Teorema di Gauss

Flusso di un campo vettoriale

Preso un campo vettoriale A‾\overline{A}, come ad esempio la velocità di un fluido (aria o acqua). Si definisce il flusso infinitesimo dϕd\phi come la quantità scalare che misura quante linee del campo attraversano la superficie infinitesima dS.

dϕ=A‾⋅n^  dS(1.1)\tag{1.1} d\phi = \overline{A} \cdot \widehat{n} \;dS

La normale (versore normale n^\widehat{n}) non è unicamente definita per superfici aperte. Con l’aggettivo normale si intende che il vettore è perpendicolare al piano, ovvero che forma un angolo di inclinazione di 90° Il flusso infinitesimo assume valori diversi (dϕ⋛0d\phi \gtreqless 0) in base all’orientamento della normale della superficie infinitesima dS.

dϕ>0d\phi > 0dϕ=0d\phi = 0dϕ<0d\phi < 0
maggioreugualeminore

Si prenda, ad esempio, un canale all’interno del quale scorre un fluido il cui profilo di velocità è descritto dalla formula di Poiseuille (profilo parabolico). Si vuole valutare la quantità di fluido che attraversa una rete descritta dalla superficie S. La velocità del fluido è solitamente diversa da punto a punto. Per valutare la quantità del fluido che attraversa la superficie macroscopica S occorre sommare i vari contributi dϕd \phi​ integrando su tutti gli elementi di superficie dS.

La quantità di flusso del campo vettoriale A‾\overline{A} è:

Φ(A‾)=ϕA=∬surfacedϕ=∬SA‾⋅n^  dS(1.2)\tag{1.2} \Phi\Big(\overline{A}\Big) = \phi_A = \iint_{\text{surface}} d \phi = \iint_S \overline{A} \cdot \widehat{n} \;dS

Flusso di un campo vettoriale in superficie chiusa

La normale di una superficie chiusa è sempre definita come normale esterna.

Un esempio di superficie chiusa S è un sacco di patate attraverso le cui trame il fluido può passare (entrando o uscendo dalla superficie).

Il flusso è positivo se A‾\overline{A} ha verso concorde alla normale.

Per una superficie chiusa S, si può riscrivere la formula del flusso del campo vettoriale (ove è racchiusa una certa carica) utilizzando il doppio integrale sulla superficie chiusa:

Φ(A‾)=∯SA‾⋅n^  dS(1.2.bis)\tag{1.2.bis} \Phi\Big(\overline{A}\Big) = \oiint_S \overline{A} \cdot \widehat{n} \;dS

Flusso del campo elettrico per cariche puntiformi

In questo paragrafo si procede a calcolare il flusso del campo elettrico generato da una carica puntiforme attraverso una superficie sferica di raggio r, centrata sulla carica sorgente Q.

campo elettrico circonferenza

ϕE=∯SE‾⋅n^  dS==∯SE(r)  dS==E(r)∯S  dS==14πϵ0Qr2⋅4πr2==Qϵ0\tag{1.3} \begin{equation} \begin{split} \phi_E &= \oiint_S \overline{E} \cdot \widehat{n} \; dS =\\ &= \oiint_S E(r)\; dS =\\ &= E(r) \oiint_S \; dS =\\ &= \frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \frac{Q}{r^2} \cdot 4\pi r^2 =\\ &= \frac{Q}{\epsilon_0} \end{split} \end{equation}

La scelta della superficie sferica permette di calcolare facilmente il prodotto scalare E‾⋅n^\overline{E} \cdot \widehat{n} poiché il vettore E‾\overline{E} e la norma n^\widehat{n} sono, punto a punto, paralleli. Si può passare dalla prima alla seconda “riga” dell’equazione di sopra.

Sempre grazie alla scelta della superficie sferica, si può affermare che sia r che E(r)E(r) sono costanti. Ciò permette di portare E(r)E(r) fuori dal segno di integrale. Si passa dalla seconda alla terza riga dell’equazione di sopra.

