Applicazioni alla Legge di Coulomb

Apr 20, 2024

Introduzione

Dipolo Indotto

Lo spostamento di carica dato dall’attrazione coulombiana genera il cosiddetto dipolo indotto.

Data la carica elettrica q e la distanza d tra i due poli:

dipolo indotto

Momento di Dipolo

Il momento di dipolo è il vettore che parametrizza il campo elettrico generato dal dipolo quando questo è immerso in un campo elettrico esterno.

\vec{p} = q \vec{d}

Evidenze Sperimentali

Esistono due tipi di cariche elettriche: positive e negative. Tali cariche possono essere prodotte per sfregamento di vetro e resina (ambra).

L’interazione elettrostatica è “debole” poiché riesce solamente a spostare dalla posizione di equilibrio dei palloncini gonfiati con elio.

L’interazione elettrostatica dipende dalla distanza. Avvicinando la bacchetta al palloncino è possibile attrarlo con maggior forza. I fenomeni elettrostatici possono dare origine a forze di tipo attrattivo o repulsivo. Le cariche negative si respingono tra di loro, le cariche positive si respingono tra di loro, le cariche negative e le cariche positive si attraggono. Si possono osservare fenomeni di attrazione anche con oggetti non conduttori (polarizzazione elettrostatica).

Legge di Coulomb

\begin{equation*} \begin{split} \overline{F}_{12} &= k \cdot \frac{q_1 q_2}{r_{12}^2}\widehat{r}_{12} \\ &= \frac{1}{4 \pi \epsilon_0}\frac{q_1 q_2}{r_{12}^2}\widehat{r}_{12} \end{split} \end{equation*}

Coulomb

La costante k è espressa in funzione di $\epsilon_0$ : la quale è la costante dielettrica del vuoto.

k = 8.99 \cdot 10^9 \rm \bigg[\frac{N m^2}{C^2} \bigg]

\epsilon_0 = 8.853 \cdot 10^{-12} \rm \bigg[\frac{C^2}{N m^2} \bigg]

La formula di Coulomb permette di esprimere la forza di interazione per due oggetti assimilabili a cariche puntiformi, dotate di una carica $q_1$ e $q_2$ .

La carica di 1 coulomb [C] è la carica che si deve conferire a due oggetti puntiformi separati dalla distanza di un metro [m] in modo che essi si attraggano o si respingano (a seconda che entrambe le cariche abbiano segno concorde) con una forza di $8.99 \cdot 10^9$ newton [N].

La formula di Coulomb è vettoriale e la direzione della forza è concorde alla direzione del vettore $\overline{r}$ se le cariche sono di segno concorde. La direzione della forza è invece opposta alla direzione del vettore $\overline{r}$ nel caso in cui le cariche siano di segno discorde. Il vettore $\overline{r}$ congiunge la carica che genera l’interazione con la carica che la subisce. La forza $\overline{F}$ è applicata sulla carica che subisce l’interazione.

Atomo di idrogeno di Bohr

Atomo di Bohr

Il modello dell’atomo di idrogeno di Bohr è un assimilabile ad un modello planetario. Il protone p si trova al centro dell’orbita dell’elettrone $e^-$ . Si approssima un’orbita circolare.

La carica elettrica dell’elettrone è:

e = -1.6 \cdot 10^{-19} \; \rm [C]

Le masse valgono rispettivamente:

m_e = 9.11 \cdot 10^{-31} \; \rm [kg] \\ m_p = 1.67 \cdot 10^{-27} \; \rm [kg]

La distanza tra i due elementi è:

r_H = 0.53 \cdot 10^{-10} \; \text{[m]} = 0.53 \; [\mathop A\limits^ \circ ]

Si noti come $\mathop A\limits^ \circ$ indica l’unità di misura degli angstrom.

La forza di interazione gravitazione è data da:

G = 6.7 \cdot 10^{-11} \; \rm \bigg[\frac{N m^2}{kg^2} \bigg]

Da cui si ricava la forza di Newton:

F_N = G \frac{m_e \cdot m_p}{r_H^2} \approx \frac{1}{2.5}\cdot10^{-46} \; \rm [N]

La forza di interazione Coulombiana è:

F_C =\frac{1}{4 \pi \epsilon_0}\frac{e^2}{r_H^2} \approx 10^{-6} \; \rm [N]

La forza di interazione Coulombiana è quasi 40 ordini di grandezza superiore rispetto alla forza di interazione gravitazionale. Entrambe sono forze attrattive, ma l’attrazione gravitazionale è trascurabile rispetto a quella Coulombiana. L’atomo di idrogeno è dominato da forze di origine elettrostatica. In natura, i pianeti ed i corpi celesti sono neutri: la forza di interazione Coulombiana è trascurabile.

