Campo Elettrico nel Dielettrico

Apr 26, 2024

Introduzione

In un conduttore, il fenomeno dell’induzione elettrostatica provoca una ridistribuzione delle cariche libere in modo che, all’equilibrio elettrostatico, il campo elettrico sia nulla in ogni punto del conduttore.

In un materiale isolante, le cariche più esterne della nube elettronica formano legami chimici con gli atomi adiacenti e non hanno energia sufficiente per spostarsi all’interno del materiale. Le cariche risentano ugualmente del campo elettrico esterno. In un dielettrico, il numero di cariche per unità di volume è paragonabile a quello di un conduttore. Le cariche in un dielettrico non sono disponibili per la conduzione. La forza di cui risentono le cariche positive (nuclei degli atomi) è diretta in modo concorde al campo elettrico $\overline{E}_{ext}$ , mentre la forza che agisce sulle cariche negative ha verso opposto. La forza di origine elettrostatica $\overline{F}_e = q \cdot E$ che agisce sui nuclei non ne provoca alcuno spostamento. La forza che agisce sugli elettroni che costituiscono le nubi elettroniche, provoca una elongazione delle stesse nella direzione opposta al campo elettrico esterno.

Si interpreta l’elongazione delle nubi elettroniche come la formazione di dipoli indotti. I dipoli indotti sono una conseguenza diretta della presenza del campo elettrico $\overline{E}_{ext}$ ed esistono solo se il campo all’interno del materiale non è nullo. Si rapprese un dipolo indotto con il vettore di momento di dipolo $\overline{p}$ . I dielettrici costituiti da molecole che possiedono un momento di dipolo proprio subiscono un ulteriore fenomeno che è l’orientamento dei dipoli nella direzione del campo elettrico esterno.

Campo Elettrico Uniforme

Il caso più semplice in cui studiare il campo elettrico all’interno dei dielettrici è quello in cui un campo elettrico uniforme attraversa una lastra di materiale dielettrico. Questa situazione corrisponde al caso realistico di un materiale dielettrico inserito nello spazio tra le armature di un condensatore a facce piane parallele.

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II campo elettrico attraversa il materiale dielettrico ed elonga le nubi elettroniche degli atomi (e molecole) che attraversa formando dei dipoli indotti. Si effettua un ingrandimento molto accurato di una porzione del dielettrico.

Tutti gli atomi (o molecole) possono costituire piccoli dipoli indotti. Tali dipoli saranno più intensi all’incrementare del campo elettrico all’interno del materiale. Si consideri un piccolo volume V interno al dielettrico. Se tale volume è largo abbastanza da contenere una quantità significativa di atomi, la carica in esso contenuta è nulla. A prescindere dall’elongazione delle nubi elettroniche, la carica totale di un dipolo è nulla e di conseguenza V conterrà tante cariche positive quante cariche negative. Questa sorta di equilibrio non è rispettato in corrispondenza della superficie di separazione tra il dielettrico e l’aria. Sulla superficie superiore del dielettrico, i dipoli indotti espongono tutti la propria carica positiva. Sulla superficie inferiore, i dipoli indotti, espongono tutti la propria carica negativa. La polarizzazione forma una densità superficiale di carica di polarizzazione $\sigma_{pol}$ .

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La carica di polarizzazione $Q_{pol}$ , che si forma nella zona di interfaccia tra il dielettrico e l’aria, ha:

segno negativo sulla superficie inferiore (affacciata all’armatura positiva),
segno positivo sulla superficie superiore (affacciata all’armatura negativa).

Una parte delle linee del campo, le quali sono emesse dalle cariche presenti sull’armatura positiva del condensatore, vengono intercettate dalla carica negativa di polarizzazione. La conseguenza è che il campo elettrico, all’interno del materiale, risulta più debole di quello che esterno. Le cariche positive di polarizzazione, le quali si trovano sulla superficie esterna, generano a loro volta delle linee del campo che ristabiliscono il campo elettrico originale. Queste linee del campo vengono assorbite dalle cariche negative presenti sull’armatura superiore del condensatore.

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Il campo elettrico interno al dielettrico è inferiore al valore che si avrebbe nello stesso punto se non ci fosse il dielettrico. Bisogna introdurre una distinzione tra cariche. Per il campo elettrico, le cariche sono indistinguibili. Per un osservatore esterno, è utile distinguere i due casi:

cariche libere: distribuite sulla superficie delle armature,
cariche di polarizzazione: date dell’elongazione delle nubi elettroniche.

Per calcolare il valore del campo elettrico in un punto P interno al materiale, si utilizza il teorema di Gauss. La superficie di Gauss (in arancione, nella figura sopra) racchiude sia cariche libere positive che cariche di polarizzazione negative. La carica totale racchiusa è inferiore a quella che si avrà nel caso di aria.

