Introduzione
La magnetite è un materiale in grado di attrarre limatura di ferro. In un magnete si distinguono due regioni, chiamate poli: nord (N) e sud (S). La proprietà di attrarre ferro si concentra sui poli. Se si spezza in due un magnete, si otterranno due magneti aventi due poli ciascuno. Si parla infatti di dipoli magnetici. In natura, non è ancora mai stato osservato un “mono-polo”, nonostante a livello teorico potrebbe essere possibile incontrarlo.
Presi due magneti. Il polo Nord attrae il polo Sud (e viceversa). Il polo Nord respinge il polo Nord. Il polo Sud respinge il polo Sud.
I materiali magnetici perdono le proprie proprietà magnetiche al di sopra di una temperatura critica, detta temperatura di Curie.
I fenomeni elettrici e magnetici sono fortemente dipendenti gli uni dagli altri.
Nei primi anni del 1800, grazie al fisico Hans Orsted, si introdusse l’idea che le linee del campo magnetico generato da un filo percorso da corrente fossero delle circonferenze concentriche al filo stesso. L’interazione tra elettricità e magnetismo avviene in modo perpendicolare.
Preso un filo percorso da corrente. Se si pone della limatura di ferro in un piano perpendicolare al filo, questa si disporrà in circonferenze con centro il filo.
Il filo percorso da corrente produce il campo di induzione magnetica B. Questo campo è vettoriale (composto da modulo, direzione e verso) ed è associato alla presenza di correnti elettriche o magneti permanenti.
Sempre nel 1800, Ampere dimostrò che le azioni magnetiche sono frutto dell’interazione tra cariche elettriche in movimento.
Presi due fili paralleli tra loro. Se i fili sono percorsi da corrente con verso opposto, allora si respingeranno incurvandosi verso l’esterno. Se i fili sono percorsi da corrente con verso concorde, allora si attrarranno incurvandosi verso l’interno.
Seconda Legge di Laplace
La forza infinitesima che agisce su un elemento infinitesimo di filo immerso in un campo magnetico e percorso da corrente i è:
Si tratta di una legge sperimentale. La forza totale che agisce sul filo, si ottiene integrando la forza infinitesima su tutta la lunghezza del filo:
Tale forza può essere scomposta in un vettore dato dalle tre componenti cartesiane. Moltiplicando la forza per il versore di un dato asse, si ottiene la componente della forza su quel asse.
Si consideri un filo rettilineo immerso in un campo magnetico B e percorso da corrente i. La forza che agisce sul filo è:
Si può procede definendo l’unità di misura di campo magnetico: il tesla [T]. Un filo di lunghezza unitaria (1 metro), percorso da corrente continua di 1 [A] (ampere) e immerso in un campo magnetico uniforme di 1 [T] subisce una forza di Laplace di 1 [N] (newton).
Forza di Lorenz
Con la scoperta dell’esistenza dell’elettrone (1897) si osservò che i raggi catodici (elettroni, per l’appunto) erano sensibili ai campi elettrici e magnetici e si comportavano come particelle caricate negativamente.
Lorenz teorizzò che la forza che agisce sulle particelle in movimento fosse proporzionale alla carica e alla velocità della particella:
Il prodotto vettoriale denota il fatto che la forza di Lorenz agisce in modo perpendicolare rispetto alla velocità e al campo magnetico. Si ricorda che una retta è ortogonale ad un piano se incontra tale piano in un punto ed è perpendicolare a tutte le rette uscenti da questo punto e giacenti nel piano.
La forza dipende dal segno della particella. La direzione della forza (retta su cui giace la forza) è ortogonale al piano individuato dai vettori v e B (forma un angolo retto, dato per l’appunto dal prodotto vettoriale). Il verso è determinato dalla regola del prodotto vettoriale se la carica è positiva, mentre è opposto se la carica è negativa. Il verso del risultato di un prodotto vettoriale è quello di avanzamento di una vite destrorsa, che nella sua rotazione sovrappone v a B secondo un angolo minore di 180° (regola della vite).
Il lavoro compiuto dalla Forza di Lorenz in uno spostamento infinitesimo dx è nullo: la forza e la velocità sono perpendicolari tra loro. Se la forza non compie lavoro, non modifica l’energia cinetica delle particelle.
La traiettoria di una particella carica all’interno di un campo magnetico dipende dalla direzione della velocità rispetto al campo magnetico.
Il vettore velocità può essere scomposto in due componenti: una parallela ed un’altra perpendicolare al campo magnetico B.
Se la velocità è parallela al campo magnetico, la forza è nulla e la particella si muove di moto rettilineo uniforme (vedi caso 1 nello schema seguente).
Se la velocità è perpendicolare rispetto al campo magnetico, la traiettoria della particella è una circonferenza (vedi caso 2).