Gli atomi della materia sono globalmente neutri.

Campo elettrico di Faraday

Campo Faraday Coulomb

La forza di Coulomb $\overline{F}_q$ modella l’interazione tra la carica sorgente Q e la carica di prova q:

\overline{F}_q = \frac{1}{4 \pi \epsilon_0}\frac{Q q}{r^2}\widehat{r} \; \rm [N]

La carica q risente del campo vettoriale creato da Q attraverso la forza di Coulomb.

Il campo elettrico viene indicato con la lettera E ed è il rapporto tra la forza risentita da una carica e il valore della carica stessa. Presa q come carica di riferimento, il valore del campo elettrico dipende dalla carica sorgente e dal punto dello spazio in cui si studia il campo:

\overline{E} = \frac{\overline{F}_q}{q} = \frac{1}{4 \pi \epsilon_0}\frac{Q}{r^2}\widehat{r} \; \rm \bigg[\frac{N}{C} \bigg]

La Terra genera attorno a sé un campo magnetico per effetto dei moti convettivi di materia fusa che avvengono nel nucleo terrestre. Grazie ad una bussola è possibile individuare il campo magnetico, altrimenti invisibile all’occhio umano. La carica sorgente Q crea attorno a se una perturbazione dello spazio (il campo elettrico) che esiste a prescindere dal fatto che sia presente la carica di prova q in qualche punto dello spazio. Per rivelare la presenza del campo, l’osservatore ha la necessità di utilizzare la carica di prova come analogo della bussola, ovvero come sensore.

La forza che agisce sulla carica di prova è direttamente proporzionale al campo elettrico.

\overline{F} = q \overline{E}

La carica q, per convenzione, deve essere positiva ed avere carica idealmente trascurabile per non disturbare la distribuzione della carica sorgente.

Linee del campo

In prossimità di una carica positiva, la carica di prova risentirà di una forza repulsiva diretta radialmente verso l’esterno.

positive

Per quanto riguarda una carica negativa, la forza che agisce sulla carica di prova è diretta radialmente verso la carica sorgente.

La zona con un campo meno intenso è indicata da frecce più corte.

La rappresentazione di un campo vettoriale richiederebbe di disegnare in ogni punto dello spazio un vettore la cui lunghezza rappresenta il modulo del campo elettrico in quel punto e la direzione indica la direzione della forza che agisce sulla carica di prova (positiva e di carica infinitesima). Tale rappresentazione, mostrata nell’immagine di sopra, è estremamente dettagliata e permette di ricavare tutte le informazioni sul campo elettrico nei punti indicati, tuttavia è poco intuitiva.

Una rappresentazione più semplice, inventata da Micheal Faraday, è quella delle linee del campo: semirette orientate che escono dalle cariche positive ed entrano in quelle negative. Le linee del campo hanno la proprietà di essere, punto a punto, parallele al campo elettrico. Il campo elettrico è tangente alle curve.

linee campo

Le linee del campo non sono traiettorie.

Se si posiziona una carica puntiforme (sia positiva che negativa) lungo una linea del campo, si può determinare la direzione della forza che agisce su di essa ma non è sempre vero che essa si muoverà lungo la linea del campo.

Sovrapposizione dei campi

La sorgente del campo elettrico è solitamente un insieme di cariche discrete o una distribuzione continua di carica. Il campo elettrico generato da più cariche è la somma vettoriale dei campi elettrici generati da ciascuna delle cariche sorgenti prese singolarmente.

\overline{E}_{\rm tot.} = \sum_{k=1}^N \overline{E}_k

Proprietà delle linee del campo

Il campo elettrico è, punto a punto, tangente alle linee del campo. Nei punti di intersezione delle linee del campo non è possibile definire una tangente univoca: le linee del campo non si intersecano mai. Il campo elettrico totale è, in ogni punto, la somma dei campi elettrici di tutte le sorgenti presenti. Il campo elettrico totale è rappresentato da un unico vettore, il quale è la somma vettoriale dei campi generati dalle singole cariche.

