Fondamenti di Analisi per Fisica

Introduzione

In questa introduzione, si trattano alcuni argomenti fondamentali per tutti gli articoli della sezione Physics del blog.

Analisi Dimensionale

^* la colonna Nome indica la lettera con cui viene comunemente indicato un valore corrispondente a tale grandezza fisica. Al nome si possono aggiungere valori in pedice o in apice. Ad esempio, tutte e tre le variabili seguenti sono relative alla misura di una intensità di corrente:

^# la colonna SI esprime la formula (o le formule) per ricavare tale unità di misura grazie alle altre unità di misura del Sistema Internazionale. Ovviamente, da tali formule, se ne possono ricavare molte altre a seconda della necessità. ^#

Le grandezze non sono poste in tabella in ordine di importanza. Non esiste un ordine giusto per tali colonne perché tutte le formule sono legate tra loro.

Distribuzioni di carica

Per i teoremi di Coulomb e Gauss. Nella terza colonna si mettono a confronto le grandezze infinitesime (dq, dl, dS, dV) con le grandezze finite (Q, d, S, V).

Funzione a Supporto Compatto

Per calcolare l’area del sotto-grafico di una funzione, bisogna applicare l’integrale su tutto il dominio della funzione.

Una funzione a supporto compatto è non-nulla solo su un dominio finito $[a\;;b]$. Se si vuole calcolare l’area del sotto-grafico di una funzione a supporto compatto, si può restringere il dominio di integrazione da $[-\infty;\;+\infty]$ a $[a\;;b]$.

Si può scrivere:

N.B. Grafico da correggere, con a estremo inferiore (a sinistra) e b estremo superiore (a destra).

Integrale Improprio di I specie

Un integrale improprio di prima specie è una generalizzazione del concetto di integrale definito secondo Riemann. L’intervallo di integrazione è illimitato e si può trovare in una delle forme che seguono:

L’integrazione secondo Riemann è limitate in alcuni ambiti pratici: la condizione per cui l’intervallo di integrazione debba essere limitato è scomoda.

Se il limite esiste finito, la funzione è integrabile impropriamente su $(-\infty, \alpha]$. Se il limite esiste infinito, allora l’integrale improprio diverge. Se il limite non esiste, l’integrale improprio è oscillante (o non esiste).

Allo stesso modo si può scrivere:

L’integrale improprio sull’asse reale è:

E si procede risolvendo i due limiti in modo indipendente.

Oggetti Geometrici Notevoli

Questo paragrafo studia analiticamente i valori di perimetro, area o volume di oggetti geometrici “notevoli” (ovvero di notevole importanza).

In questo paragrafo si utilizzano gli integrali su superfici chiuse, ad esempio $\oint$ senza entrare nel merito del loro funzionamento a livello matematico.

Circonferenza

Data una circonferenza C di raggio r. L’area della circonferenza è:

Sfera

Data una superficie sferica S di raggio r, ovvero una sfera in $\R^3$.

L’area della sfera è:

Il volume della sfera è:

Cilindro

Data una superficie cilindrica S di raggio r e di lunghezza l.

Il volume del cilindro è dato all’area della circonferenza di base moltiplicata per l’altezza del cilindro:

Data $S_L$ la superficie laterale del cilindro.

L’area della superficie laterale è:

La superficie laterale di un cilindro è, di fatto, un rettangolo arrotolato attorno alle circonferenze $B_1$ e $B_2$ che fungono da basi. Si può “srotolare” $S_L$ per ottenere un rettangolo di altezza l e una larghezza pari alla circonferenza della base circolare ($B_1$ o $B_2$, è indifferente visto che sono uguali).

La circonferenza $P_S$, dato il raggio r, è:

Dunque si può scrivere:

N.B. In questo caso si utilizzano integrali “normali” perché non si tratta di una superficie chiusa.

Campi Scalari e Vettoriali

Un vettore è un segmento orientato caratterizzato da:

• modulo: valore numerico della grandezza che rappresenta il vettore,
• direzione: retta su cui giace il segmento,
• verso: orientamento del segmento (indicato mediante una freccia),

Inoltre, si definisce il punto di applicazione come il punto da cui si applica il vettore. Il vettore si indica con la soprallineatura: $\overline{v}$.

Nell’immagine soprastante si è anche dato un valore arbitrario di cinque unità al modulo del vettore.

Il versore è un vettore di lunghezza unitaria che fornisce un riferimento di direzione e verso. Il versore si indica con il “cappello” anziché la soprallineatura: $\widehat{v}$.

Il versore può essere riscritto come il rapporto tra un vettore ed il suo modulo:

I versori più utilizzati sono quelli relativi agli assi cartesiani. Si può ad esempio indicare un vettore v parallelo all’asse y come il prodotto tra il suo modulo e il versore dell’asse:

Un campo scalare è una proprietà dello spazio (ovvero una funzione) che associa uno scalare ad ogni punto dello spazio.

Un campo vettoriale è una proprietà dello spazio che associa un vettore ad ogni punto dello spazio. Le componenti di un campo vettoriale $\overline{A}(x,y,z)$ sono una funzione del punto $(x,y,z) \in \R^3$ e rappresentano la proiezione di $\overline{A}(x,y,z)$ sugli assi cartesiani.

