Campo Elettrico nel Dielettrico

Apr 26, 2024

Introduzione

In un conduttore, il fenomeno dell’induzione elettrostatica provoca una ridistribuzione delle cariche libere. In questo modo, in condizioni di equilibrio elettrostatico, il campo elettrico è nullo in ogni punto del conduttore.

Un materiale isolante è detto dielettrico. In un dielettrico, le cariche più esterne della nube elettronica formano legami chimici con gli atomi adiacenti e non hanno energia sufficiente per spostarsi all’interno del materiale. Le cariche risentono ugualmente del campo elettrico esterno.

In un dielettrico, il numero di cariche per unità di volume è paragonabile a quello di un conduttore. Le cariche in un dielettrico non sono disponibili per la conduzione. La forza di cui risentono le cariche positive (nuclei degli atomi) è diretta in modo concorde al campo elettrico $\overline{E}_{ext}$ , mentre la forza che agisce sulle cariche negative ha verso opposto. La forza di origine elettrostatica $\overline{F}_e = q \cdot E$ che agisce sui nuclei non ne provoca alcuno spostamento. La forza che agisce sugli elettroni che costituiscono le nubi elettroniche, provoca una elongazione di tali nubi nella direzione opposta al campo elettrico esterno.

intro-1

Si interpreta l’elongazione delle nubi elettroniche come la formazione di dipoli indotti. I dipoli indotti sono una conseguenza diretta della presenza del campo elettrico $\overline{E}_{ext}$ ed esistono solo se il campo all’interno del materiale non è nullo. Si rappresenta un dipolo indotto con il vettore di momento di dipolo $\overline{p}$ . I dielettrici costituiti da molecole che possiedono un proprio momento di dipolo, subiscono un ulteriore fenomeno: l’orientamento dei dipoli nella direzione del campo elettrico esterno.

Campo Elettrico Uniforme

Il caso più semplice in cui studiare il campo elettrico all’interno dei dielettrici è quello in cui un campo elettrico uniforme attraversa una lastra di materiale dielettrico. Questa situazione corrisponde al caso realistico di un materiale dielettrico inserito nello spazio tra le armature di un condensatore a facce piane parallele.

uniforme-1

II campo elettrico attraversa il materiale dielettrico ed elonga le nubi elettroniche degli atomi (e molecole) che attraversa formando dei dipoli indotti.

Tutti gli atomi (o molecole) possono costituire piccoli dipoli indotti. Tali dipoli saranno più intensi all’incrementare del campo elettrico all’interno del materiale. Si consideri un piccolo volume V interno al dielettrico. Se tale volume è largo abbastanza da contenere una quantità significativa di atomi, la carica in esso contenuta è nulla. A prescindere dall’elongazione delle nubi elettroniche, la carica totale di un dipolo è nulla e di conseguenza V conterrà tante cariche positive quante cariche negative. Questa sorta di equilibrio non è rispettato in corrispondenza della superficie di separazione tra il dielettrico e l’aria.

Sulla superficie superiore del dielettrico, i dipoli indotti espongono tutti la propria carica positiva. Sulla superficie inferiore, i dipoli indotti, espongono tutti la propria carica negativa. La polarizzazione forma una densità superficiale di carica di polarizzazione chiamata $\sigma_{pol}$ .

L’immagine seguente propone un focus sulla struttura del dielettrico mostrato nella figura precedente.

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Nell’immagine, i rettangoli blu e rossi rappresentano le cosiddette cariche di polarizzazione.

Le cariche di polarizzazione $Q_{pol}$ si formano nella zona in cui il dielettrico entra a contatto con l’aria ed hanno:

segno negativo sulla superficie inferiore (affacciata all’armatura positiva),
segno positivo sulla superficie superiore (affacciata all’armatura negativa).

Tali cariche hanno densità superficiale di carica di polarizzazione $\sigma_{pol}$ rispettivamente con segno negativo sulla superficie inferiore e segno positivo sulla superficie superiore.

Le linee del campo elettrico sono emesse dalle cariche $Q_{lib}$ presenti sull’armatura positiva del condensatore. Una parte delle linee del campo vengono intercettate dalle cariche negative di polarizzazione $-Q_{pol}$ . Il campo elettrico all’interno del materiale risulta quindi più debole di quello che esterno. Le cariche positive di polarizzazione $Q_{pol}$ si trovano sulla superficie superiore e generano a loro volta delle linee del campo che ristabiliscono il campo elettrico originale. Queste linee del campo vengono assorbite dalle cariche negative $-Q_{lib}$ presenti sull’armatura superiore del condensatore.

campo-uniforme-3

N.B. Nell’immagine soprastante non si mostrano più i dipoli indotti, che sono comunque sempre presenti, per porre l’attenzione dell’osservatore sulla distribuzione del campo elettrico.

