Conduzione Elettrica

May 2, 2024

Introduzione

conduzione 1

II moto degli elettroni liberi in un conduttore in equilibrio è disordinato. Gli elettroni hanno velocità dell’ordine dei $10^6$ metri al secondo. La velocità vettoriale media è nulla. Lo stato di equilibrio elettrostatico è dato da: campo elettrostatico all’interno (del conduttore) nullo e potenziale elettrostatico uniforme.

Si supponga di caricare elettrostaticamente una bacchetta di materiale isolante e di conferire parte di tale carica ad un estremo di un conduttore. Per un istante di tempo, il potenziale V₁ risulta superiore al potenziale V₂ all’altro estremo del conduttore.

La differenza di potenziale che si instaura istantaneamente tra gli estremi della bacchetta fa si che le cariche si muovano all’interno di essa sotto l’azione del campo elettrico. Questa situazione è detta transitorio.

A seguito del transitorio, si ottiene la situazione di equilibrio elettrostatico: le cariche sono disposte in modo da rendere il potenziale costante in tutti i punti del conduttore e il campo elettrico nullo.

In assenza di campo elettrico, le cariche sono soggette ad un moto caotico indotto dalla temperatura. In presenza di una differenza di potenziale ai capi di un conduttore, il moto di deriva si sovrappone al modo caotico.

Si consideri la situazione in cui un dispositivo esterno, chiamato generatore, si comporta da pompa di carica: preleva cariche al potenziale V₂ e le incrementa ad un potenziale (maggiore) V₁.

Ogni carica immessa all’estremo n°1 del conduttore scorrere verso la regione n°2 a potenziale più basso. Il generatore compie lavoro per spostare le cariche. Il lavoro può avvenire in uno dei seguenti modi:

reazioni elettrochimiche (batterie alcaline),
lavoro meccanico (dinamo o alternatori),
campi magnetici variabili nel tempo.

La corrente elettrica è il flusso ordinato di cariche dai punti a potenziale più alto (V₁) ai punti a potenziale più basso (V₂).

conduzione 2

Dato un conduttore di lunghezza l attraversato da un campo elettrico E, si consideri una sezione S del conduttore. Il vettore $\overline{l}$ rappresenta la lunghezza del conduttore, a cui vengono aggiunge le informazioni di direzione e verso per caratterizzare tale conduttore a livello spaziale (spazio euclideo tridimensionale). Il contributo infinitesimo alla lunghezza del conduttore è $d\overline{l}$ il quale, se integrato su tutta la lunghezza del conduttore, fornisce la lunghezza totale $\overline{l}$ .

Il numero di cariche che attraversa la sezione per unità di tempo è proporzionale alla corrente elettrica. La differenza di potenziale tra il capo n°1 e il capo n°2 del conduttore si indica con $\Delta V$ ed è diversa da zero fintanto che il campo elettrico all’interno del conduttore è anch’esso diverso da zero.

\overline{E} \neq 0 \implies \Delta V \neq 0

In particolare, si può scrivere:

\Delta V = V_1 - V_2 = \int_{\boxed{1}}^{\boxed{2}} \overline{E} \cdot d\overline{l}

In un conduttore in equilibrio elettrostatico, il campo elettrico è nullo.

Intensità di Corrente

Per introdurre il concetto di intensità di corrente, è utile illustrare prima un caso particolare e poi la formula generale.

Caso Particolare

caso particolare 1

Le cariche q si muovono alla velocità di deriva $\overline{v}_d$ , all’interno del conduttore di sezione S, sotto l’azione del campo elettrico. Al tempo iniziale $t=0$ , le cariche osservate si trovano sulla sezione A. Dopo un istante di tempo infinitesimo dt, le cariche saranno spostate di una quantità $dx = v \cdot dt$ e si troveranno sulla sezione B (sempre all’interno del conduttore).

Si può calcolare la quantità di cariche che sono transitate nel tempo dt attraverso la sezione A e che si trovano nel volume verde tra A e B del conduttore.