La densità delle linee del campo fornisce un’indicazione sull’intensità del campo in quel punto.

Distribuzioni di carica

Distribuzione continua di carica

La carica solitamente non è rappresentabile attraverso distribuzioni puntiformi di carica. La legge di Coulomb è valida solo per cariche puntiformi e occorre trovare un metodo per descrivere le distribuzioni continue di carica.

Consideriamo una distribuzione unidimensionale di carica come, ad esempio, un filo. Si suddivide la distribuzione in elementi di lunghezza infinitesima dl che contengono una carica infinitesima dq. La carica dq è assimilabile ad una carica puntiforme per la quale è valida la legge di Coulomb.

La densità lineare di carica $\lambda$ permette di descrivere la distribuzione di carica per unità di lunghezza del filo. $\lambda$ è una funzione che può variare da punto a punto e quindi si può esprimere come dipendente dagli assi cartesiani.

\lambda = \lambda (x,y,z) = \frac{dq}{dl} \; \rm \bigg[ \frac{C}{m}\bigg]

Si definisce dE come il contributo infinitesimo al campo elettrico nel punto P generato dalla carica dq contenuta nell’elemento di lunghezza dl.

distribuzioni continue carica

d \overline{E} = \frac{1}{4 \pi \epsilon_0}\frac{dq}{r^2}\widehat{r} =\frac{1}{4 \pi \epsilon_0}\frac{\lambda \cdot dl}{r^2}\widehat{r} = \left\{ \begin{array}{} d E_x = d \overline{E} \cdot \widehat{x}\\ d E_y = d \overline{E} \cdot \widehat{y}\\ d E_z = d \overline{E} \cdot \widehat{z} \end{array} \right.

Una volta calcolato $d \overline{E}$ ed espresse tutte le dipendenze dagli assi cartesiani, bisogna applicare il principio di sovrapposizione dei campi per calcolare i campi elettrici totali nelle varie direzioni: $E_x$ , $E_y$ , $E_z$ .

Poiché dE è una quantità infinitesima, occorre calcolare un integrale. Integrare un vettore significa integrare ciascuna delle sue componenti. Occorre calcolare le componenti del vettore infinitesimo dE, ovvero $dE_x$ , $dE_y$ , $dE_z$ . Per definizione, tali componenti sono le proiezioni del vettore $d \overline{E}$ sugli assi coordinati, ovvero il prodotto scalare di dE con i versori degli assi.

E_x = \int_{\begin{gather*}\text{distribuzione}\\ \text{di carica}\end{gather*}} dE_x = \int \frac{1}{4 \pi \epsilon_0}\frac{\lambda \cdot dl}{r^2}\widehat{r} \cdot \widehat{x}

In modo analogo:

E_y = \int_{\begin{gather*}\text{distrib.}\\ \text{di carica}\end{gather*}} dE_y = \int \frac{1}{4 \pi \epsilon_0}\frac{\lambda \cdot dl}{r^2}\widehat{r} \cdot \widehat{y}

E_z = \int_{\begin{gather*}\text{distrib.}\\ \text{di carica}\end{gather*}} dE_z = \int \frac{1}{4 \pi \epsilon_0}\frac{\lambda \cdot dl}{r^2}\widehat{r} \cdot \widehat{z}

Distribuzione superficiale di carica

La carica può essere distribuita in maniera continua anche su una superficie. La densità superficiale di carica $\sigma$ può variare da punto a punto, quindi è funzione degli assi cartesiani.

\sigma = \sigma (x,y,z) = \frac{dq}{dS} \; \rm \bigg[ \frac{C}{m^2}\bigg]

distribuzioni superficiali carica

Suddividendo la superficie S in tanti elementi infinitesimi dS, si può affermare che all’interno di ciascun elemento sia contenuta una carica infinitesima dq che può essere assimilata ad una carica puntiforme, per la quale è possibile usare la legge di Coulomb.

d \overline{E} = \frac{1}{4 \pi \epsilon_0}\frac{dq}{r^2}\widehat{r} =\frac{1}{4 \pi \epsilon_0}\frac{\sigma \cdot dS}{r^2}\widehat{r} = \left\{ \begin{array}{} d E_x = d \overline{E} \cdot \widehat{x}\\ d E_y = d \overline{E} \cdot \widehat{y}\\ d E_z = d \overline{E} \cdot \widehat{z} \end{array} \right.