Il valore del campo elettrico interno al dielettrico è inferiore al valore che si avrebbe nello stesso punto se non ci fosse il dielettrico (e se ci fosse ad esempio l’aria). Dal punto di vista del campo elettrico, le cariche sono indistinguibili. Per un osservatore esterno invece, è utile distinguere due casi appena discussi:

cariche libere $Q_{lib}$ : distribuite sulla superficie delle armature,
cariche di polarizzazione $Q_{pol}$ : date dell’elongazione delle nubi elettroniche.

Per calcolare il valore del campo elettrico in un punto P interno al dielettrico, si utilizza il teorema di Gauss. La superficie di Gauss (in arancione, nella figura sottostante) racchiude sia cariche libere positive che cariche di polarizzazione negative.

campo-uniforme-Gauss

La carica totale racchiusa è inferiore a quella che si ha nel caso di assenza di dielettrico.

Polarizzazione Uniforme

Si consideri il caso in cui un campo elettrico sta attraversando il dielettrico in modo non perpendicolare alla superficie. Sia $\theta$ l’angolo che si forma tra il campo elettrico $\overline{E}$ e la normale $\widehat{n}$ nella zona di interfaccia tra il dielettrico e l’aria.

Si può costruire un cilindro di volume $V_C$ e superficie S all’interno del dielettrico per fornire un’interpretazione microscopica dell’origine della carica di polarizzazione.

Nell’immagine che segue, (1) e (2) rappresentano la stessa situazione. In (1) si vede cosa succede all’esterno del dielettrico e in (2) si può apprezzare anche ciò che avviene all’interno del dielettrico (come sono disposti i dipoli).

carica di polarizzazione

La carica di polarizzazione presente sulla superficie S individuata sul dielettrico è:

Q_{pol} = \sigma_{pol} \cdot S

Tale carica di polarizzazione è dovuta alla presenza di dipoli indotti situati sotto la superficie di separazione tra il dielettrico e l’aria. Si consideri un singolo strato di dipoli indotti, come mostrato in (2), che affacciano la loro carica positiva alla superficie S. Si può stimare la quantità di carica di polarizzazione presente sulla superficie.

Si indichi con n il numero di dipoli per unità di volume del cilindro:

n = \frac{\text{\# dipoli}}{\text{volume }} = \frac{N_d}{V_C}

Sia d la distanza tra i due poli del dipolo, il volume del cilindro $V_C$ è dato da:

V_C = d \cdot\cos(\theta)\cdot S

Il numero di dipoli che si affacciano sulla superficie S è:

\text{\# dipoli} = N_d = n \cdot V_C = n \cdot d \cdot\cos(\theta)\cdot S

È utile ricordare che il momento di dipolo è il vettore che parametrizza il campo elettrico generato dal dipolo quando questo è immerso in un campo elettrico esterno.

\overline{p} = q \overline{d} \tag{p.1}

In un solido, la formula (p.1) si riferisce al momento di dipolo medio degli atomi (o molecole) in un determinato volume di dielettrico. Il vettore polarizzazione elettrica $\overline{P}$ rappresenta il momento di dipolo medio per unità di volume:

\overline{P} = n \cdot q \cdot \overline{d} \tag{p.2}

Se si moltiplica $N_d$ per la carica q di ogni dipolo, si ottiene la carica che i dipoli conferiscono alla superficie S:

Q_S = N_d \cdot q = n \cdot q \cdot d \cdot \cos(\theta) \cdot S

La densità superficiale di carica di polarizzazione $\sigma_{pol}$ è data dal rapporto tra la carica di polarizzazione (posta sulla superficie) e la superficie stessa:

\sigma_{pol} = \frac{Q_S}{S} = n \cdot q \cdot d \cdot \cos(\theta) \tag{s.1}

Dato il vettore $\overline{P}$ , si può riscrivere la (s.1) come:

\sigma_{pol} = P \cdot \cos(\theta) = \overline{P} \cdot \widehat{n} \tag{s.2}

Il prodotto $P \cdot \cos(\theta)$ equivale al prodotto scalare tra il vettore di polarizzazione elettrica per il versore che forma un angolo $\theta$ con il campo $\overline{P}$ e di conseguenza anche con il campo $\overline{E}$ . Tale versore è la normale alla superficie del dielettrico, ovvero $\widehat{n}$ .