Se la velocità è arbitraria (caso 3), per studiare la traiettoria si devono necessariamente utilizzare le componenti e della velocità (rispetto a B).
La componente perpendicolare della velocità è l’unica affetta dalla forza di Lorenz: il moto risultate è una sovrapposizione tra un moto rettilineo (in una direzione) e un moto circolare (nell’altra direzione), ovvero un’elica.
Equivalenza tra Lorenz e Laplace
Si può dimostrare che la Seconda Legge di Laplace è la versione macroscopica della Forza di Lorenz.
Dato un filo con volume V, sezione S e lunghezza l. Sia n il numero di cariche disponibili per la conduzione per unità di volume. Il numero infinitesimo di cariche disponibili per la conduzione, all’interno del volume del filo, è:
Si consideri un pezzo di filo di lunghezza dl immerso in un campo magnetico B. Dentro al filo circola una corrente che si può attribuire al moto di cariche che si spostano ad una velocità di deriva v.
La forza totale che agisce sulla porzione di filo è data dalla somme di tutte le forze di Lorenz che agiscono sulle singole cariche che si muovono all’interno del filo:
Legge di Biot Savart
Questo capitolo tratta le sorgenti del campo magnetico grazie alla Legge di Biot Savart, anche nota come Prima Legge Elementare di Laplace.
Data la costante di permeabilità magnetica del vuoto:
Il campo magnetico infinitesimo dB generato da una porzione di filo di lunghezza dl, percorso da corrente i, posto alla distanza r:
Per calcolare il campo magnetico totale generato da un filo percorso da corrente, occorre integrare il campo infinitesimo dB su tutta la lunghezza del filo.
La legge di Biot Savart è sempre valida. Può essere usata per calcolare il campo magnetico generato da qualsiasi distribuzione di corrente.
La componente ha direzione concorde alla corrente i che scorre nel filo. Il vettore congiunge la sorgente del campo al punto P di osservazione.
La legge di Biot-Savart è universalmente valida, ma si applica solamente a fili di sezione trascurabile. Se si vuole calcolare il campo magnetico di un conduttore a sezione finita, si utilizza il metodo “divide et impera”. Si può infatti dividere un conduttore di sezione finita in molteplici conduttori di sezione infinitesima.
Filo Rettilineo Infinito
Un esempio di grande rilevanza è quello del calcolo del campo magnetico di un filo rettilineo infinito.
In primo luogo, è utile individuare un sistema di riferimento conveniente.
Il tratto di filo di lunghezza infitesimo dx equivale, in modulo, al tratto infitesimo dl:
I parametri x ed R sono:
Il raggio risulta essere:
Inoltre, grazie alla relazione che lega i due angoli, si può scrivere:
Si può scrivere x in funzione dell’angolo beta che si forma con l’origine del campo magnetico.
La derivata di x rispetto a beta è:
Il differenziale dx vale:
Il prodotto vettoriale tra il versore dell’asse x e il versore del raggio r è:
Il campo magnetico infinitesimo dB si può scrivere in funzione dell’angolo beta e del parametro R:
Il campo magnetico totale si ottiene integrando il campo magnetico infinitesimo su tutta la lunghezza del filo, ovvero:
Si ricava la Legge di Biot-Savart: la prima legge sperimentale ricavata dalla coppia di fisici che vi hanno dato il nome.
Spira Quadrata
Si consideri un circuito chiuso, ovvero una spira, costituito da un filo percorso da corrente. La spira ha forma quadrata con lato L. Si vuole calcolare il campo magnetico generato dalla spira al centro di essa. Per fare in modo che circoli corrente, la spira dovrà essere interrotta e collegata ad un generatore di differenza di potenziale V0. Dunque lo schema proposto è puramente schematico.
Si può dividere la spira in quattro porzioni di filo, per ognuno dei quali è possibile applicare la legge di Biot Savart. Ogni porzione di filo può essere vista come una porzione del filo rettilineo infinito di cui si è discusso nel paragrafo precedente.
Il campo magnetico infinitesimo sul ramo n°1 è:
L’angolo beta che si forma tra il punto P (a distanza di metà del lato della spira) e il ramo n° 1 va da un minimo di -45° () ad un massimo di 45° gradi. Il campo magnetico sul ramo, in funzione del punto P, è:
Il campo magnetico totale si può calcolare applicando il principio di sovrapposizione dei campi. I moduli e le direzioni dei campi sugli altri rami sono uguali a B1:
Spira Rotonda
Questo paragrado analizza il caso particoalre di una spira rotonda. Risulta utile scegliere un vettore R che punta verso il centro della circonferenza: in questo modo il vettore r si può scrivere come:
Il contributo infinitesmo al campo magnetico è perpendicolare al piano A, il quale è formato dal vettore e dal vettore del raggio . Il punto P è posto sull’asse z
Il versore del raggio può essere riscritto come il rapporto tra il vettore raggio e il suo modulo:
Il campo magnetico infinitesimo è:
Il prodotto vettoriale si può evitare di calcolare perché il suo integrale è nullo:
Il campo magnetico totale è una circuitazione sul filo:
Questo risultato è applicabile solo lunga l’asse della spira.