Il campo elettrico infinitesimo $d \overline{E}$ generato dalla carica dq contenuta nella superficie dS è integrato su tutta la distribuzione di carica per calcolare il campo elettrico totale E nelle sue tre componenti. Per condurre questo integrale, bisogna preventivamente proiettare il contributo $d \overline{E}$ sugli assi coordinati e calcolare le componenti $dE_x$ , $dE_y$ , $dE_z$ . Per calcolare le componenti è sufficiente fare il prodotto scalare del vettore $d \overline{E}$ con i versori degli assi $x$ , $y$ , $z$ .

E_x = \iint_{\begin{gather*}\text{distribuzione}\\ \text{di carica}\end{gather*}} dE_x = \iint \frac{1}{4 \pi \epsilon_0}\frac{\sigma \cdot dS}{r^2}\widehat{r} \cdot \widehat{x}

In modo analogo:

E_y = \iint_{\begin{gather*}\text{distrib.}\\ \text{di carica}\end{gather*}} dE_y = \iint \frac{1}{4 \pi \epsilon_0}\frac{\sigma \cdot dS}{r^2}\widehat{r} \cdot \widehat{y}

E_z = \iint_{\begin{gather*}\text{distrib.}\\ \text{di carica}\end{gather*}} dE_z = \iint \frac{1}{4 \pi \epsilon_0}\frac{\sigma \cdot dS}{r^2}\widehat{r} \cdot \widehat{z}

Distribuzione volumetrica di carica

La carica può essere distribuita in maniera continua anche all’interno di un volume. La densità volumetrica di carica $\rho$ può variare da punto a punto, quindi è funzione degli assi cartesiani.

\rho = \rho (x,y,z) = \frac{dq}{dV} \; \rm \bigg[ \frac{C}{m^3}\bigg]

Suddividendo il volume V in tanti elementi infinitesimi dV, si può affermare che all’interno di ciascun elemento di volume dV sia contenuta una carica infinitesima dq che può essere assimilata ad una carica puntiforme, per la quale è possibile usare la legge di Coulomb.

d \overline{E} = \frac{1}{4 \pi \epsilon_0}\frac{dq}{r^2}\widehat{r} =\frac{1}{4 \pi \epsilon_0}\frac{\rho \cdot dV}{r^2}\widehat{r} = \left\{ \begin{array}{} d E_x = d \overline{E} \cdot \widehat{x}\\ d E_y = d \overline{E} \cdot \widehat{y}\\ d E_z = d \overline{E} \cdot \widehat{z} \end{array} \right.

Il campo elettrico infinitesimo $d \overline{E}$ generato dalla carica dq contenuta nel volume dV è integrato su tutta la distribuzione di carica per calcolare il campo elettrico totale E nelle sue tre componenti.

E_x = \iiint_{\begin{gather*}\text{distribuzione}\\ \text{di carica}\end{gather*}} dE_x = \iiint \frac{1}{4 \pi \epsilon_0}\frac{\rho \cdot dV}{r^2}\widehat{r} \cdot \widehat{x}

In modo analogo:

E_y = \iiint_{\begin{gather*}\text{distrib.}\\ \text{di carica}\end{gather*}} dE_y = \iiint \frac{1}{4 \pi \epsilon_0}\frac{\rho \cdot dV}{r^2}\widehat{r} \cdot \widehat{y}

E_z = \iiint_{\begin{gather*}\text{distrib.}\\ \text{di carica}\end{gather*}} dE_z = \iiint \frac{1}{4 \pi \epsilon_0}\frac{\rho \cdot dV}{r^2}\widehat{r} \cdot \widehat{z}

Potenziale Elettrico

Le cariche elettriche modificano lo spazio intorno ad esse creando un campo di forze a cui si associa un campo elettrico.

Posta una carica sorgente Q all’interno dello spazio. Se si vuole avvicinare la carica di prova q alla carica sorgente, si deve compiere lavoro meccanico per vincere la forza repulsiva dovuta alla presenza di Q. Il lavoro della forza repulsiva dipende da:

quanto si vuole avvicinare q a Q,
quanto è lontana q all’istante iniziale.