Sia $\eta$ il numero di cariche disponibili alla conduzione per unità di volume. Il volume evidenziato in verde tra le sezioni A e B è:

V_{\text{verde}} = S \cdot v \cdot dt \; \rm \Big[m^3 \Big]

La quantità di cariche che si trovano nel volume verde è:

dN = \eta \cdot V_{\text{verde}}

Si può calcolare la carica dQ che attraversa la sezione A nell’unità di tempo dt:

\begin{equation*} \begin{split} dQ &= q \cdot dN =\\ &= q \cdot \eta \cdot V_{\text{verde}}=\\ &= q \cdot \eta \cdot S \cdot v_d \cdot dt=\\ &= J \cdot S \cdot dt \end{split} \end{equation*}

La quale porta alla definizione di J come densità superficiale di corrente:

J = q \cdot \eta \cdot v_d =\frac{dQ}{dt\cdot S}

Dalla definizione di J si può ricavare l’intensità di corrente:

\begin{equation*} \begin{split} i &= J \cdot S =\\ &= \frac{dQ}{dt} =\\ &= q \cdot \eta \cdot v_d \cdot S \end{split} \end{equation*}

L’unità di misura dell’intensità di corrente è l’ampere e si indica con la lettera A maiuscola, ovvero coulomb al secondo.

i \; \rm [A] = \bigg[\frac{C}{sec}\bigg]

L’unità di misura della densità superficiale di corrente è ampere su metri quadri:

J \; \rm \bigg[\frac{C}{m^2 \cdot sec} \bigg] = \bigg[\frac{A}{m^2 } \bigg]

Il numero di cariche disponibili alla conduzione per unità di volume è:

\eta = \frac{i}{q \cdot v_d \cdot S} \; \rm \bigg[\frac{1}{m^3} \bigg]

Formula Generale

Le formule illustrare sopra si basano sulla fantasiosa ipotesi che tutte le cariche abbiano la stessa velocità di deriva $\overline{v}_d$ (drift speed) e che tale vettore sia perpendicolare alle sezioni A e B.

Velocità Media di Deriva

In condizioni più realistiche, ogni vettore $\overline{v}_d$ associato ad una singola carica q, può avere direzione e intensità diversa. Se cambia la direzione, il vettore non è più perpendicolare alle sezioni di conduttore che attraversa e quindi non forma più un angolo retto (di 90°) con la superficie S. Dato un conduttore cilindrico di raggio r, sezione S e lunghezza l. La sezione ed il volume del conduttore si possono definire come:

S = \pi r^2 \implies V_{cond} = S \cdot l = \pi r^2 \cdot l \; \rm \Big[m^3\Big]

N.B. Si pone un pedice alla lettera V per non confonderla con una differenza di potenziale.

Si può definire il numero puro N che rappresenta il numero totale di cariche presenti nel conduttore:

N = \eta \cdot V_{cond}

Le N cariche possiedono ognuna una diversa velocità di deriva. Risulta utile definire la quantità scalare velocità media di deriva delle cariche (mean drift speed) come il valore medio delle velocità di deriva di tutte le cariche nel conduttore:

\langle\overline{v}_d\rangle = \frac{1}{N} \sum_{k=1}^N \overline{v}_{d,k}

con $\overline{v}_{d,k}$ che rappresenta la velocità di deriva della k-esima carica.

caso particolare 2

Si definisce il vettore J in funzione della velocità media di deriva delle cariche:

\overline{J} = \eta \cdot q \cdot \langle\overline{v}_d\rangle

Sia $\widehat{n}$ la normale alla superficie infinitesima dS, l’intensità di corrente è data dalla somma di tutti i contributi infinitesimi al flusso:

i = \iint_{S} \overline{J} \cdot \widehat{n} \; dS

Principio di Conservazione della Carica

caso particolare 3

Preso il volume compreso tra le due sezioni evidenziate, per studiare la quantità di carica che vi entra e vi esce è opportuno considerare il flusso di corrente attraverso la superficie di contorno.

