L’unità immaginaria è indicata con la lettera j : = − 1 j:=\sqrt{-1} j := − 1 i i i
Si può notare che:
j ⋅ ( − j ) = − j 2 = 1 j \cdot (-j) = -j^2 = 1 j ⋅ ( − j ) = − j 2 = 1 Dato un numero complesso z ∈ C z\in\C z ∈ C
parte reale a = R e ( z ) = R e ( z ) ∈ R a=\mathfrak{Re}(z)=\mathrm{Re}(z)\in\R a = Re ( z ) = Re ( z ) ∈ R
parte immaginaria b = I m ( z ) = I m ( z ) ∈ R b=\mathfrak{Im}(z)=\mathrm{Im}(z)\in\R b = Im ( z ) = Im ( z ) ∈ R
Un numero reale è un numero complesso avente parte immaginaria nulla. Viceversa, se un numero reale ha parte immaginaria nulla allora è un numero reale. Dunque R \R R sottoinsieme proprio di C \C C R ⊂ C \R \sub \C R ⊂ C
Il complesso coniugato di un numero complesso, per evitare ambiguità, è indicato con l’asterisco in apice al posto della più consueta soprallineatura. Si può affermare che z ∗ ∈ C z^* \in \C z ∗ ∈ C z ∈ C z \in \C z ∈ C
z = a + j b ⟶ z ∗ = a − j b ⟹ R e ( z ) = R e ( z ∗ ) ∧ I m ( z ∗ ) = − I m ( z ) \begin{equation*}
\begin{split}
&z = a+jb \longrightarrow z^* = a-jb \\
\implies & \mathrm{Re}(z) = \mathrm{Re}(z^*) \land \mathrm{Im}(z^*) = -\mathrm{Im}(z)
\end{split}
\end{equation*} ⟹ z = a + jb ⟶ z ∗ = a − jb Re ( z ) = Re ( z ∗ ) ∧ Im ( z ∗ ) = − Im ( z ) N.B. La soprallineatura potrebbe indicare trasformazioni di Fourier per segnali tempo discreti, i quali sono scalari o funzioni complesse e ciò porterebbe ad ambiguità.
Un numero z ∈ C z \in \C z ∈ C
cartesiana: z = a + j b z = a+jb z = a + jb
polare: z = ρ 0 ∠ θ z = \rho_0 \angle \theta z = ρ 0 ∠ θ
esponenziale: z = ρ 0 e j θ z = \rho_0e^{j\theta} z = ρ 0 e j θ
trigonometrica: z = ρ 0 ( cos ( θ ) + j sin ( θ ) ) z = \rho_0(\cos(\theta)+j\sin(\theta)) z = ρ 0 ( cos ( θ ) + j sin ( θ ))
L’argomento principale è arg ( z ) = θ ∈ ] − π , π ] \arg(z)= \theta \in \;]-\pi,\pi] arg ( z ) = θ ∈ ] − π , π ]
θ = { π / 2 a = 0 , b > 0 3 π / 2 a = 0 , b < 0 non definito a = 0 , b = 0 arctan ( b a ) a > 0 , b ≥ 0 arctan ( b a ) + 2 π a > 0 , b < 0 arctan ( b a ) + π a < 0 , b ∈ R \theta = \sis{
\pi/2 & \quad a=0,\,b>0 \\ \\
3\pi/2 & \quad a=0,\,b<0 \\ \\
\text{non definito} & \quad a=0,\,b=0 \\ \\
\arctan\left(\frac{b}{a}\right) & \quad a>0,\,b\geq0 \\ \\
\arctan\left(\frac{b}{a}\right) + 2\pi & \quad a>0,\,b<0 \\ \\
\arctan\left(\frac{b}{a}\right) + \pi & \quad a<0,\,b\in \R
} θ = ⎩ ⎨ ⎧ π /2 3 π /2 non definito arctan ( a b ) arctan ( a b ) + 2 π arctan ( a b ) + π a = 0 , b > 0 a = 0 , b < 0 a = 0 , b = 0 a > 0 , b ≥ 0 a > 0 , b < 0 a < 0 , b ∈ R Il modulo di un numero complesso è ∣ z ∣ = ρ 0 = a 2 + b 2 |z|=\rho_0=\sqrt{a^2+b^2} ∣ z ∣ = ρ 0 = a 2 + b 2
Operazioni con i numeri complessi
Somma
Dati i numeri complessi:
z = a + j b ∈ C z=a+jb \in \C z = a + jb ∈ C w = c + j d ∈ C w=c+jd \in \C w = c + j d ∈ C
z + w = ( a + c ) + j ( b + d ) z+w = (a+c)+j(b+d) z + w = ( a + c ) + j ( b + d ) Prodotto
Dati i numeri complessi:
z = a + j b ∈ C z=a+jb \in \C z = a + jb ∈ C w = c + j d ∈ C w=c+jd \in \C w = c + j d ∈ C
z ⋅ w = ( a c − b d ) + j ( a d + b c ) z \cdot w = (ac-bd)+j(ad+bc) z ⋅ w = ( a c − b d ) + j ( a d + b c ) Divisione
Risulta molto importante saper calcolare velocemente il quoziente di numeri complessi.