A distanza infinita da Q, la forza che agisce su q è nulla.

Dati i seguenti elementi:

P un punto nello spazio,
$\overline{r}_P$ il vettore che parte da Q e arriva a P,
$\overline{r}$ il vettore che parte da Q e arriva a q,
$\overline{F}_{DV}$ forza meccanica che:
- giace su $\overline{r}$ ,
- parte da q,
- è diretta verso Q,
$\overline{F}_{el}$ forza meccanica opposta in verso a $\overline{F}_{DV}$ :
- giace sul prolungamento di $\overline{r}$ ,
- parte da q,
$\gamma$ (curva gamma) percorso che parte da P, sulla quale giace q,
$d \overline{l}$ passo infinitesimo da q verso P, che si compie sulla curva $\gamma$ ,
$d \overline{l}'$ spostamento infinitesimo compiuto da q per effetto delle forze del campo elettrico (sempre sulla curva $\gamma$ , ma nella direzione opposta a $d \overline{l}$ ).

Se si vuole avvicinare la carica di prova q al punto P, si sviluppa la forza meccanica $\overline{F}_{DV}$ . Il lavoro meccanico che si compie è:

\mathcal{L}_{DV} = \int_\infty^P \overline{F}_{DV} \cdot d\overline{l}

L’estremo inferiore dell’integrale è $\infty$ mentre l’estremo superiore è P: ciò implica che si sta calcolando il lavoro da una distanza infinita fino al punto P.

La forza meccanica che si applica a q per fare arrivare la carica a P deve, punto per punto, essere maggiore o uguale alla forza di origine elettrostatica che cerca di allontanare la carica stessa.

Il lavoro che compie il campo elettrico generato da Q per respingere la carica q lungo la curva $\gamma$ è:

\mathcal{L}_{E} = \int_P^\infty \overline{F}_{el} \cdot d\overline{l}'

Questa formula implica:

\mathcal{L}_{DV} = \mathcal{L}_{E} \quad ; \quad \overline{F}_{DV} = -\overline{F}_{el}

Da notare la differenza nella scelta degli estremi degli integrali.

potenziale-elettrico

Preso un punto generico della curva $\gamma$ individuato dal vettore $\overline{r}$ , si studia la proiezione della forza elettrostatica sul vettore $d \overline{l}'$ :

\overline{F}_{el} \cdot d \overline{l}' = F_{el} \widehat{r}\cdot d \overline{l}' = F_{el} \cdot\underbrace{|d \overline{l}'| \cdot \cos (\theta) }_{dr} = F_{el} \cdot dr

Il passo infinitesimo $dr$ corrisponde all’allontanamento in direzione radiale della carica q per effetto delle forze del campo elettrico.

Il raggio che identifica il punto P è $r_P$ .

L’energia potenziale elettrostatica dipende solo dalla posizione $r_P$ :

\begin{equation*} \begin{split} \mathcal{L}_{E} &= \int_P^\infty \overline{F}_{el} \cdot d\overline{l}' = \int_{r_P}^\infty \overline{F}_{el}(r) \cdot dr =\\ &= \int_{r_P}^\infty \frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \frac{Q \cdot q}{r^2} dr =\\ &= \frac{Q \cdot q}{4 \pi \epsilon_0} \int_{r_P}^\infty \frac{1}{r^2}dr =\\ &= \frac{Q \cdot q}{4 \pi \epsilon_0} \lim_{\beta \to \infty} \int_{r_P}^\beta \frac{1}{r^2}dr =\\ &= \frac{Q \cdot q}{4 \pi \epsilon_0} \lim_{\beta \to \infty} \bigg[-\frac{1}{r}\bigg]_{r_P}^\beta =\\ &= \frac{Q \cdot q}{4 \pi \epsilon_0} \lim_{\beta \to \infty} \frac{1}{r_P} - \frac{1}{\beta} =\\ &= \frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \frac{Q\cdot q}{r_P} \; \rm [J] \end{split} \end{equation*}

Si nota che tale risultato è valido perché:

\lim_{\beta \to \pm \infty} \pm \frac{1}{\beta} = 0

Energia potenziale elettrostatica

Questo paragrafo tratta la presenza di molteplici cariche puntiformi, situazione ben più realistica di quella analizzata in precedenza. Grazie al principio di sovrapposizione dei campi, è possibile estendere il risultato dell’energia potenziale elettrostatica al casi in cui siano presenti molteplici cariche sorgenti Q.

