Cambi di coordinate

Jan 2, 2023

Introduzione

I cambi di coordinate sono utilizzati per semplificare calcoli e ragionamenti. Il sistema di coordinate più standard è certamente quello cartesiano, dove un punto è identificato dal valore che assume in ogni dimensione.

Coordinate Polari

Dato un punto $(x,\,y)$ nel piano. $f:\R \to \R$ ha coordinate cartesiane $(x,\,y)$ nella forma $f(x)=y$ . Le coordinate polari definiscono un punto in base a:

raggio $\rho$ (rho) che lo congiunge al centro degli assi (o al centro di riferimento)
angolo $\theta$ (theta) formato con il semiasse delle ascisse positive (orizzontale) in senso antiorario

\begin{cases} x = \rho \cos(\theta) \\ y = \rho \sin(\theta) \end{cases}

Il passaggio inverso è più difficile, soprattutto per quanto riguarda determinare il valore di $\theta$ :

\begin{equation*} \begin{split} \rho = & \sqrt{x^2 +y^2} \\ \\ \theta = & \sis{ \pi/2 & \quad x=0,\,y>0 \\ \\ 3\pi/2 & \quad x=0,\,y<0 \\ \\ \text{non definito} & \quad x=0,\,y=0 \\ \\ \arctan\left(\frac{y}{x}\right) & \quad x>0,\,y\geq0 \\ \\ \arctan\left(\frac{y}{x}\right) + 2\pi & \quad x>0,\,y<0 \\ \\ \arctan\left(\frac{y}{x}\right) + \pi & \quad x<0,\,y\in \R } \end{split} \end{equation*}