Equazioni di Maxwell

Questo articolo riporta e riassume le quattro Equazioni di Maxwell. Queste equazioni descrivono le leggi fondamentali che governano l’interazione elettromagnetica.

Si suggerisce di approfondire i temi affrontati, nei relativi articoli:

È utile essere a conoscenza dei seguenti costrutti teorici:

Prima Equazione di Maxwell

La prima equazione di Maxwell è data dal Teorema di Gauss per il campo elettrico.

Dato un campo elettrico E‾\overline{E} su una superficie S. Sia n^\widehat{n} la normale alla superficie. Le cariche contenute nella superficie sono dette qencq_{\text{enc}} (enclosed, racchiuse). ϵ0\epsilon_0 è la costante dielettrica del vuoto.

Il flusso del campo elettrico E sulla superficie S si può scrivere come:

ϕE=∯SE‾⋅n^  dS=qencϵ0\phi_E = \oiint_S \overline{E} \cdot \widehat{n} \; dS = \frac{q_{\text{enc}}}{\epsilon_0}

Sia V il volume racchiuso dalla superficie S. Ogni elemento infinitesimo dV contiene carica dq. La densità volumetrica di carica ρ\rho descrive la carica infinitesima dq:

qenc=∰Vdq=∭Vρ⋅dVq_{\text{enc}} = \oiiint_V dq = \iiint_V \rho \cdot dV

Il Teorema di Gauss-Green (o Teorema della Divergenza) lega l’integrale del flusso di E sulla superficie S all’integrale della divergenza del vettore E sul volume racchiuso dalla superficie. Il flusso del campo elettrico può essere riscritto come:

ϕE=∭V∇‾⋅E‾  dV=∭Vρϵ0  dV\phi_E = \iiint_{V} \overline{\nabla} \cdot \overline{E} \; dV = \iiint_V \frac{\rho}{\epsilon_0} \; dV

Poiché le funzioni integrande hanno lo stesso dominio di integrazione, si possono uguagliare.

La prima equazione di Maxwell esplicita il teorema di Gauss in forma differenziale:

∇‾⋅E‾=ρϵ0\boxed{\overline{\nabla} \cdot \overline{E} = \frac{\rho}{\epsilon_0}}

Il campo vettoriale di carica elettrica è generato dalla presenza di cariche.

Grazie al teorema della divergenza, si può scrivere:

∭V∇‾⋅E‾  dV=∯SE‾⋅n^  dS\iiint_{V} \overline{\nabla} \cdot \overline{E} \; dV = \oiint_{S} \overline{E} \cdot \widehat{n} \; dS

Dalla formula precedente, si ricava la forma integrale della prima equazione di Maxwell:

Φ(E‾)=∯SE‾⋅n^  dS=∭Vρϵ0  dV\boxed{\Phi\Big(\overline{E}\Big) = \oiint_{S} \overline{E} \cdot \widehat{n} \; dS = \iiint_V \frac{\rho}{\epsilon_0} \; dV}

All’interno di un dielettrico, il campo elettrico è indebolito dalla presenza di cariche di polarizzazione che assorbono parte delle linee del campo. La carica racchiusa qencq_{enc} è data da cariche libere e da cariche di polarizzazione.

Nella Prima Equazione di Maxwell, ovvero nel teorema di Gauss in forma differenziale, la densità volumetrica di carica ρ\rho è intensa come totale: somma tra cariche nette (libere) con densità ρfree\rho_{free} e cariche di polarizzazione con densità ρpol\rho_{pol}.

∇‾⋅E‾=ρϵ0=ρfree+ρpolϵ0\overline{\nabla}\cdot\overline{E} = \frac{\rho}{\epsilon_0} = \frac{\rho_{free} + \rho_{pol}}{\epsilon_0}

All’interno di determinato volume di dielettrico, si può definire il momento di dipolo medio degli atomi (o molecole). Il vettore polarizzazione elettrica P‾\overline{P} rappresenta il momento di dipolo medio per unità di volume.