Date tre cariche $Q_1$ , $Q_2$ , $Q_3$ si definiscono i vettori:

$\overline{r}_{1P}$ , $\overline{r}_{2P}$ , $\overline{r}_{3P}$ che congiungono le sorgenti al punto P,
$\overline{r}_{1}$ , $\overline{r}_{2}$ , $\overline{r}_{3}$ che identificano il generico punto sulla curva $\gamma$ dove è posizionata la carica di prova

Si definisce $d \overline{l}$ come lo spostamento infinitesimo che subisce la carica di prova q per effetto della forza meccanica che si applica per avvicinare tale carica al punto P.

Il lavoro compiuto per portare la carica q da distanza infinita al punto P è lo stesso che compiono le forze del campo elettrico per allontanare la carica di prova dal punto P verso l’infinito.

\mathcal{L}_{DV} = \int_\infty^P \overline{F}_{DV} \cdot d \overline{l} = \int_P^\infty q \cdot (\overline{E}_1 + \overline{E}_2 + \overline{E}_3) dr

potenziale-elettrico-tre-cariche

Il campo elettrico $\overline{E}_{tot}$ è la somma vettoriale dei contributi dei campi elettrici generati dalle cariche sorgenti. Tali vettori si trovano sui prolungamenti dei vettori che congiungono le sorgenti al punto P.

Grazie alla proprietà di linearità dell’operatore integrale si può scrivere l’integrale di una somma di n contributi come la somma di n integrali.

\begin{equation*} \begin{split} \int_\alpha^\beta q \cdot \bigg(\sum_{k=1}^n E_k \bigg) dr &= \int_\alpha^\beta q \cdot (E_1 + E_2 + \dots + E_n) dr =\\ &= \sum_{k=1}^n \Bigg(\int_\alpha^\beta q \cdot E_k\; dr\Bigg)=\\ &= \int_\alpha^\beta q \cdot E_1\; dr +\int_\alpha^\beta q \cdot E_2\; dr + \dots + \int_\alpha^\beta q \cdot E_n\; dr \end{split} \end{equation*}

In questo caso specifico preso in esame, n è uguale a tre.

Ciascuno degli integrali rappresenta il lavoro compiuto dalle forze del campo generato da una singola carica in ogni punto generico della curva $\gamma$ . Questi integrali possono essere interpretati come energie potenziali elettrostatiche, da attribuire alla interazione della carica di prova con la sola carica $Q_1$ , $Q_2$ e $Q_3$ :

\mathcal{L}_{DV} = \int_P^\infty q \cdot E_1 dr + \int_P^\infty q \cdot E_2 dr + \int_P^\infty q \cdot E_3 dr

Si può sostituire P con (rispettivamente) $r_{1P}$ , $r_{2P}$ ed $r_{3P}$ per avere i riferimenti precisi delle distanze tra il punto P e le cariche sorgenti $Q_1$ , $Q_2$ e $Q_3$ .

\mathcal{L}_{DV} = \Large \underbrace{ \int_{r_{1P}}^\infty \underbrace{q \cdot E_1}_{F_{el}^{Q_1}} dr}_{U_1} + \underbrace{ \int_{r_{2P}}^\infty \underbrace{q \cdot E_2}_{F_{el}^{Q_2}} dr}_{U_2} + \underbrace{ \int_{r_{3P}}^\infty \underbrace{q \cdot E_3}_{F_{el}^{Q_3}} dr}_{U_3}

Si può sostituire ad $E_1$ , $E_2$ , $E_3$ l’espressione del campo elettrico di una carica puntiforme utilizzando la formula di Coulomb:

\begin{equation*} \begin{split} \mathcal{L}_{DV} &= \int_{r_{1P}}^\infty F_{el}^{Q_1} dr + \int_{r_{2P}}^\infty F_{el}^{Q_2} dr + \int_{r_{3P}}^\infty F_{el}^{Q_3} dr =\\ &= \frac{Q_1 \cdot q}{4 \pi \epsilon_0} \int_{r_{1P}}^{\infty} \frac{dr}{r^2} + \frac{Q_2 \cdot q}{4 \pi \epsilon_0} \int_{r_{2P}}^{\infty} \frac{dr}{r^2} + \frac{Q_3 \cdot q}{4 \pi \epsilon_0} \int_{r_{3P}}^{\infty} \frac{dr}{r^2} =\\ &= \frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \frac{Q_1 \cdot q}{r_{1P}} + \frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \frac{Q_2 \cdot q}{r_{2P}} + \frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \frac{Q_3 \cdot q}{r_{3P}} =\\ \end{split} \end{equation*}