Il flusso è una quantità scalare positiva quando le linee del campo sono concordi alla normale $\widehat{n}$ , mentre è negativo quando le linee del campo sono discordi rispetto ad $\widehat{n}$ . Il campo di cui si vuole calcolare il flusso è J e la superficie di riferimento è S (evidenziata in verde). Il flusso del vettore J rappresenta la quantità di carica che attraversa la superficie. Il flusso è positivo se J, e di conseguenza anche la velocità di deriva delle cariche, è concorde ad $\widehat{n}$ . Tale comportamento si verifica sulla sezione B. Il flusso è negativo se J è discorde rispetto ad $\widehat{n}$ , come avviene nella sezione A.

La legge di conservazione della carica è:

\oiint_S \overline{J} \cdot \widehat{n} \; dS = - \frac{d q_{enc}}{dt}

Se il flusso di J è complessivamente positivo, si hanno più cariche che stanno uscendo dalla superficie S rispetto a quelle che stanno entrando. Il flusso di J equivale alla variazione temporale della carica racchiusa nel volume tra A e B, però con segno meno davanti. Se il flusso di J è negativo, sta entrando più carica di quella che sta uscendo: la carica racchiusa aumenta.

Sulla legge di conservazione della carica si possono effettuare i seguenti passaggi:

applicare il teorema di Gauss-Green (sulla divergenza),
riscrive la carica racchiusa come l’integrale della densità volumetrica di carica,
spostare il simbolo di derivata dentro all’integrale assumendo che S non vari nel tempo.

\begin{equation} \begin{split} \oiint_S \overline{J} \cdot \widehat{n} \; dS &= - \frac{d q_{enc}}{dt}\\ \oiiint_{V_S} \Big( \overline{\nabla}\cdot\overline{J} \Big) \; dV &= -\frac{d}{dt}\oiiint_{V_S} \rho \; dV\\ &= \oiiint_{V_S} \bigg(-\frac{\partial \rho}{\partial t} \bigg)\; dV \end{split} \end{equation}

Si ottiene l’equazione di continuità della corrente elettrica:

\overline{\nabla}\cdot\overline{J} + \frac{\partial \rho}{\partial t} = 0

Tale espressione indica in modo dinamico la conservazione della carica elettrica in condizione stazionarie. La divergenza di J deve essere nulla.

Legge di Kirchhoff

La Prima Legge di Kirchhoff, ovvero la Legge dei Nodi, afferma che la somma algebrica delle correnti entranti in un nodo è nulla. Tale legge esprime la legge di conservazione della carica in regime sinusoidale.

All’interno di un nodo non si può accumulare carica, dunque:

\frac{\partial \rho}{\partial t} = 0 \implies \overline{\nabla}\cdot\overline{J} = 0

Ciò implica che la divergenza di J deve essere nulla. Se si lega la divergenza di J al flusso attraverso la superficie S, risulta immediato che la somma dei flussi entranti ed uscenti debba essere uguale a zero.

\overline{\nabla}\cdot\overline{J} = 0 \implies \bigg(\frac{\partial}{\partial x}\bigg) J_x + \bigg(\frac{\partial}{\partial y}\bigg) J_y + \bigg(\frac{\partial}{\partial z}\bigg) J_z = 0

Leggi di Ohm

Prima Legge di Ohm

Questa è una formula sperimentale che descrive la legge di proporzionalità tra la differenza di potenziale ai capi di un conduttore e l’intensità di corrente che scorre all’interno del conduttore stesso.

Si definisce la resistenza elettrica come il rapporto tra la differenza di potenziale e l’intensità di corrente e si misura in $\Omega$ (Ohm), ovvero volt su ampere:

R = \frac{\Delta V}{I} \; \rm \bigg[\frac{V}{A}\bigg] = [\Omega]

Il passaggio di corrente elettrica in un conduttore provoca un surriscaldamento del conduttore stesso. Il conduttore riscaldato è soggetto ad una maggiore resistenza elettrica. Misurando sperimentalmente il rapporto tra $\Delta V$ ed I, si noteranno delle deviazioni dalla linearità per correnti molto elevate.