Teorema di Ampere
La circuitazione del campo magnetico B lungo una generica curva che racchiude un filo percorso da corrente è:
Se la curva racchiude più fili percorsi da corrente, bisogna definire la direzione positiva della corrente applicando la regola della mano destra (vite destrorsa). La “vite” si avvita nella direzione di percorrenza della curva.
Il Teorema di Ampere afferma che la circuitazione del campo magnetico lungo la generica curva è uguale al prodotto tra la costante di permeabilità magnetica del vuoto e la somma delle cosiddette correnti concatenate, ovvero le correnti circondate dalla curva gamma. Le correnti concatenate sono indicate con .
Il Teorema di Ampere è dato dalla formula seguente:
Le corrente si devono considerare secondo la direzione in cui viene idealmente percorsa la curva.
Il teorema di Ampere, nella sua forma differenziale, rappresenta una delle quattro equazioni di Maxwell. Sotto un certo punto di vista, equivale al teorema di Gauss per il campo elettrico.
Conduttore Cilindrico
Si consideri un conduttore cilindrico percorso da corrente, come nella figura sopra. Si ipotizzi che la corrente i scorra su tutta la sezione del conduttore con densità superficiale di corrente J costante. Si vuole studiare l’intensità del campo magnetico B ad una distanza generica r dall’asse di simmetria del sistema.
Il conduttore ha simmetria assiale e la corrente scorre uniformemente all’interno di esso, quindi anche i ha simmetria assiale. Le linee del campo sono delle circonferenze concentriche al filo. Si può suddividere il problema in due regioni: per r minore ad R (raggio del conduttore) e per r maggiore di R.
Si consideri un punto P, interno al conduttore di raggio R. Si può costruire una curva gamma che passa per il punto P e sia tangente al campo punto a punto. Questa curva deve necessariamente essere una linea del campo B. La direzione di percorrenza della curva, la quale è determinata in modo arbitrario, è la direzione del vettore infinitesimo .
Si può applicare il teorema di Ampere:
Poiché non rappresenta tutta la corrente che circola nel conduttore, ma solo la porzione di corrente che circola nella curva gamma, è necessario effettuare una proporzione:
Si può riscrivere la circuitazione come segue:
Si può manipolare il membro di sinistra eseguendo il prodotto scalare. La curva gamma è una linea del campo di B, il quale è parallelo al contributo infinitesimo dl: il loro prodotto scalare equivale al prodotto dei moduli. Poiché l’integrale è effettuato su un luogo di punto a distanza costante, anche il modulo di B (il quale dipende dal raggio) è costante e si può portare fuori dal segno di integrale.
Eguagliando le espressioni ottenute, si ottiene il modulo del campo magnetico in funzione del raggio della curva gamma:
Si consideri un punto P, esterno al conduttore di raggio R. Si può costruire (come sopra) una curva gamma che passa per il punto P e sia tangente al campo punto a punto. Questa curva deve necessariamente essere una linea del campo B. La direzione di percorrenza della curva, la quale è determinata in modo arbitrario, è la direzione del vettore infinitesimo .
A differenza del caso precedente, la corrente concatenata equivale a tutta la corrente che circola nel conduttore:
Si può manipolare il membro di sinistra eseguendo il prodotto scalare, come nel caso precedente:
Eguagliando le espressioni ottenute, si ottiene il modulo del campo magnetico in funzione del raggio della curva gamma:
Il campo magnetico generato dal conduttore cilindrico nella regione n°2 è indistinguibile da quello di un filo rettilineo infinito.
Il problema del conduttore cilindrico può essere risolto anche mediante la legge di Biot Savart. In tal caso, è opportuno ridurre il conduttore cilindrico in una serie di fili paralleli, i quali sono percorsi da una frazione infinitesima della corrente i. Si prende in considerazione uno solo dei fili e si segue l’approccio utilizzato per risolvere il problema del filo infinito: si suddivide il singolo filo in tanti elementi di lunghezza dl percorsi dalla corrente infinitesima di. Il vettore r rappresenta la distanza tra dl (ovvero la sorgente del campo dB) e il punto di osservazione P. Integrando su tutta la lunghezza del filo, si ottiene il campo infinitesimo che genera il singolo filo. Ripetendo questo approccio per tutti i fili che costituiscono il conduttore cilindrico, si ottiene il campo magnetico totale.
Questo metodo non è praticabile dal punto di vista analitico nonostante sia quello seguito nelle simulazione computerizzate del campo magnetico, in quanto si adatta a qualsiasi geometria del conduttore.