Il lavoro meccanico che si deve compiere per portare la carica q dall’infinito al punto P è direttamente proporzionale alla carica q. Le cariche sorgente modificano lo spazio attorno ad esse creando un campo di forze tale per cui, per spostare una carica q nello spazio, bisogna compiere lavoro. Questo lavoro è tanto maggiore quanto più grande è la carica q.

U = q \bigg( \frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \frac{Q_1}{r_{1P}} + \frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \frac{Q_2}{r_{2P}} + \frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \frac{Q_3}{r_{3P}} \bigg) \; \rm [J]

Il lavoro compiuto non dipende dal percorso ma solo dalla posizione finale (e ovviamente quella iniziale assunta all’infinito).

L’energia potenziale elettrostatica U si misura in joule e rappresenta il lavoro che si deve compiere per spostare la carica di prova q dall’infinito al punto P, vincendo le forze del campo. Tale energia è uguale al lavoro che compierebbero le forze del campo per rispedire la carica di prova q dal punto P all’infinito.

L’energia potenziale elettrostatica dipende direttamente da q in modo analogo al caso dell’energia potenziale gravitazionale:

U = m \cdot g \cdot h = m \cdot (g \cdot h)

L’energia potenziale gravitazionale è dovuta all’interazione della massa m con il campo gravitazionale terrestre rappresentato da $g \cdot h$ (valore indipendente dalla massa m). Se si raddoppia la massa m, si dovrà compiere un lavoro doppio per spostarla da quota 0 a quota h.

Si può fare un ragionamento analogo con l’energia potenziale elettrostatica:

\begin{equation*} \begin{split} U &= q \underbrace{\bigg( \frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \frac{Q_1}{r_{1P}} + \frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \frac{Q_2}{r_{2P}} + \frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \frac{Q_3}{r_{3P}} \bigg)}_V =\\ &= q \cdot V \end{split} \end{equation*}

Il termine V è detto potenziale elettrico (o potenziale elettrostatico) e si misura in joule su coulomb, ovvero in volt.

V \; \rm \bigg[\frac{J}{C} \bigg] \equiv [V]

Il potenziale elettrico è un campo scalare dovuto alla presenza delle cariche sorgente. Il campo associa ad ogni punto P dello spazio una quantità scalare che rappresenta il lavoro per unità di carica che si deve compiere per portare una carica di prova dall’infinito al suddetto punto P.

U = q \underbrace{\bigg( \; \underbrace{\frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \frac{Q_1}{r_{1P}}}_{V_1} + \underbrace{\frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \frac{Q_2}{r_{2P}}}_{V_2} + \underbrace{\frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \frac{Q_3}{r_{3P}}}_{V_3} \; \bigg)}_V = q \cdot V

I campi elettrici si compongono vettorialmente. Il potenziale si somma algebricamente.

Il 2° principio della dinamica di Newton afferma:

\overline{F} = m \cdot \overline{a}

Il problema generale della dinamica riguarda la risoluzione dell’equazione differenziale che lega la forza alle variazioni (nel tempo) dello spostamento prodotto dalla forza stessa.

Il concetto di campo elettrico E permette di descrivere le forza di origine elettrostatica attraverso l’equazione $F = qE$ .

Conoscendo il campo elettrico (statico) in qualsiasi punto dello spazio è possibile risolvere l’equazione del moto di una carica all’interno del campo elettrico. Molto spesso l’utilità di conoscere l’equazione del moto di una particella è limitata. Risulta molto più importante conoscere quanta energia ha una particella in una certa posizione dello spazio perché questa informazione permette di identificare quanto lavoro essa potrà compiere.

A livello pratico è molto più importante studiare il potenziale elettrico rispetto al campo E in quanto il potenziale fornisce un’informazione sull’energia delle particelle che si traduce immediatamente in una indicazione di cosa si può fare con esse.