Per “togliere” l’unità immaginaria dal denominatore, si moltiplicano numeratore e denominatore per il complesso coniugato del denominatore.
Dati i numeri complessi:
z = a + j b ∈ C z=a+jb \in \C z = a + jb ∈ C w = c + j d ∈ C w=c+jd \in \C w = c + j d ∈ C w ∗ = c − j d ∈ C w^* = c -jd \in \C w ∗ = c − j d ∈ C
z w = z w ( w ∗ w ∗ ) = ( a c + b d ) + j ( b c − a d ) c 2 + d 2 \frac{z}{w} = \frac{z}{w}\bigg(\!\frac{w^*}{w^*}\!\bigg)
= \frac{(ac+bd)+j(bc-ad)}{c^2+d^2} w z = w z ( w ∗ w ∗ ) = c 2 + d 2 ( a c + b d ) + j ( b c − a d ) Funzione esponenziale complesso
L’esponenziale complesso è una funzione sinusoidale, a differenza di quanto il nome possa far pensare. Dati i seguenti parametri:
sfasamento φ \varphi φ
periodo T 0 T_0 T 0
frequenza f 0 = 1 / T 0 f_0 = 1/T_0 f 0 = 1/ T 0
frequenza angolare ω = ( 2 π ) / T 0 \omega = (2\pi)/T_0 ω = ( 2 π ) / T 0 velocità angolare ).
z ( t ) = e j ( 2 π t T 0 + φ ) = e j ( 2 π f 0 t + φ ) = e j ( ω t + φ ) ∈ C \large
z(t)=e^{j(2\pi \frac{t}{T_0}+\varphi)}=
e^{j(2\pi f_0t+\varphi)}=
e^{j(\omega t+\varphi)}\in \C\\ z ( t ) = e j ( 2 π T 0 t + φ ) = e j ( 2 π f 0 t + φ ) = e j ( ω t + φ ) ∈ C Questa formula ha le seguenti implicazioni:
⟹ { R e [ z ( t ) ] = cos ( ω t + φ ) I m [ z ( t ) ] = sin ( ω t + φ ) ⟹ z ( t ) = R e [ z ( t ) ] + j I m [ z ( t ) ] = cos ( ω t + φ ) + j sin ( ω t + φ ) \eq{
\implies &
\sis{
\mathrm{Re}[z(t)]=\cos(\omega t+\varphi) \\
\mathrm{Im}[z(t)]=\sin(\omega t+\varphi)
} \\
\implies & z(t)=\mathrm{Re}[z(t)]+j\mathrm{Im}[z(t)] = \cos(\omega t+\varphi) +j\sin(\omega t+\varphi)
} ⟹ ⟹ { Re [ z ( t )] = cos ( ω t + φ ) Im [ z ( t )] = sin ( ω t + φ ) z ( t ) = Re [ z ( t )] + j Im [ z ( t )] = cos ( ω t + φ ) + j sin ( ω t + φ ) Da cui si ricavano facilmente:
modulo ∣ z ( t ) ∣ = 1 |z(t)|=1 ∣ z ( t ) ∣ = 1
argomento arg [ z ( t ) ] = ω t + φ \arg[z(t)]=\omega t + \varphi arg [ z ( t )] = ω t + φ
L’esponenziale complesso fa uso della formula di Eulero , indicato nel prossimo paragrafo.
e j θ = cos ( θ ) + j sin ( θ ) ∀ θ ∈ R e^{j\theta} = \cos (\theta)+j \sin(\theta)\quad \forall \theta \in \R e j θ = cos ( θ ) + j sin ( θ ) ∀ θ ∈ R Questa formula è utile per i casi illustrati di seguito:
sin ( θ ) = e j θ − e − j θ 2 j cos ( θ ) = e j θ + e − j θ 2 ⟹ e j θ + e − j θ = 2 cos ( θ ) \eq{
\sin(\theta)&=\frac{e^{j\theta}-e^{-j\theta}}{2j}\\ \\
\cos(\theta)&=\frac{e^{j\theta}+e^{-j\theta}}{2}
\implies e^{j\theta}+e^{-j\theta}=2\cos(\theta)
} sin ( θ ) cos ( θ ) = 2 j e j θ − e − j θ = 2 e j θ + e − j θ ⟹ e j θ + e − j θ = 2 cos ( θ )