Data la superficie sferica S di raggio r, si può ricavare l’area della suddetta superficie:

AS=area superficie sferica=∯S  dS=4πr2(1.4)\tag{1.4} A_S = \text{area superficie sferica} = \oiint_S \; dS = 4\pi r^2

Inoltre, grazie al teorema di Coulomb, si può scrivere:

E(r)=14πϵ0Qr2(1.5)\tag{1.5} E(r) = \frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \frac{Q}{r^2}

La (1.4) e la (1.5) ci permettono di scrivere la quarta riga della (1.3) e, semplificando, si ottiene la quinta e ultima riga.

Il flusso del campo elettrico generato da una carica puntiforme equivale a Q/ϵ0Q/\epsilon_0 per qualsiasi tipologia di superficie: grazie alle semplificazioni, si perde la dipendenza dal tipo di superficie S scelta.

Cariche Puntiformi

Il paragrafo seguente studia il Teorema di Gauss per più cariche puntiformi. Si prenda una superficie S che racchiude tre cariche Q1Q_1, Q2Q_2, Q3Q_3.

Come detto nel paragrafo precedente, il flusso del campo elettrico generato da una carica puntiforme non dipende dalla tipologia di superficie, quindi S non deve per forza essere una circonferenza.

Il principio di sovrapposizione dei campi afferma che il campo elettrico può essere descritto come la somma vettoriale del campo generato dalle singole cariche. Questo principio vale in ogni punto dello spazio e quindi anche in ogni punto P della superficie S:

E‾tot(P)=E‾1+E‾2+E‾3(2.1)\tag{2.1} \overline{E}_{tot} (P) = \overline{E}_1 + \overline{E}_2 + \overline{E}_3

Si può utilizzare la proprietà di linearità dell’operatore integrale per scrivere la seguente equazione (“propedeutica” a quella finale) del flusso del campo elettrico:

ϕE=∯SE‾⋅n^  dS==∯S(E‾1+E‾2+E‾3)⋅n^  dS==Q1ϵ0+Q2ϵ0+Q3ϵ0\tag{2.2} \begin{equation} \begin{split} \phi_E &= \oiint_S \overline{E} \cdot \widehat{n} \; dS =\\ &= \oiint_S \Big(\overline{E}_1 + \overline{E}_2 + \overline{E}_3\Big) \cdot \widehat{n} \; dS =\\ &= \frac{Q_1}{\epsilon_0} + \frac{Q_2}{\epsilon_0} + \frac{Q_3}{\epsilon_0} \end{split} \end{equation}

Il principio di sovrapposizione dei campi fa in modo che il flusso del campo elettrico generato da una moltitudine di cariche sia calcolabile come la somma algebrica del flusso generato dalle singole cariche attraverso la stessa superficie S. Nel caso in cui la carica sia positiva, il contributo al flusso sarà positivo, mentre nel caso di una carica negativa il contributo al flusso sarà negativo. Il flusso del campo E attraverso la superficie S si può scrivere come la somma delle cariche contenute nella superficie, dette qencq_{\text{enc}} (con enc che sta per enclosed, racchiuse), fratto la costante dielettrica del vuoto ϵ0\epsilon_0.

ϕE=qencϵ0(2.3)\tag{2.3} \phi_E = \frac{q_{\text{enc}}}{\epsilon_0}

Da cui si ottiene:

ϕE=∯SE‾⋅n^  dS=qencϵ0\phi_E = \oiint_S \overline{E} \cdot \widehat{n} \; dS = \frac{q_{\text{enc}}}{\epsilon_0}

Distribuzioni Continue di Carica

Questo breve paragrafo tratta il Teorema di Gauss applicato alle distribuzioni continue di carica. Preso un volume V, ogni elemento infinitesimo dV contiene carica dq. Si può usare la densità volumetrica di carica ρ\rho per descrivere la carica infinitesima dq:

dq=ρ⋅dV(3.1)\tag{3.1} dq = \rho \cdot dV

Grazie al teorema di Gauss espresso dalla (2.3), si può esplicitare la formula della carica racchiusa qencq_{\text{enc}} come l’integrale triplo sul volume V della carica infinitesima dq:

qenc=∰Vdq=∭Vρ⋅dV(3.2)\tag{3.2} q_{\text{enc}} = \oiiint_V dq = \iiint_V \rho \cdot dV