Relazione inversa tra potenziale elettrico e campo elettrico

Il potenziale elettrico è il lavoro per unità di carica ed è compiuto dal campo elettrico per spostare una carica di prova dal punto P all’infinito.

Esiste una relazione integrale tra il campo elettrico e il potenziale elettrico.

V(P) = \int_P^\infty \frac{\overline{F}_{el} \cdot d\overline{l}}{q} = \int_P^\infty \overline{E} \cdot d\overline{l}

Si può rappresentare un campo scalare (come il potenziale elettrico) in un sistema cartesiano attraverso una scala cromatica. I colori tendenti al blu rappresentano potenziali negativi mentre quelli verso il rosso, potenziali positivi. Per studiare le variazioni di potenziale elettrico bisogna utilizzare le derivate parziali.

scala-cromatica

La derivata parziale rispetto all’asse x è:

\frac{\partial v}{\partial x} = \frac{v(x+dx,y)-v(x,y)}{dx}

Potenziale elettrico generato da un sistema di cariche puntiformi

Supponendo che il campo elettrico $\overline{E}$ sia generato da tre cariche puntiformi e possa essere scritto come la sovrapposizione vettoriale dei contributi generati dalle singole cariche:

\overline{E} = \overline{E}_1 + \overline{E}_2 + \overline{E}_3

La sovrapposizione vettoriale dei campi comporta la sommabilità dei potenziali.

\begin{equation*} \begin{split} V(P) &= \int_P^\infty \overline{E} \cdot d\overline{l} =\\ &= \underbrace{\int_P^\infty \overline{E}_1 \cdot d\overline{l}}_{V_1} + \underbrace{\int_P^\infty \overline{E}_2 \cdot d\overline{l}}_{V_2} + \underbrace{\int_P^\infty \overline{E}_3 \cdot d\overline{l}}_{V_3} \end{split} \end{equation*}

Metodi di calcolo del potenziale elettrico

Esistono due metodi per calcolare il potenziale elettrico.

Nel primo metodo, si può calcolare il lavoro per unità di carica necessario per spostare la carica di prova dal punto P all’infinito. Si integra il campo elettrico lungo un percorso $\gamma$ a piacere. Bisogna conoscere il campo in tutti i punti del percorso.

V(P) = \int_P^\infty \overline{E} \cdot d\overline{l}

Nel secondo metodo, si sfrutta la sommabilità dei potenziali. Per calcolare il potenziale nel punto P, si sommano tutti i contributi infinitesimi al potenziale dV generati dalle cariche infinitesimi dq presenti nella distribuzione di carica, percepiti dal punto P. Non è necessaria una conoscenza preventiva del campo elettrico, ma bisogna integrare i contributi dV(P) su tutta la distribuzione di carica.

V(P) = \int_{\begin{gather*}\text{distrib.}\\ \text{di carica}\end{gather*}} d V(P)

L’integrale è singolo, doppio o triplo a seconda del fatto che la distribuzione di carica sia lineare (continua), superficiale o volumetrica.

Distribuzione continua

V(P) = \int_{\begin{gather*}\text{distrib.}\\ \text{di carica}\end{gather*}} \frac{1}{4 \pi \epsilon_0}\frac{dq}{r} = \int \frac{1}{4 \pi \epsilon_0}\frac{\lambda \cdot dl}{r}

Distribuzione superficiale

V(P) = \iint_{\begin{gather*}\text{distrib.}\\ \text{di carica}\end{gather*}} \frac{1}{4 \pi \epsilon_0}\frac{dq}{r} = \iint \frac{1}{4 \pi \epsilon_0}\frac{\sigma \cdot dS}{r}

Distribuzione volumetrica

V(P) = \iiint_{\begin{gather*}\text{distrib.}\\ \text{di carica}\end{gather*}} \frac{1}{4 \pi \epsilon_0}\frac{dq}{r} = \iiint \frac{1}{4 \pi \epsilon_0}\frac{\rho \cdot dV}{r}

Teorema di Coulomb

Si consideri un conduttore metallico di forma arbitraria. La carica è distribuita in modo uniforme sulla superficie, in modo da garantire che tutti i punti siamo equipotenziali.

Il teorema di Coulomb permette di calcolare il campo elettrico in prossimità di un conduttore elettrostatico e porlo in relazione alla densità superficiale di carica:

E = \frac{\sigma}{\epsilon_0}