Seconda Legge di Ohm

La resistività elettrica, detta (resistenza elettrica specifica) si indica con la lettera $\rho$ (rho). Si tratta della resistenza caratteristica di un conduttore avente lunghezza unitaria (1 m) e sezione unitaria (1 metro quadrato). Tale parametro dipende dalla temperatura e dalle proprietà del conduttore. L’unità di misura della resistività è $[\Omega \cdot m]$ . I buoni conduttori hanno valori bassi di $\rho$ , mentre i buoni isolanti hanno valori alti di $\rho$ .

Dato un conduttore di lunghezza L e sezione S, la resistenza elettrica è data da:

R = \rho \cdot \frac{L}{S}

Resistività di Strato

In alcuni processi tecnologici, quali la realizzazione di circuiti stampati o di layer di metallizzazione dei circuiti integrati, il conduttore e lo spessore dei conduttori è costante in tutto il circuito. Le piste di un circuito stampato possono variare in larghezza e lunghezza, ma il materiale e il suo spessore rimangono costanti.

Dati i seguenti parametri legati al conduttore:

t: spessore,
L: lunghezza,
w: larghezza

Data la resistività di strato:

\rho_{\text{sheet}} = \frac{\rho}{t}

Allora si può scrivere:

R = \rho \cdot \frac{L}{S} = \rho \cdot \frac{L}{w \cdot t} = \rho_{\text{sheet}} \cdot \frac{L}{w}

Dipendenza della resistenza dalla temperatura

Se non è possibile trascurare la variazione di resistività con la temperatura, si può prendere il primo termine dello sviluppo in serie di Taylor attorno al punto $T_0$ . Dati i seguenti parametri:

$\alpha$ : coefficiente termico della resistività $\rm [K^{-1}]$
$T_0$ : temperatura di riferimento $\rm [K]$
$\rho_0$ : resistività misurata alla temperatura di riferimento $\rm [\Omega \cdot m]$
T: temperatura a cui si vuole calcolare la resistività $\rm [K]$

La formula è:

\rho = \rho_0 \bigg( 1 + \alpha \Big(T - T_0\Big) \bigg)

Alcuni materiali, detti NTC (Negative Temperature Coefficient), hanno coefficiente $\alpha$ negativo. Questi materiali presentano una forte dipendenza tra resistenza e temperatura.

Modello di Drude

Il modello di Drude si applica a problemi di conduzione elettrica nei metalli. Si consideri un conduttore cilindrico di sezione S costante e lunghezza L. Ai capi di tale conduttore viene applicata una differenza di potenziale costante $V_0$ tramite un alimentatore collegato in serie ad un interruttore.

drude 1

Si può supporre che il campo elettrico sia diverso da zero.

\Delta V = \int_{A}^{B} \overline{E} \cdot d\overline{l} = V_0 = E \cdot L \implies E = \frac{V_0}{L}

L’implicazione vale sotto l’ipotesi che il campo elettrico sia costante in tutto il conduttore.

La forza che agisce sulle cariche, ovvero sugli elettroni e presenti all’interno del conduttore, è direttamente proporzionale al campo elettrico:

F_q = e \cdot E

Si omette il simbolo di vettore poiché direzione e verso sono gli stessi del conduttore che si sta considerando.

La forza può anche essere intesa anche come massa $m_e$ (dell’elettrone) moltiplicata per l’accelerazione a dell’elettrone stesso:

F_q = m_e \cdot a

Si può scrivere:

F_q = e \cdot E = \frac{e \cdot V_0}{L} = m_e \cdot a

La forza è costante nel tempo. Si può applicare la 2° legge di Newton per calcolare l’accelerazione che subiscono le cariche:

a = \frac{e \cdot V_0}{m_e \cdot L}

Questa accelerazione caratterizza un moto uniformemente accelerato. Assumendo che al tempo $t_0 = 0^-$ la velocità delle cariche sia nulla, la legge oraria è data da:

v(t) = a t

Poiché:

t_0 = 0^- \implies \langle v\rangle = 0 \implies V_0 = 0

Ricordando la definizione dei seguenti parametri:

carica elementare dell’elettrone: $e = 1.6 \cdot 10^{-19}\; \rm [C]$
densità superficiale di corrente: $J = n \cdot e \cdot v(t)$
intensità di corrente: $i=J\cdot S$

i = J\cdot S = n \cdot e \cdot v(t)\cdot S

Si può prendere la legge oraria e moltiplicare da entrambe le parti per $n \cdot e \cdot S$ e si ottiene:

n \cdot e \cdot S \cdot v(t) = \frac{e \cdot V_0}{m_e \cdot L}\cdot n \cdot e \cdot S \implies i = \frac{n \cdot e^2 \cdot S \cdot V_0}{m_e \cdot L}

Questo risultato sperimentale sembra contrastare la legge di Ohm.