Inoltre, nel modello presentato, l’elongazione delle nubi elettroniche avviene nella direzione del campo elettrico E. Il vettore di polarizzazione elettrica ha la stessa direzione e lo stesso verso del vettore del campo elettrico.

Questo paragrafo ottiene un’interpretazione microscopica dell’origine della carica di polarizzazione. Risulta però evidente che il campo di polarizzazione P debba dipendere dal campo elettrico E.

Campo Elettrico Non Uniforme

Densità Volumetrica di Carica di Polarizzazione

Il campo elettrico può deformare le nubi elettroniche degli atomi (che costituiscono il dielettrico) ma non può conferire carica al dielettrico. La somma delle cariche di polarizzazione presenti nel dielettrico deve essere nulla.

q_{tot.}^{pol} = 0

Tali cariche possono essere presenti:

sulla superficie del dielettrico: cariche superficiali di polarizzazione,
all’interno del volume: cariche volumetriche di polarizzazione

Definiti i seguenti parametri:

$S_{diel}$ : superficie del dielettrico,
$V_{diel}$ : volume del dielettrico,
$\sigma_{pol}$ : densità superficiale di carica di polarizzazione $\rm [C/m^2]$ ,
$\rho_{pol}$ : densità volumetrica di carica di polarizzazione $\rm [C/m^3]$ ,
$q_{tot.}^{pol}$ : somma delle cariche di polarizzazione presenti nel dielettrico.

Si può formulare:

q_{tot.}^{pol} = \sigma_{pol} \cdot S_{diel} + \rho_{pol} \cdot V_{diel} = 0

\implies \oiint_{S_{diel}} \sigma_{pol} \cdot dS + \oiiint_{V_{diel}} \rho_{pol} \cdot dV = 0

Per esplicitare il valore della densità volumetrica di carica di polarizzazione, nell’espressione soprastante, si può sostituire $\sigma_{pol}$ con $\overline{P} \cdot \widehat{n}$ .

\begin{equation} \begin{split} & \oiint_{S_{diel}}\Big(\overline{P}\cdot\widehat{n}\Big)dS+\oiiint_{V_{diel}}\rho_{pol}\cdot dV=0\\ & \oiiint_{V_{diel}} \Big(\overline{\nabla}\cdot\overline{P}\Big)dV + \oiiint_{V_{diel}}\rho_{pol}\cdot dV=0 \end{split} \end{equation}

Si applica il teorema di Gauss (sulla divergenza), il quale lega il flusso del vettore $\overline{P}$ attraverso la superficie chiusa $S_{diel}$ all’integrale sulla divergenza del campo $\overline{P}$ sul volume $V_{diel}$ racchiuso dalla superficie (il dielettrico). Per fare in modo che le due espressioni sommate si annullino, è necessario che la somma delle funzioni integrande sia nulla:

\overline{\nabla}\cdot\overline{P} + \rho_{pol} = 0

Si ricorda inoltre che la divergenza di un campo vettoriale corrisponde al prodotto scalare tra il gradiente (operatore DEL) e tale campo vettoriale:

\begin{equation} \begin{split} \overline{\nabla} \cdot \overline{A} &= \begin{pmatrix} \frac{d}{d x}\\ \frac{d}{d y}\\ \frac{d}{d z} \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} A_x(x,y,z)\\ A_y(x,y,z)\\ A_z(x,y,z)\\ \end{pmatrix} =\\ &= \frac{\partial A_x}{\partial x} + \frac{\partial A_y}{\partial y} + \frac{\partial A_z}{\partial z} \end{split} \end{equation}

Dunque si può esprimere la densità volumetrica di carica di polarizzazione come:

\rho_{pol} = - \overline{\nabla}\cdot\overline{P} = - \bigg( \frac{\partial P_x}{\partial x} + \frac{\partial P_y}{\partial y} + \frac{\partial P_z}{\partial z} \bigg)

La densità superficiale di carica di polarizzazione $\sigma_{pol}$ è sempre presente nell’interfaccia tra il dielettrico e l’aria (o tra un dielettrico ed un altro dielettrico).

La densità volumetrica di carica di polarizzazione $\rho_{pol}$ è presente nei casi in cui il campo elettrico è disuniforme: se il campo E fosse costante, allora lo sarebbe anche P e la sua divergenza sarebbe nulla.