ρpol=−∇‾⋅P‾\rho_{pol} = - \overline{\nabla}\cdot\overline{P}

La divergenza del campo elettrico si può riscrivere come:

∇‾⋅E‾=ρfree−∇‾⋅P‾ϵ0\overline{\nabla}\cdot\overline{E} =\frac{\rho_{free}-\overline{\nabla}\cdot\overline{P}}{\epsilon_0}

Si definisce il vettore spostamento elettrico D‾\overline{D} (o induzione elettrica o, in inglese, electric displacement field), il quale descrive l’effetto delle cariche di polarizzazione sulle configurazioni spaziali e temporali del campo elettromagnetico.

D‾=ϵ0⋅E‾+P‾\overline{D} = \epsilon_0 \cdot\overline{E} + \overline{P}

Grazie alle due formule soprastanti, la densità volumetrica di carica libera si può esprimere come:

ρfree=ϵ0⋅∇‾⋅E‾+∇‾⋅P‾=∇‾(ϵ0⋅E‾+P‾)=∇‾⋅D‾\begin{equation} \begin{split} \rho_{free} &= \epsilon_0 \cdot \overline{\nabla}\cdot\overline{E} + \overline{\nabla}\cdot\overline{P}\\ &= \overline{\nabla} \Big(\epsilon_0 \cdot\overline{E} + \overline{P} \Big)\\ &= \overline{\nabla} \cdot \overline{D} \end{split} \end{equation}

Si può scrivere il teorema di Gauss per il campo D nella sua forma differenziale, ovvero la Prima Equazione di Maxwell all’interno del dielettrico:

ρfree=∇‾⋅D‾\boxed{\rho_{free} = \overline{\nabla} \cdot \overline{D}}

La sua forma integrale è:

∯SD‾⋅n^  dS=qencfree\boxed{\oiint_S \overline{D} \cdot \widehat{n} \; dS = q_{enc}^{free}}

Seconda Equazione di Maxwell

La seconda equazione di Maxwell è data dal Teorema di Gauss per il campo magnetico.

Il flusso magnetico attraverso qualsiasi superficie chiusa è nullo.

∇‾⋅B‾=0\boxed{\overline{\nabla}\cdot\overline{B} = 0}

Le linee del campo magnetico formano sempre circuiti chiusi.

Il flusso del campo magnetico attraverso qualsiasi superficie chiusa è nullo poiché le linee del campo magnetico non hanno né sorgenti né pozzi. La legge appena descritta evidenzia l’assenza dei cosiddetti monopoli magnetici (solo Nord o solo Sud) e garantisce che la divergenza del campo magnetico sia sempre zero.

Sia S la superficie chiusa attraversata dal campo magnetico si può scrivere la forma integrale della seconda equazione di Maxwell:

Φ(B‾)=∯SB‾⋅n^  dS=0\boxed{\Phi\Big(\overline{B}\Big) = \oiint_{S} \overline{B} \cdot \widehat{n} \; dS = 0}

Terza Equazione di Maxwell

La terza equazione di Maxwell è data dalla Legge di Faraday Neumann Lenz.

Il prodotto vettoriale tra il gradiente (l’operatore DEL) e il campo vettoriale E‾\overline{E} è detto rotore. Il rotore esprime una rotazione infinitesima del campo vettoriale, associando un vettore ad ogni punto dello spazio.

∇‾×E‾=∣x^y^z^∂∂x∂∂y∂∂zExEyEz∣=(∂Ez∂y−∂Ey∂z−∂Ez∂x+∂Ex∂z∂Ey∂x−∂Ex∂y)\overline{\nabla} \times \overline{E} = \begin{vmatrix} \widehat{x} & \widehat{y} & \widehat{z}\\ \frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y}& \frac{\partial}{\partial z}\\ E_x & E_y & E_z \\ \end{vmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{\partial E_z}{\partial y} - \frac{\partial E_y}{\partial z}\\ -\frac{\partial E_z}{\partial x} + \frac{\partial E_x}{\partial z}\\ \frac{\partial E_y}{\partial x} - \frac{\partial E_x}{\partial y} \end{pmatrix}

