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I cambi di coordinate sono utilizzati per semplificare calcoli e ragionamenti. Il sistema di coordinate più standard è certamente quello cartesiano, dove un punto è identificato dal valore che assume in ogni dimensione.
Dato un punto ( x , y ) (x,\,y) ( x , y ) f : R → R f:\R \to \R f : R → R ( x , y ) (x,\,y) ( x , y ) f ( x ) = y f(x)=y f ( x ) = y
raggio ρ \rho ρ rho ) che lo congiunge al centro degli assi (o al centro di riferimento)
angolo θ \theta θ theta ) formato con il semiasse delle ascisse positive (orizzontale) in senso antiorario
{ x = ρ cos ( θ ) y = ρ sin ( θ ) \begin{cases}
x = \rho \cos(\theta) \\
y = \rho \sin(\theta)
\end{cases} { x = ρ cos ( θ ) y = ρ sin ( θ ) Il passaggio inverso è più difficile, soprattutto per quanto riguarda determinare il valore di θ \theta θ
ρ = x 2 + y 2 θ = { π / 2 x = 0 , y > 0 3 π / 2 x = 0 , y < 0 non definito x = 0 , y = 0 arctan ( y x ) x > 0 , y ≥ 0 arctan ( y x ) + 2 π x > 0 , y < 0 arctan ( y x ) + π x < 0 , y ∈ R \begin{equation*}
\begin{split}
\rho = & \sqrt{x^2 +y^2} \\ \\
\theta = &
\begin{cases}
\pi/2 & \quad x=0,\,y>0 \\ \\
3\pi/2 & \quad x=0,\,y<0 \\ \\
\text{non definito} & \quad x=0,\,y=0 \\ \\
\arctan(\frac{y}{x}) & \quad x>0,\,y\geq0 \\ \\
\arctan(\frac{y}{x}) + 2\pi & \quad x>0,\,y<0 \\ \\
\arctan(\frac{y}{x}) + \pi & \quad x<0,\,y\in \R
\end{cases}
\end{split}
\end{equation*} ρ = θ = x 2 + y 2 ⎩ ⎨ ⎧ π /2 3 π /2 non definito arctan ( x y ) arctan ( x y ) + 2 π arctan ( x y ) + π x = 0 , y > 0 x = 0 , y < 0 x = 0 , y = 0 x > 0 , y ≥ 0 x > 0 , y < 0 x < 0 , y ∈ R