Per comodità nel fare il disegno, si sceglie un volume V a forma di cubo. L’immagine rappresenta una vista monodimensionale, dunque il cubo è rappresentato come un quadrato. I “cubetti” più piccoli rappresentano gli elementi infinitesimi dV che contengono (ognuno) una carica infinitesima dq. Attorno al volume è presente una superficie di Gauss S dalla forma arbitrariamente più circolare (non è importante la sua forma in realtà). Sulla superficie S è posto il punto P.

gauss_distrib_continue_carica

Se si considera la densità volumetrica di carica come una funzione a supporto compatto, si può modificare il dominio di integrazione della carica. Si può estendere il dominio dell’integrale sul volume racchiuso dalla superficie di Gauss. Grazie al teorema di Gauss-Green (o Teorema della Divergenza) si può legare l’integrale del flusso di E sulla superficie S all’integrale della divergenza del vettore E sul volume racchiuso dalla superficie.

ϕE=∯SE‾⋅n^  dS==∰Vρ⋅dVϵ0==∰VS∇‾⋅E‾  dV==∭VSρ⋅dVϵ0\tag{3.3} \begin{equation} \begin{split} \phi_E &= \oiint_S \overline{E} \cdot \widehat{n} \; dS =\\ &= \oiiint_{V} \frac{\rho \cdot dV}{\epsilon_0} =\\ &= \oiiint_{V_S} \overline{\nabla} \cdot \overline{E} \; dV =\\ &= \iiint_{V_S } \frac{\rho \cdot dV}{\epsilon_0} \end{split} \end{equation}

VSV_S rappresenta il volume racchiuso dalla superficie S.

Gauss e le equazioni di Maxwell

Prima equazione di Maxwell

Come anticipato nel paragrafo precedente, se si considera la densità volumetrica di carica come una funzione a supporto compatto, si può modificare il dominio di integrazione della carica. Nell’uguaglianza centrale, si utilizza questa proprietà e si integra sul volume racchiuso dalla superficie di Gauss S.

∯SE‾⋅n^  dS=∭VS∇‾⋅E‾  dV=∭VSρϵ0⋅dV(4.1)\tag{4.1} \oiint_S \overline{E} \cdot \widehat{n} \; dS = \iiint_{V_S} \overline{\nabla} \cdot \overline{E} \; dV= \iiint_{V_S} \frac{\rho}{\epsilon_0} \cdot dV

Sfruttando il Teorema di Gauss-Green (o Teorema della Divergenza) si lega l’integrale del flusso di E sulla superficie S all’integrale della divergenza del vettore E sul volume racchiuso dalla superficie. Dato VS il volume racchiuso dalla superficie S.

Per quanto riguarda la seconda uguaglianza, vista l’arbitrarietà dei domini di integrazione, è necessario che le due funzioni integrande sia uguali:

∇‾⋅E‾=ρϵ0(4.2)\tag{4.2} \overline{\nabla} \cdot \overline{E} = \frac{\rho}{\epsilon_0}

La formula (4.2) è la prima equazione di Maxwell, la quale esplicita il teorema di Gauss in forma differenziale e rappresenta in termini matematici il fatto che un campo vettoriale E‾\overline{E} sia generato dalla presenza di cariche. Si possono generare nuove linee di campo elettrico solo in presenza di una densità volumetrica di carica.

Terza equazione di Maxwell in condizioni statiche

V(P)=∫P∞E‾⋅dl‾V(P) = \int_P^{\infty} \overline{E} \cdot d\overline{l}

Integrando il campo E‾\overline{E} di una carica puntiforme, si ottiene un valore che non dipende dal percorso γ\gamma ma dai soli estremi di integrazione.