Il rotore del campo elettrico si lega alla derivata del campo magnetico rispetto al tempo e si ottiene così la terza equazione di Maxwell:

∇‾×E‾=−∂B‾∂t\boxed{\overline{\nabla}\times\overline{E} = -\frac{\partial \overline{B}}{\partial t}}

Un campo magnetico variabile nel tempo genera il campo elettrico indotto, il quale possiede una forma circolare. Nel caso di un campo magnetico in aumento, si ha:

legge-3-B-aumenta

Se il campo magnetico fosse in diminuzione, il campo elettrico avrebbe verso opposto.

Il campo elettrico indotto è non-conservativo, le sue linee sono chiuse e la sua circuitazione è non-nulla. Si ricava dunque anche la forma integrale della terza legge di Maxwell:

Γ(E‾)=∮E‾⋅dl‾=−ddt∬SB‾⋅n^  dS=−ddt⋅Φ(B‾)\Gamma \Big(\overline{E} \Big) = \oint \overline{E} \cdot d\overline{l} = -\frac{d }{dt} \iint_{S} \overline{B} \cdot \widehat{n} \; dS = -\frac{d }{dt} \cdot \Phi\Big(\overline{B}\Big)

La superficie S è aperta altrimenti, per la seconda equazione di Maxwell, il suo flusso sarebbe nullo. Tralasciando i termini centrali, che sono utili al lettore ma tolgono leggibilità, si può scrivere:

Γ(E‾)=−dΦ(B‾)dt\boxed{\Gamma \Big(\overline{E} \Big) = -\frac{d \Phi (\overline{B})}{dt}}

Il campo elettrico, in condizioni statiche, è detto campo elettrostatico. Tale campo è prodotto da cariche elettriche ed è conservativo. Le linee del campo non sono chiuse è la circuitazione è nulla. Quando scritto si può esplicitare con due formule equivalenti:

∇‾×E‾=0Γ(E‾)=0\overline{\nabla}\times\overline{E} = 0 \\ \Gamma \Big(\overline{E} \Big) = 0

Quarta Equazione di Maxwell

La quarta equazione di Maxwell è data dal teorema di Ampere nella sua forma differenziale. Sotto un certo punto di vista, equivale al teorema di Gauss per il campo elettrico.

La Legge di Ampere Maxwell è data da due termini distinti: il primo concepito da Ampere nel 1826 ed il secondo aggiunto da Maxwell nel 1861.

A differenza di quanto fatto fino ad ora, è più utile partire dalla forma integrale di questa equazione. La circuitazione del campo magnetico lungo la generica curva γ\gamma è uguale al prodotto tra la costante di permeabilità magnetica del vuoto μ0\mu_0 e la somma delle cosiddette correnti concatenate, ovvero le correnti circondate dalla curva gamma. Le correnti concatenate sono indicate con iγi_\gamma.

Γγ(B‾)=∮γB‾⋅dl‾=μ0⋅iγ(4.1)\tag{4.1} \Gamma_{\gamma} \Big(\overline{B} \Big) = \oint_{\gamma} \overline{B} \cdot d \overline{l} = \mu_0 \cdot i_\gamma

Ampere afferma che una corrente elettrica genera un campo magnetico, così come illustrato dalla legge di Biot Savart. Ampere esprime il campo magnetico in termini di circuitazione.

Maxwell aggiunge che anche un campo elettrico variabile (nel tempo) può generare un campo magnetico. Un campo elettrico in aumento produce un campo magnetico circolare con verso antiorario.

legge-4-E-aumenta

Se il campo elettrico fosse invece in diminuzione, il campo magnetico sarebbe circolare ma con verso orario.