(carica di polarizzazione)	Campo Elettrico Uniforme	Campo Elettrico Non-uniforme
densità superficiale	$\sigma_{pol} = \overline{P} \cdot \widehat{n}$	$\sigma_{pol} = \overline{P} \cdot \widehat{n}$
densità volumetrica	$\rho_{pol} = 0$	$\rho_{pol} = - \overline{\nabla}\cdot\overline{P}$

Campo Vettoriale di Spostamento Elettrico

Il campo elettrico è indebolito, all’interno di un dielettrico, dalla presenza di cariche di polarizzazione che assorbono parte delle linee del campo. Anche il teorema di Gauss è affetto dalla presenza delle cariche di polarizzazione: la carica racchiusa $q_{enc}$ è data da cariche libere e da cariche di polarizzazione.

Se si scrive la 1° equazione di Maxwell, ovvero il teorema di Gauss in forma differenziale, la densità volumetrica di carica è intensa come totale: somma tra cariche nette (libere) e cariche di polarizzazione.

\overline{\nabla}\cdot\overline{E} = \frac{\rho_{tot.}}{\epsilon_0} = \frac{\rho_{lib} + \rho_{pol}}{\epsilon_0}

Si può sostituire $\rho_{pol}$ con il valore esplicitato nel paragrafo di sopra e ottenere una espressione che dipenda solo dalle cariche libere:

\begin{equation} \begin{split} \overline{\nabla}\cdot\overline{E}&=\frac{\rho_{lib}-\overline{\nabla}\cdot\overline{P}}{\epsilon_0}\\ \implies \rho_{lib} &= \epsilon_0 \cdot \overline{\nabla}\cdot\overline{E} + \overline{\nabla}\cdot\overline{P}\\ \implies \rho_{lib} &= \overline{\nabla} \Big(\epsilon_0 \cdot\overline{E} + \overline{P} \Big)\\ &= \overline{\nabla} \cdot \overline{D} \end{split} \end{equation}

Si definisce il vettore spostamento elettrico $\overline{D}$ (o induzione elettrica). Questo vettore è una generalizzazione del campo elettrico di Maxwell che descrive l’effetto delle cariche di polarizzazione sulle configurazioni spaziali e temporali del campo elettromagnetico.

\overline{D} \; \rm \bigg[\frac{C}{m^2} \bigg]

Le cariche libere sono una quantità fisica che si può controllare conferendo la carica desiderata ai condensatori (o ai conduttori).

Si prenda il caso di un condensatore a facce piane parallele. Le cariche libere $Q_{lib}$ sono distribuite sulla superficie S delle armature del condensatore.

Q_{lib} = \int_{S} \sigma_{lib} \cdot dS

Se le cariche libere fossero invece distribuite su un volume V, si potrebbe scrivere:

Q_{lib} = \int_{V} \rho_{lib} \cdot dV

In relazione al vettore di spostamento elettrico, si può scrivere:

Q_{lib} = \oint_{S} \overline{D} \cdot \widehat{n} \;dS

Nella formula precedente, S rappresenta la superficie chiusa che racchiude le cariche libere ed $\widehat{n}$ è la normale alla superficie.

Le cariche di polarizzazione sono una conseguenza della formazione dei dipoli indotti a causa del campo elettrico presente nel dielettrico. A differenza delle cariche libere, non si ha modo di controllare le cariche di polarizzazione.

Grazie al vettore di spostamento elettrico (in inglese, electric displacement field), si ha un’equazione che dipende unicamente dalla carica libera (che si può controllare) e ciò fornisce un ottimo punto di partenza per calcolare il campo elettrico all’interno di un dielettrico.

\overline{D} = \epsilon_0 \cdot\overline{E} + \overline{P} \tag{d.1}

Polarizzazione Elettrica in funzione del Campo Elettrico

Si può esplicitare il campo di polarizzazione $\overline{P}$ in funzione di $\overline{E}$ , ovvero in modo diverso da quanto fatto fino a questo momento.

Se E è relativamente piccolo, si può utilizzare lo sviluppo in serie di Taylor e prendere solo il termine lineare. La polarizzazione elettrica è proporzionale al campo elettrico mediante la costante di suscettività elettrica $\chi$ (chi) che deve essere determinata sperimentalmente a seconda del materiale che compone il dielettrico.

\overline{P} = \epsilon_0 \cdot \chi \cdot\overline{E} \tag{p.3}

Questa di sopra è una relazione vettoriale: se E cambia direzione, lo farà di conseguenza anche P.

Un cristallo è una formazione solida avente una disposizione periodica e ordinata di atomi ai vertici di una struttura reticolare (reticolo cristallino). In un cristallo, la distanza media tra gli atomi non dipende dalla direzione.