Polarizzazione Uniforme

Si consideri il caso in cui un campo elettrico sta attraversando il dielettrico in modo non perpendicolare alla superficie. Sia $\theta$ l’angolo formato dal campo elettrico $\overline{E}$ con la normale $\widehat{n}$ nella zona di interfaccia tra il dielettrico e l’aria.

carica di polarizzazione

Nella superficie n° 1, la carica di polarizzazione presente sulla superficie S è data da:

\sigma_{pol} \cdot S \tag{1}

Tale carica di polarizzazione è dovuta alla presenza di dipoli indotti situati sotto la superficie di separazione tra il dielettrico e l’aria. Si considerino un singolo strato di dipoli indotti, come in figura n° 2, che affacciano alla superficie S la loro carica positiva. Si può effettuare un ingrandimento allo scopo di stimare la quantità di carica di polarizzazione presente sulla superficie.

Si può indicare con n il numero di dipoli per unità di volume:

n = \frac{\text{\# dipoli}}{\text{volume}}

Il numero di dipoli che si affacciano sulla superficie S è:

\text{\# dipoli} = n \cdot \Delta V = n \cdot \underbrace{d \cdot\cos(\theta)\cdot S}_{\text{volume cilindro}}

Se si moltiplica il valore ottenuto per la carica q di ogni dipolo, ovvero il rapporto tra momento di dipolo e distanza tra le cariche, si ottiene la carica che i dipoli conferiscono alla superficie S:

Q_S = n \cdot q \cdot d \cdot \cos(\theta) \cdot S

La densità superficiale di carica di polarizzazione $\sigma_{pol}$ è data dal rapporto tra la carica di polarizzazione posta sulla superficie e la superficie stessa:

\sigma_{pol} = \frac{Q_S}{S} = n \cdot q \cdot d \cdot \cos(\theta) \tag{s.1}

Questa formula può essere semplificata ricordando la definizione di momento di dipolo:

\overline{p} = q \overline{d} \tag{p.1}

A cui però bisogna aggiungere alcune precisazioni.

In un solido, la formula p.1 (soprastante) si riferisce al momento di dipolo medio degli atomi (o molecole) in un determinato volume di dielettrico.

Si definisce il vettore polarizzazione elettrica:

\overline{P} = n \cdot q \cdot \overline{d} \tag{p.2}

Tale vettore rappresenta il momento di dipolo medio per unità di volume.

Si può riscrivere la s.1 come segue:

\sigma_{pol} = P \cdot \cos(\theta) = \overline{P} \cdot \widehat{n} \tag{s.2}

Dato il significato che assume l’angolo $\theta$ , si può affermare che il prodotto $P \cdot \cos(\theta)$ equivale al prodotto scalare tra il vettore di polarizzazione elettrica per un vettore unitario (ovvero un versore, indicato con il cappello) che forma un angolo $\theta$ con il campo $\overline{P}$ e di conseguenza anche con il campo $\overline{E}$ . Tale versore è la normale alla superficie del dielettrico, ovvero $\widehat{n}$ .

Inoltre, nel modello presentato, l’elongazione delle nubi elettroniche avviene nella direzione del campo elettrico E. Il vettore di polarizzazione elettrica ha la stessa direzione del vettore del campo elettrico.

Questo paragrafo ottiene un’interpretazione microscopica dell’origine della carica di polarizzazione. Risulta però evidente che il campo di polarizzazione P debba dipendere dal campo elettrico E.

Campo Elettrico Non Uniforme

Densità Volumetrica di Carica di Polarizzazione

Il campo elettrico può deformare le nubi elettroniche degli atomi (che costituiscono il dielettrico) ma non può conferire carica al dielettrico. La somma delle cariche di polarizzazione presenti nel dielettrico $q_{tot.}^{pol}$ deve essere nulla. Tali cariche possono essere presenti:

sulla superficie del dielettrico: cariche superficiali di polarizzazione
all’interno del volume: cariche volumetriche di polarizzazione

Definiti i seguenti parametri:

$S_{diel}$ : superficie del dielettrico,
$V_{diel}$ : volume del dielettrico,
$\sigma_{pol}$ : densità superficiale di carica di polarizzazione $\rm [C/m^2]$ ,
$\rho_{pol}$ : densità volumetrica di carica di polarizzazione $\rm [C/m^3]$ ,
$q_{tot.}^{pol}$ : somma delle cariche di polarizzazione presenti nel dielettrico.