La differenza di potenziale da un punto A ad un punto B, indicata con ΔVab\Delta V_{ab}, si può scrivere come:

ΔVAB=∫A∞E‾⋅dl‾−∫B∞E‾⋅dl‾=∫ABE‾⋅dl‾\Delta V_{AB} = \int_A^{\infty} \overline{E} \cdot d\overline{l} - \int_B^{\infty} \overline{E} \cdot d\overline{l} = \int_A^B \overline{E} \cdot d\overline{l}

La differenza di potenziale da un punto A allo stesso punto A è nullo e si esprime con il seguente integrale di linea:

ΔVAA=∫AAE‾⋅dl‾=∮E‾⋅dl‾=0\Delta V_{AA} = \int_A^A \overline{E} \cdot d\overline{l} = \oint \overline{E} \cdot d\overline{l} = 0

La terza equazione di Maxwell in condizioni statiche è data dal teorema di Stokes:

∮γE‾⋅dl‾=∬Sγ(∇‾×E‾)⋅n^  dS=0\oint_{\gamma} \overline{E} \cdot d\overline{l} = \iint_{S_{\gamma}} \Big( \overline{\nabla} \times \overline{E} \Big) \cdot \widehat{n} \; dS = 0

Questo teorema lega la circuitazione (integrale di linea) di un campo vettoriale E‾\overline{E} lungo un percorso chiuso γ\gamma al flusso del rotore del campo vettoriale attraverso qualsiasi superficie S che abbia γ\gamma come contorno.

La conservatività del campo elettrico si descrive a livello matematico con due affermazioni:

  1. la circuitazione del campo elettrico è nulla
  2. la divergenza di E è nulla
∇‾×E‾=0\overline{\nabla} \times \overline{E} = 0

Il campo elettrico statico è conservativo.

Campo Elettrico di volumi notevoli

Sfera Solida Carica

Si consideri una sfera dielettrica carica di raggio R e densità volumetrica di carica costante ρ\rho.

canederlo

Si vuole calcolare il campo elettrico in un punto P a distanza r dal centro della sfera.

Il volume V di una sfera in R3\R^3 di un generico raggio R~\widetilde{R} è:

V=43πR~3V = \frac{4}{3} \pi \widetilde{R}^3

Si distinguono le due casistiche:

  1. r<Rr < R: tra la sfera rosso chiaro e quella rosso scuro
  2. r>Rr > R: fuori dalla sfera rosso chiaro

La densità volumetrica di carica si può esprimere come il rapporto tra la carica complessiva della sfera ed il suo volume:

ρ=QV=Q43πR~3\rho = \frac{Q}{V} = \frac{Q}{\frac{4}{3} \pi \widetilde{R}^3}

La carica racchiusa nella superficie di Gauss è data dalla densità volumetrica di carica per il volume racchiuso dalla superficie di Gauss. Questo volume, come fatto in precedenza, si indica con VSV_S:

qenc=ρ⋅VS=ρ⋅43πr3q_{\text{enc}} = \rho \cdot V_S = \rho \cdot \frac{4}{3} \pi r^3

Nel primo caso, ovvero per r<Rr < R, si può scrivere:

∯SE‾⋅n^  dS=qencϵ0=43πr3ρϵ0\oiint_S \overline{E} \cdot \widehat{n} \; dS = \frac{q_{\text{enc}}}{\epsilon_0} = \frac{4}{3} \pi r^3 \frac{\rho}{\epsilon_0}

La normale è parallela al campo elettrico, quindi si può scrivere:

E‾⋅n^=E(r)\overline{E} \cdot \widehat{n} = E(r)

L’integrale soprastante si può riscrivere come:

∯SE(r)dS=E(r)∯SdS=E(r)⋅4πr2\oiint_S E(r) dS = E(r) \oiint_S dS = E(r) \cdot 4 \pi r^2

Poiché l’integrale di dS equivale alla superficie della sfera di raggio r. Inoltre, il raggio r è una costante, dunque può essere portato fuori dal segno di integrale.