La relazione (p.3) si può scrivere solo se si assume che il materiale sia:

isotropo: le proprietà elettriche del materiale non dipendono dalla direzione di applicazione del campo elettrico,
lineare: la dipendenza del campo di polarizzazione da E è lineare,
omogeneo: le proprietà elettriche di polarizzazione non variano da punto a punto.

Dato che P è legato alla elongazione delle nubi elettroniche, se si aumenta in modo indefinito il campo elettrico, si otterranno fenomeni di saturazione.

Grazie alla (p.3) si può riscrivere la (d.1) come:

\overline{D} = \epsilon_0 \cdot\overline{E} + \epsilon_0 \cdot \chi \cdot \overline{E} = \epsilon_0 \cdot (1+\chi) \cdot \overline{E} \tag{d.2}

Si definisce la costante dielettrica relativa:

\epsilon_r = 1+\chi

Tale costante è adimensionale (non ha unità di misura) e varia da: tipo di materiale, temperatura e pressione del sistema.

Ipotizzando di studiare un materiale isotropo, lineare ed omogeneo, si può scrivere una funzione che permette di calcolare il campo E conoscendo D. Si può riscrivere la (d.2) come:

\overline{D} = \epsilon_0 \epsilon_r \overline{E} \tag{d.3}

Se il materiale non soddisfasse le suddette ipotesi (e fosse, ad esempio, anisotropo) allora la costante dielettrica $\epsilon = \epsilon_0 \cdot \epsilon_r$ sarebbe una matrice multidimensionale:

\begin{bmatrix} D_x \\ D_y \\ D_z \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \epsilon_{xx} & \epsilon_{xy} & \epsilon_{xz} \\ \epsilon_{yx} & \epsilon_{yy} & \epsilon_{yz} \\ \epsilon_{zx} & \epsilon_{zy} & \epsilon_{zz} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} E_x \\ E_y \\ E_z \end{bmatrix}

Il teorema di Gauss per il campo D, nella sua forma differenziale, è il punto di arrivo nel percorso che individua un campo vettoriale indipendente dalle cariche di polarizzazione.

\overline{\nabla}\cdot\overline{D} = \rho_{lib}

Il teorema di Gauss nella sua forma integrale è utile nel calcolo del campo elettrico E in presenza di distribuzioni di carica aventi una particolare simmetria.

\oiint_S \overline{D} \cdot \widehat{n} \; dS = q_{enc}^{lib}

Dielettrici Non Lineari

L’ottica è la branca della fisica che studia il comportamento e le proprietà della luce, la quale è costituita da onde elettromagnetiche. Nella sotto-branca dell’ottica lineare, l’intensità della luce influenza direttamente la polarizzazione del mezzo. L’ottica non lineare implica invece una relazione non lineare tra il campo elettrico E e la polarizzazione del mezzo. Talvolta, le onde elettromagnetiche ad alta intensità possono modificare la costante dielettrica del mezzo generando nuove frequenze e originando importanti fenomeni ottici.

Si può rappresentare il campo elettrico della luce incidente sul mezzo con una funzione sinusoidale di frequenza $\omega$ e ampiezza $E_0$ :

E = E_0 \cdot \sin(\omega t)

Il campo di polarizzazione, nel caso di un mezzo lineare, è:

P = \epsilon_0 \chi E_0 \sin(\omega t)

Nel caso in cui l’ampiezza del campo elettrico incidente fosse molto elevata, si forzerebbe una sovra-elongazione delle nubi elettroniche (rispetto al caso di un campo E debole). La proporzionalità tra forza ed elongazione è rispettata per piccole oscillazioni. Esiste un modo per rappresentare matematicamente la situazione in cui la forza supera un certo valore critico e sia l’elongazione che la polarizzazione non risultano più proporzionali alla forza. Si aggiunge un termine quadratico al termine lineare, tra l’altro già espresso nella (p.3), per modellare mezzi non lineari:

P = \epsilon_0 \chi (1+\alpha E)E_0 = \epsilon_0 \chi E_0 \sin(\omega t) + \epsilon_0 \chi \alpha E_0^2 \sin^2(\omega t)

La luce incidente è caratterizzata da un colore legato alla frequenza di oscillazione $\omega$ . La radiazione luminosa che esce da un mezzo trasmissivo ha due componenti: la lunghezza d’onda della luce incidente e la lunghezza d’onda dimezzata. Se un laser infrarosso, il quale produce un’onda elettromagnetica intensa, illumina un mezzo non lineare, la radiazione in uscita avrà sia una componente infrarossa che una componente visibile.