Tramite il Teorema di Ampere, non si sarebbe potuto calcolare il campo magnetico generato da un conduttore a sezione quadrata, mentre con la Legge di Biot Savart questo è assolutamente possibile. Il calcolo non avviene in modo analitico, ma numerico.
Solenoide
Il solenoide è costituito da un insieme compatto di spire, solitamente di forma circolare, collegate in serie tra loro. Si può dimostrare sperimentalmente che il campo magnetico interno al solenoide è quasi sempre costante. Le linee del campo sono parallele tra loro e sono sempre linee continue. Al di fuori del solenoide, le linee del campo divergono con una rapidità tale per cui si può assumere un campo magnetico nullo.
La rappresentazione tridimensionale del solenoide non è di grande rilevanza pratica. Si preferisce una rappresentazione bidimensionale in cui il piano di riferimento interseca la sezione centrale del solenoide. I punti del conduttore con corrente uscente dal piano di sezione vengono indicati con un punto cerchiato. I punti del conduttore con corrente entrante nel piano di sezione sono indicati con il simbolo di una croce cerchiata.
In prossimità di ciascun filo, il campo magnetico viene dominato dal filo stesso e le linee del campo si approssimano a circonferenze (si veda il caso dell’esperimento di Orsted).
Dato un solenoide di lunghezza L, dotato di N spire. Si vuole calcolare il campo B nel punto P interno al solenoide. Operando qualche approssimazione, si possiede la conoscenza totale del campo magnetico B: è uniforme al centro del solenoide (le linee sono parallele al campo) e nullo fuori dal solenoide.
Si può costruire una curva gamma in modo che passi per il punto di osservazione P e abbia solamente tratti paralleli o perpendicolari al campo magnetico B.
Si può suddividere idealmente (“esplodere”, in gergo) la curva nelle sei regioni mostrate in figura. Si definisce un verso arbitrario di percorrenza che definisce la direzione del contributo infinitesimo dl.
L’unico contributo non nullo è quello della regione n° 4. Gli integrali sulle regioni n° 1, n° 2 e n° 6 si annullano perché si assume che il campo esterno del solenoide sia nullo. Gli integrali sulle regioni n°3 e n°5 si annullano perché il campo all’interno del solenoide è perpendicolare alla curva gamma.
A seconda del verso arbitrario di percorrenza della curva, il contributo dl è parallelo o antiparallelo al campo B. Il teorema di Ampere afferma che la circuitazione del campo magnetico B lungo la curva gamma è uguale al prodotto tra (costante di permeabilità magnetica del vuoto) e la corrente concatenata dalla curva chiusa gamma.
Inoltre, l’integrale del contributo dl sulla regione n° 4 equivale alla larghezza l della curva gamma:
Il numero di spire racchiuse dalla curva dipende dalla larghezza l della curva. Per calcolare il numero di spire, bisogna effettuare la seguente proporzione:
La corrente concatenata dalla curva gamma equivale al prodotto tra il numero di spire racchiuse e la corrente che circola in una spira:
L’equazione s.1 può essere riscritta come:
Dato n il numero di spire per unità di lunghezza del solenoide. Si può procedere eguagliando le equazioni s.2 ed s.3 e porle in funzione di B:
Il teorema di Ampere consente di ricavare il modulo del campo magnetico nei casi in cui la simmetria del sistema permetta di costruire una curva gamma “su misura”. Le linee del campo devono necessariamente avere una forma nota.
Forma Differenziale del Teorema di Ampere
La forma differenziale del teorema di Ampere rappresenta una delle quattro equazioni di Maxwell nella condizione stazionaria. Dato il teorema di Stokes:
La circuitazione di un vettore effettuata su una curva chiusa è uguale al flusso del rotore del campo attraverso qualsiasi superficie che abbia la suddetta curva come contorno.
La corrente elettrica circola all’interno della sezione del filo (e non al suo esterno). Se la curva chiusa è al di fuori della sezione del filo, la corrente concatenata è tutta la corrente che scorre nel filo:
Questa uguaglianza è possibile se si ipotizza che J (densità superficiale di corrente) sia una funzione a supporto compatto: si può allargare il dominio di integrazione.
La densità superficiale di corrente è una ottima candidata ad essere una funzione a supporto compatto: il suo integrale rimane costante anche integrando al di fuori del dominio in cui la funzione è diversa da zero.
Le equazioni di Maxwell sono di fondamentale importanza e sono le seguenti.
Il teorema di Gauss in forma differenziale: le sorgenti del campo elettrico (in condizioni statiche) sono le cariche.
Il campo elettrico, in condizioni statiche, è conservativo:
Teorema di Gauss in forma differenziale per il campo magnetico:
Teorema di Ampere in forma differenziale:
Il campo magnetico B non è conservativo.