Si può formulare:

q_{tot.}^{pol} = \sum \sigma_{pol} \cdot S_{diel} + \rho_{pol} \cdot V_{diel} = 0

\implies \oiint_{S_{diel}} \sigma_{pol} \cdot dS + \oiiint_{V_{diel}} \rho_{pol} \cdot dV = 0

Per esplicitare il valore della densità volumetrica di carica di polarizzazione, nell’espressione soprastante, si può sostituire $\sigma_{pol}$ con $\overline{P} \cdot \widehat{n}$ .

\begin{equation} \begin{split} & \oiint_{S_{diel}}\Big(\overline{P}\cdot\widehat{n}\Big)dS+\oiiint_{V_{diel}}\rho_{pol}\cdot dV=0\\ & \oiiint_{V_{diel}} \Big(\overline{\nabla}\cdot\overline{P}\Big)dV + \oiiint_{V_{diel}}\rho_{pol}\cdot dV=0 \end{split} \end{equation}

Si applica il teorema di Gauss (sulla divergenza), il quale lega il flusso del vettore $\overline{P}$ attraverso la superficie chiusa $S_{diel}$ all’integrale sulla divergenza del campo $\overline{P}$ sul volume $V_{diel}$ racchiuso dalla superficie (il dielettrico). Per fare in modo che le due espressioni sommate si annullino, è necessario che la somma delle funzioni integrande sia nulla:

\implies \overline{\nabla}\cdot\overline{P} + \rho_{pol} = 0 \implies \rho_{pol} = - \overline{\nabla}\cdot\overline{P}

La densità superficiale di carica di polarizzazione $\sigma_{pol}$ è sempre presente nell’interfaccia tra il dielettrico e l’aria (o tra un dielettrico ed un altro dielettrico).

La densità volumetrica di carica di polarizzazione $\rho_{pol}$ è presente nei casi in cui il campo elettrico è disuniforme: se il campo E fosse costante, allora lo sarebbe anche P e la sua divergenza sarebbe nulla.

Campo Vettoriale di Spostamento Elettrico

Il campo elettrico è indebolito, all’interno di un dielettrico, dalla presenza di cariche di polarizzazione che assorbono parte delle linee del campo. Il teorema di Gauss è anch’esso affetto dalla presenza delle cariche di polarizzazione: la carica racchiusa $q_{enc}$ è data da cariche libere e da cariche di polarizzazione.

Se si scrive la 1° equazione di Maxwell, ovvero il teorema di Gauss in forma differenziale, la densità volumetrica di carica è intensa come quella totale: cariche nette e di polarizzazione.

\overline{\nabla}\cdot\overline{E} = \frac{\rho_{tot.}}{\epsilon_0} = \frac{\rho_{lib} + \rho_{pol}}{\epsilon_0}

Si può sostituire $\rho_{pol}$ con il valore esplicitato nel paragrafo di sopra e cercare di ottenere una espressione che dipenda solo dalle cariche libere:

\begin{equation} \begin{split} \overline{\nabla}\cdot\overline{E}&=\frac{\rho_{lib}-\overline{\nabla}\cdot\overline{P}}{\epsilon_0}\\ \implies \rho_{lib} &= \epsilon_0 \cdot \overline{\nabla}\cdot\overline{E} + \overline{\nabla}\cdot\overline{P}\\ \implies \rho_{lib} &= \overline{\nabla} \Big(\epsilon_0 \cdot\overline{E} + \overline{P} \Big)\\ &= \overline{\nabla} \cdot \overline{D} \end{split} \end{equation}

Si definisce il vettore spostamento elettrico $\overline{D}$ (o induzione elettrica). Questo vettore è una generalizzazione del campo elettrico di Maxwell che descrive l’effetto delle cariche di polarizzazione sulle configurazioni spaziali e temporali del campo elettromagnetico.

Le cariche libere sono una quantità fisica che si può controllare conferendo la carica desiderata ai condensatori (o ai conduttori). Le cariche di polarizzazione sono una conseguenza della formazione dei dipoli indotti a causa del campo elettrico presente nel dielettrico. A differenza delle cariche libere, non si ha modo di controllare le cariche di polarizzazione.

Grazie al vettore di spostamento elettrico, si ha un’equazione che dipende unicamente dalla carica libera (che si può controllare) e ciò fornisce un ottimo punto di partenza per calcolare il campo elettrico all’interno di un dielettrico.

\overline{D} = \epsilon_0 \cdot\overline{E} + \overline{P} \tag{d.1}

Occorre esplicitare il vettore $\overline{P}$ in funzione di $\overline{E}$ , ovvero in modo diverso da quanto fatto fino a questo momento.

Polarizzazione Elettrica in funzione del Campo Elettrico

Se E è relativamente piccolo, si può utilizzare lo sviluppo in serie di Taylor e prendere solo il termine lineare. La polarizzazione elettrica è proporzionale al campo elettrico mediante la costante di suscettività elettrica $\chi$ (chi) che deve essere determinata sperimentalmente a seconda del materiale che compone il dielettrico.

\overline{P} = \epsilon_0 \cdot \chi \cdot\overline{E} \tag{p.3}

Questa di sopra è una relazione vettoriale: se E cambia direzione, lo farà di conseguenza anche P.