Quando un modello sperimentale giunge a formule che non sono riscontrate nelle misure sperimentali, si è di fronte ad un pesante errore concettuale. Il moto delle cariche in un conduttore è stato modellato come se fossero “cariche libere” che si muovono di moto uniformemente accelerato (linea tratteggiata in viola, nell’immagine). Il moto delle cariche è però “caotico” e il moto di deriva vi si sovrappone. Nel loro moto, gli elettroni subiscono continue interazioni con gli ioni: degli urti. Tra un urto e il successivo, il moto è uniformemente accelerato e la traiettoria rettilinea. La traiettoria complessiva di ciascun elettrone è costituita da una successione di segmenti rettilinei, con direzione e lunghezza variabili. Ad ogni tempo caratteristico $\tau$ , si ipotizza che avvenga un urto con uno ione del reticolo.

Si può rappresentare il profilo di velocità di deriva delle cariche, in funzione del tempo:

Drude in funzione del tempo

Si può riscrivere la formula della corrente sotto l’ipotesi per cui la velocità di deriva non sia funzione del tempo, ma equivalga alla velocità media espressa nel grafico sopra.

v(t) = v_{avg} = \frac{v_{max}}{2} = \frac{a \cdot \tau}{2}

La velocità massima equivale alla velocità che raggiungono le cariche accelerate dopo un tempo $\tau$ (e prima di un urto).

i = n \cdot e \cdot v(t)\cdot S = n \cdot e \cdot \frac{a \cdot \tau}{2}\cdot S

Come visto nel paragrafo precedente, l’accelerazione equivale a:

a = \frac{e \cdot V_0}{m_e \cdot L}

Esplicitando sia l’accelerazione che i parametri geometrici, la corrente assume infinite questa forma:

i = \frac{n \cdot e^2 \cdot V_0 \cdot \tau}{2m_e}\frac{S}{L}

La formula della resistenza elettrica può essere scritta secondo la 1° legge di Ohm (a sinistra), oppure anche grazie alla 2° legge di Ohm (a destra). La resistenza è il rapporto tra differenza di potenziale dell’alimentatore e corrente che circola nel conduttore:

R = \frac{V_0}{i} = \rho \cdot \frac{L}{S}

Si procede con le dovute sostituzioni: si “ribaltano” le frazioni che costituiscono la corrente e si elide il potenziale $V_0$ .

R = \frac{2m_e}{n \cdot e^2 \cdot \tau}\frac{L}{S}

In questo modo si può esplicitare la resistività del conduttore:

\rho = \frac{2m_e}{n \cdot e^2 \cdot \tau} \; \rm [\Omega \cdot m]

Il modello di Drude permette di dare un’interpretazione microscopica al concetto di resistività, che altrimenti sarebbe rimasta solo una costante fornita a priori. Maggiore è il numero $\eta$ di cariche disponibili per la conduzione (per unità di volume) e minore è la resistività. Inoltre se, per effetto dell’agitazione termica, aumenta la frequenza di collisione delle cariche, allora aumenta la resistività e diminuisce il tempo $\tau$ tra una collisione e la successiva.

I materiali NTC accennati a seguito del coefficiente termico della resistività $\alpha$ sono molto spesso semiconduttori. Si può ipotizzare che nei materiali NTC l’aumento di temperatura provochi un forte incremento delle cariche disponibili per la conduzione. Nonostante il tempo $\tau$ diminuisca, l’incremento dei portatori di carica è dominante e provoca una complessiva riduzione della resistività.