Il campo elettrico nella regione 1 è linearmente dipendente dal raggio r. Il teorema di Gauss permette di calcolare il modulo di E:

E(r)=ρ3ϵ0rE(r) = \frac{\rho}{3 \epsilon_0} r

Il verso del capo è dato dal versore del raggio. Ciò permette di scrivere anche la forma vettoriale del capo E, sempre in funzione del raggio:

E‾(r)=ρ3ϵ0r⋅r^\overline{E}(r) = \frac{\rho}{3 \epsilon_0} r \cdot \widehat{r}

Nel secondo caso, ovvero per r>Rr > R, si ottiene che la carica racchiusa qencq_{\text{enc}}​ è tutta la carica Q contenuta nella sfera:

∯SE‾⋅n^  dS=qencϵ0=Qϵ0  ⟹  ∯SE(r)dS=Qϵ0  ⟹  E(r)∯SdS=Qϵ0  ⟹  E(r)⋅4πr2=Qϵ0\begin{equation} \begin{split} & \oiint_S \overline{E} \cdot \widehat{n} \; dS = \frac{q_{\text{enc}}}{\epsilon_0} = \frac{Q}{\epsilon_0}\\ & \implies \oiint_S E(r) dS = \frac{Q}{\epsilon_0}\\ & \implies E(r) \oiint_S dS = \frac{Q}{\epsilon_0}\\ & \implies E(r) \cdot 4 \pi r^2 = \frac{Q}{\epsilon_0} \end{split} \end{equation}

Il campo elettrico nella regione 2 è:

E‾(r)=14πϵ0Qr2r^\overline{E} (r) = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{Q}{r^2} \widehat{r}

Il campo E nella regione 2 è indistinguibile da quello di una carica puntiforme o da quello di un palloncino carico. Come si può essere sicuri che le particelle elementari come elettroni o protoni siano assimilabili a cariche puntiformi o non siano piuttosto minuscole sfere “piene” e cariche? L’unico modo per verificarlo è quello di avvicinarsi a quello che si presume essere il raggio R della particella.

sfera-solida-grafico

Cilindro Carico

Si consideri un cilindro di lunghezza L e raggio R, caricato elettrostaticamente con una carica Q. Si vuole calcolare il campo elettrico in un punto P distante r dall’asse del cilindro.

cilindro

Si può assumere che il campo elettrico nella regione centrale del cilindro sia completamente diretto perpendicolarmente all’asse del cilindro stesso, mentre vicino ai bordi le linee del campo deviano da tale andamento. Si costruisce una superficie di Gauss S di forma cilindrica per calcolare il campo elettrico. S è lunga l e ha raggio r, inoltre è concentrica al cilindro carico. S deve rispettare i seguenti vincoli per fare in modo che il campo elettrico sia parallelo o perpendicolare alla direzione del campo:

r≪Ll≪Lr \ll L \\ l \ll L

La carica racchiusa dentro la superficie di Gauss è la carica presente nella parte del cilindro lungo L e di raggio R racchiuso dalla superficie di Gauss data dal cilindro di lunghezza l e raggio r. La carica racchiusa non è tutta la carica del cilindro, ma solo una frazione di essa, nello specifico:

qenc=Q⋅lLq_{\text{enc}} = Q \cdot \frac{l}{L}

Grazie al teorema di Gauss, il flusso del campo elettrico è:

ϕE=∯SE‾⋅n^  dS=qencϵ0=Q⋅lϵ0⋅L\phi_E = \oiint_S \overline{E} \cdot \widehat{n} \; dS = \frac{q_{\text{enc}}}{\epsilon_0} = \frac{Q \cdot l}{\epsilon_0 \cdot L}

La superficie chiusa ϕE\phi_E viene esplosa in tre superfici:

  1. SLS_L: superficie laterale, la normale è diretta come il campo elettrico nella regione centrale del cilindro
  2. B1B_1: base n° 1, la normale è parallela all’asse del cilindro
  3. B2B_2: base n° 2, la normale è parallela all’asse del cilindro (con verso opposto all’altra base)
ϕE=∬SLE‾⋅n^  dS+∬B1E‾⋅n^  dS+∬B2E‾⋅n^  dS=Q⋅lϵ0⋅L\phi_E = \iint_{S_L} \overline{E} \cdot \widehat{n} \; dS + \iint_{B_1} \overline{E} \cdot \widehat{n} \; dS + \iint_{B_2} \overline{E} \cdot \widehat{n} \; dS = \frac{Q \cdot l}{\epsilon_0 \cdot L}

I due integrali doppi aventi B1B_1 e B2B_2 come dominio, si annullano tra loro. Rimane la componente integrata sulla superficie laterale:

