & \vdots \\ a_{n1} & \dots & a_{nn} \end{bmatrix} \in \text{Mat}(n,n, \mathbb{K})

La matrice dei cofattori è:

\tag{m.i. 2} \begin{bmatrix} \text{Cof}_{11} & \dots & \text{Cof}_{1n} \\ \vdots & \cdots & \vdots \\ \text{Cof}_{n1} & \dots & \text{Cof}_{nn} \end{bmatrix}

La matrice aggiunta è:

\tag{m.i. 3} \text{agg}(A) = \begin{bmatrix} \text{Cof}_{11} & \dots & \text{Cof}_{1n} \\ \vdots & \cdots & \vdots \\ \text{Cof}_{n1} & \dots & \text{Cof}_{nn} \end{bmatrix}^T = \begin{bmatrix} \text{Cof}_{11} & \dots & \text{Cof}_{n1} \\ \vdots & \cdots & \vdots \\ \text{Cof}_{1n} & \dots & \text{Cof}_{nn} \end{bmatrix}

La sua matrice inversa è:

\tag{m.i. 4} A^{-1} = \frac{\text{agg}(A)}{\det(A)} = \frac{1}{\det(A)} \begin{bmatrix} \text{Cof}_{11} & \dots & \text{Cof}_{1n} \\ \vdots & \cdots & \vdots \\ \text{Cof}_{n1} & \dots & \text{Cof}_{nn} \end{bmatrix}^T

Matrice Triangolare

Una matrice triangolare è una matrice quadrata in cui tutti gli elementi posti sopra (o sotto) la diagonale principale sono nulli.

Proprietà della matrice triangolare

Gli autovalori di una matrice triangolare sono gli elementi della diagonale principale.

Sia ad esempio:

A = \begin{bmatrix} 15 & 0 & 0 \\ 2 & 1 & 0 \\ 0 & 4 & -5 \end{bmatrix}

Allora gli autovalori sono: $\lambda_1 = 15$ , $\lambda_2 = 1$ e $\lambda_3 = -5$ .

Il determinante di una matrice triangolare è il prodotto degli elementi che giacciono sulla diagonale principale.

Per il caso precedente:

\det (A) = \lambda_1 \cdot \lambda_2 \cdot \lambda_3 = -75