Un cristallo è una formazione solida avente una disposizione periodica e ordinata di atomi ai vertici di una struttura reticolare (reticolo cristallino). In un cristallo, la distanza media tra gli atomi non dipende dalla direzione.

La relazione p.3 si può scrivere solo se si assume che il materiale sia:

isotropo: le proprietà elettriche del materiale non dipendono dalla direzione di applicazione del campo elettrico,
lineare: la dipendenza del campo di polarizzazione da E è lineare
omogeneo: le proprietà elettriche di polarizzazione non variano da punto a punto

Dato che P è legato alla elongazione delle nubi elettroniche, se si aumenta in modo indefinito il campo elettrico, si otterranno fenomeni di saturazione.

Si può riscrivere la d.1 come:

\overline{D} = \epsilon_0 \cdot\overline{E} + \epsilon_0 \cdot \chi \cdot \overline{E} = \epsilon_0 \cdot (1+\chi) \cdot \overline{E} \tag{d.2}

Si definisce la costante dielettrica relativa:

\epsilon_r = 1+\chi

Tale costante varia dal tipo di materiale, dalla temperatura e dalla pressione del sistema.

Ipotizzando di studiare un materiale isotropo, lineare ed omogeneo, si può scrivere una funzione che permette di calcolare il campo E conoscendo D. Si può riscrivere la d.2 come:

\overline{D} = \epsilon_0 \epsilon_r \overline{E} \tag{d.3}

Se il materiale non soddisfasse le suddette ipotesi (e fosse, ad esempio, anisotropo) allora la costante dielettrica $\epsilon = \epsilon_0 \cdot \epsilon_r$ sarebbe una matrice multidimensionale:

\begin{bmatrix} D_x \\ D_y \\ D_z \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \epsilon_{xx} & \epsilon_{xy} & \epsilon_{xz} \\ \epsilon_{yx} & \epsilon_{yy} & \epsilon_{yz} \\ \epsilon_{zx} & \epsilon_{zy} & \epsilon_{zz} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} E_x \\ E_y \\ E_z \end{bmatrix}

Il teorema di Gauss per il campo D, nella sua forma differenziale, è il punto di arrivo nel percorso che individua un campo vettoriale indipendente dalle cariche di polarizzazione.

\overline{\nabla}\cdot\overline{D} = \rho_{lib}

Il teorema di Gauss nella sua forma integrale è utile nel calcolo del campo elettrico E in presenza di distribuzioni di carica aventi una particolare simmetria.

\oiint_S \overline{D} \cdot \widehat{n} \; dS = q_{enc}^{lib}

Dielettrici Non Lineari

L’ottica è la branca della fisica che studia il comportamento e le proprietà della luce, la quale è costituita da onde elettromagnetiche. Nella sotto-branca dell’ottica lineare, l’intensità della luce influenza direttamente la polarizzazione del mezzo. L’ottica non lineare implica invece una relazione non lineare tra il campo elettrico E e la polarizzazione del mezzo. Talvolta, le onde elettromagnetiche ad alta intensità possono modificare la costante dielettrica del mezzo generando nuove frequenze e originando importanti fenomeni ottici.

Si può rappresentare il campo elettrico della luce incidente sul mezzo con una funzione sinusoidale di frequenza $\omega$ e ampiezza $E_0$ :

E = E_0 \cdot \sin(\omega t)

Il campo di polarizzazione, nel caso di un mezzo lineare, è:

P = \epsilon_0 \chi E_0 \sin(\omega t)

Nel caso in cui l’ampiezza del campo elettrico incidente fosse molto elevata, si forzerebbe una sovra-elongazione delle nubi elettroniche (rispetto al caso di un campo E debole). La proporzionalità tra forza ed elongazione è rispettata per piccole oscillazioni. Esiste un modo per rappresentare matematicamente la situazione in cui la forza supera un certo valore critico e sia l’elongazione che la polarizzazione non risultano più proporzionali alla forza. Si aggiunge un termine quadratico al termine lineare (già espresso nella p.3) per modellare mezzi non lineari:

P = \epsilon_0 \chi (1+\alpha E)E_0 = \epsilon_0 \chi E_0 \sin(\omega t) + \epsilon_0 \chi \alpha E_0^2 \sin^2(\omega t)

La luce incidente è caratterizzata da un colore legato alla frequenza di oscillazione $\omega$ . La radiazione luminosa che esce da un mezzo trasmissivo ha due componenti. La radiazione in uscita dal materiale è composta dalla componente alla lunghezza d’onda della luce incidente e da una componente con lunghezza d’onda dimezzata. Se un laser infrarosso, il quale produce un’onda elettromagnetica intensa, illumina un mezzo non lineare, la radiazione in uscita avrà sia una componente infrarossa che una componente visibile.