ϕE=∬SLE‾⋅n^  dS=∬SLE(r)dS=E(r)∬SLdS=E(r)2πrl=Q⋅lϵ0⋅L\phi_E = \iint_{S_L} \overline{E} \cdot \widehat{n} \; dS = \iint_{S_L} E(r) dS = E(r) \iint_{S_L} dS = E(r) 2 \pi r l = \frac{Q \cdot l}{\epsilon_0 \cdot L}

Il teorema di Gauss permette di calcolare il campo elettrico:

E(r)=12πϵ0LQrE(r) = \frac{1}{2 \pi \epsilon_0 L}\frac{Q}{r}

La simmetria del sistema permette di individuare molto facilmente la direzione del campo ed esprimere il suddetto campo anche in forma vettoriale:

E‾(r)=12πϵ0LQr⋅r^\overline{E}(r) = \frac{1}{2 \pi \epsilon_0 L}\frac{Q}{r} \cdot \widehat{r}

Piano Infinito Carico

Si consideri un piano infinito su cui viene depositata una densità superficiale di carica σ\sigma costante. Grazie alla proprietà della simmetria traslazionale, si può supporre che il campo elettrico sia esattamente perpendicolare al piano. Si consideri una superficie di Gauss cilindrica di altezza h, avente il proprio asse perpendicolare al piano carico. Il cilindro di Gauss è tagliato esattamente a metà dal piano: h/2h/2 si trova sopra e la restante h/2h/2 si trova sotto. Il punto P, sul quale si vuole studiare il campo elettrico E, giace sulla base superiore del cilindro: B1B_1. La base inferiore del cilindro è denominata B2B_2 mentre la superficie laterale è SLS_L​.

piano

La carica racchiusa dentro la superficie di Gauss è:

qenc=σ⋅B1q_{\text{enc}} = \sigma \cdot B_1

Grazie al teorema di Gauss, il flusso del campo elettrico è:

ϕE=∯SE‾⋅n^  dS=qencϵ0=σ⋅B1ϵ0\phi_E = \oiint_S \overline{E} \cdot \widehat{n} \; dS = \frac{q_{\text{enc}}}{\epsilon_0} = \frac{\sigma \cdot B_1}{\epsilon_0}

La superficie chiusa ϕE\phi_E viene esplosa nelle tre superfici B1B_1, B2B_2 e SLS_L.

ϕE=∬SLE‾⋅n^  dS+∬B1E‾⋅n^  dS+∬B2E‾⋅n^  dS\phi_E = \iint_{S_L} \overline{E} \cdot \widehat{n} \; dS + \iint_{B_1} \overline{E} \cdot \widehat{n} \; dS + \iint_{B_2} \overline{E} \cdot \widehat{n} \; dS

La normale alla superficie laterale del cilindro è perpendicolare al campo elettrico, dunque l’integrale doppio calcolato su SLS_L si annulla.

Le due basi sono equidistanti dal piano, dunque il modulo del campo elettrico applicato alle basi è uguale. Il verso del campo sarà invece opposto poiché le basi si trovano sopra e sotto il piano.

Il prodotto scalare tra il campo elettrico e la normale è il modulo del campo elettrico calcolato alle altezze h/2h/2 e −h/2-h/2​.

ϕE=∬B1E(h/2)  dS+∬B2E(−h/2)  dS\phi_E = \iint_{B_1} E(h/2) \; dS + \iint_{B_2} E(-h/2) \; dS

Se la base del cilindro è sufficientemente minore del lato del piano (il quale è infinito), si può assumere E costante durante l’integrale.

ϕE=E(h/2)∬B1  dS+E(h/2)∬B2=B1  dS=2E(h/2)B1\phi_E = E(h/2) \iint_{B_1} \; dS + E(h/2) \iint_{B_2=B_1} \; dS = 2 E(h/2) B_1

Infine si eguaglia il risultato ottenuto con la carica racchiusa nella superficie di Gauss. Il campo elettrico è indipendente dall’altezza del cilindro. Le linee del campo, nella regione centrale del piano, sono semirette verticali equi-spaziate tra loro.

E=σ2ϵ0E = \frac{\sigma}{2 \epsilon_0}