Maxwell prende la (4.1) e vi somma il prodotto tra la costante di permeabilità magnetica del vuoto, la costante dielettrica nel vuoto e la variazione del flusso del campo elettrico. Questa è la quarta equazione di Maxwell in forma integrale:

Γγ(B‾)=μ0iγ+μ0ϵ0dΦ(E‾)dt\boxed{\Gamma_{\gamma} \Big(\overline{B} \Big) = \mu_0 i_\gamma + \mu_0 \epsilon_0 \frac{d \Phi (\overline{E})}{dt}}

Poiché non è possibile sommare grandezze non-omogenee, il prodotto tra la costante dielettrica nel vuoto e la variazione del flusso del campo elettrico deve necessariamente essere misurato in ampere (come la corrente concatenata sulla curva gamma). Si introduce quindi la corrente di spostamento, chiamata anche displacement current:

is=ϵ0dΦ(E‾)dti_s = \epsilon_0 \frac{d \Phi (\overline{E})}{dt}

La isi_s non è una corrente in senso stretto: non è un movimento di cariche elettriche. È una grandezza fisica che presenta le stesse proprietà di una corrente in termine di generazione di campi magnetici.

Γγ(B‾)=μ0(iγ+is)\boxed{\Gamma_{\gamma} \Big(\overline{B} \Big) = \mu_0 \Big( i_\gamma + i_s \Big)}

Per quanto riguarda la forma differenziale della quarta equazione di Maxwell, bisogna riprendere il teorema di Ampere in forma differenziale.

La circuitazione di un vettore effettuata su una curva chiusa gamma è uguale al flusso del rotore del campo attraverso qualsiasi superficie S che abbia la suddetta curva come contorno. La porzione S racchiusa dalla curva γ\gamma è chiamata SγS_{\gamma}.

Γγ(B‾)=∬Sγ(∇‾×B‾)⋅n^  dS=μ0⋅iγ(4.2)\tag{4.2} \Gamma_{\gamma} \Big(\overline{B} \Big) = \iint_{S_{\gamma}} \Big(\overline{\nabla}\times\overline{B} \Big)\cdot \widehat{n}\; dS = \mu_0 \cdot i_{\gamma}

Se si prende una curva chiusa gamma che comprende sia l’interno che l’esterno di un filo attraversato da corrente, allora la corrente concatenata iγi_{\gamma} è tutta la corrente che scorre nel filo:

i=iγ=∬SγJ‾⋅n^  dS(4.3)\tag{4.3} i = i_{\gamma} = \iint_{S_{\gamma}} \overline{J} \cdot \widehat{n}\; dS

Data la densità superficiale di corrente J‾\overline{J}:

J‾=iS\overline{J} = \frac{i}{S}

Uguagliando la (4.2) e la (4.3) si ottiene:

Γγ(B‾)=∬Sγ(∇‾×B‾)⋅n^  dS=μ0⋅iγ=∬Sγμ0J‾⋅n^  dS\tag{4.4} \begin{equation*} \begin{split} \Gamma_{\gamma} \Big(\overline{B} \Big) &= \iint_{S_{\gamma}} \Big(\overline{\nabla}\times\overline{B} \Big)\cdot \widehat{n}\; dS =\\ \mu_0 \cdot i_{\gamma} &= \iint_{S_{\gamma}} \mu_0 \overline{J} \cdot \widehat{n}\; dS \end{split} \end{equation*}

Si ottiene la forma differenziale del Teorema di Ampere, il quale rappresenta la quarta equazione di Maxwell in condizione di stazionarietà.

∇‾×B‾=μ0J‾\overline{\nabla}\times\overline{B} = \mu_0 \overline{J}

È necessario, come fatto sopra, aggiungere l’addendo studiato da Maxwell diversi anni dopo. La variazione del flusso del campo elettrico, in forma differenziale, si può esprimere come la variazione del campo magnetico stesso. In questo modo si ottiene la quarta legge di Maxwell in forma differenziale:

∇‾×B‾=μ0J‾+μ0ϵ0∂E‾∂t\boxed{\overline{\nabla}\times\overline{B} = \mu_0 \overline{J} + \mu_0 \epsilon_0 \frac{\partial \overline{E}}{\partial t}}