Dati i versori (vettori unitari) degli assi cartesiani, indicati con il “cappello”, allora si può scrivere:

Le componenti $A_x$, $A_y$ e $A_z$ sono scalari.

Prodotto per uno scalare

Il prodotto tra un vettore $\overline{A}$ ed uno scalare b equivale al prodotto delle singole componenti del vettore per lo scalare:

Si noti come, in questo paragrafo, $\overline{A}$ rappresenti un singolo vettore e non un intero campo vettoriale (come nel caso del paragrafo precedente).

Il modulo del prodotto tra un vettore e uno scalare è:

Prodotto Scalare

Il prodotto per uno scalare non deve essere confuso con il prodotto scalare tra due vettori. Il prodotto scalare è la somma delle componenti omologhe. Il risultato è un valore scalare che, dal punto di vista geometrico, rappresenta la proiezione del primo vettore sul secondo (e viceversa).

Posto il vettore $\overline{A}$ sul semi-piano positivo delle ascisse (asse orizzontale, dall’origine verso destra). Se si fanno partire i vettori dallo stesso punto (idealmente l’origine degli assi), si può definire l’angolo $\theta$ (theta) che determina l’angolo che separa i due vettori.

Prodotto Vettoriale

Il prodotto vettoriale è un’operazione tra vettori in uno spazio euclideo tridimensionale che restituisce un vettore normale al piano formato dai vettori di partenza. Con l’aggettivo normale si intende che il vettore è perpendicolare al piano, ovvero che forma un angolo di inclinazione di 90°. Le componenti del vettore risultante sono sono determinate dalla seguente matrice:

Il modulo del prodotto vettoriale è dato da:

con $\theta$ angolo convesso che si crea tra i vettori.

Per individuare il verso del vettore risultante si utilizza la regola della mano destra. Sul pollice si pone idealmente il primo vettore, sull’indice si pone il secondo vettore e sul medio si individua il vettore risultante.

Se i vettori sono paralleli o anti-paralleli, ovvero hanno la stessa direzione con verso concorde o discorde, il prodotto vettoriale è nullo. L’angolo compreso vale 0° o 180° gradi. Il seno di tali angoli è nullo.

Si può effettuare il prodotto vettoriale anche tra un vettore ed un versore, il quale è un vettore di modulo unitario:

Per calcolare il prodotto vettoriale, i vettori $\overline{A}$ e $\overline{B}$ vengono posizionati in modo da avere il punto di applicazione in comune. Due vettori, nello spazio euclideo, identificano un piano. Il vettore risultante dal prodotto vettoriale è perpendicolare a tale piano, ovvero forma un angolo di $\pi/2^{\rm rad}$ (90° gradi).

Operatore di Derivata

Derivata totale

La derivata totale è il limite del rapporto incrementale:

La variazione infinitesima della variabile $x$ è data da $dx$.

Derivata parziale

Quando si studiano le variazioni di un campo scalare, è importante esplicitare la direzione in cui hanno luogo tali variazioni.

Presa invece una funzione $f(x,y) \in \R^2$, è possibile studiare il limite del rapporto incrementale in una direzione specifica. Si utilizza il simbolo $\partial$ (partial) seguito dalla variabile di derivazione. L’altra variabile (o le altre, nel caso di $f \in \R^n$) viene trattata come una costante:

Si può espandere questa definizione a qualsiasi funzione $f(x_1,\dots,x_n)\in \R^n$​.

Differenziale di campo scalare

Si consideri un dominio bidimensionale, ovvero un piano, sul quale si pone una sorgente di calore. La temperatura T del piano si può rappresentare come un campo scalare: ad ogni punto del piano è associato un valore scalare relativo alla temperatura in quel punto. Le derivate parziali indicano la variazione di temperatura in una determinata direzione.

La distribuzione del calore forma una tipica campana gaussiana attorno alla sorgente.

Il vettore $d\overline{l}$:

• rappresenta lo spostamento infinitesimo da un generico punto dello spazio,
• è il vettore delle derivate degli assi cartesiani nello spazio $\R^3$:

La variazione di temperatura si studia effettuando uno spostamento da un generico punto $(x,y,z)$ al punto $(x+dx, y+dy,z+dz)$.

La variazione infinitesima di temperatura che avviene spostandosi da tali punti è:

Si definisce il vettore gradiente di temperatura $\overline{\nabla} T$. Il gradiente si applica ad un campo scalare e fornisce una funzione vettoriale.

$\overline{\nabla}$ è l’operatore vettoriale DEL ed è indicato con la lettera greca nabla:

Il DEL rappresenta il vettore delle derivate parziali del campo $T(x,y,z)$ rispetto alle direzione degli assi.

Si può affermare che dT rappresenta il differenziale del campo scalare T ed è il prodotto scalare tra il gradiente di T e il vettore delle derivate dello spazio:

Divergenza di campo vettoriale

Preso un campo vettoriale:

La divergenza del campo vettoriale corrisponde al prodotto scalare tra il gradiente (operatore DEL) e il campo vettoriale:

La divergenza applica ogni componente del gradiente al campo vettoriale.

La divergenza di un campo vettoriale è legata alla presenza di sorgenti (o pozzi) di linee del campo vettoriale. Nel caso di un campo elettrico, la divergenza è associata alla presenza di cariche nette.

Si consideri il campo vettoriale dato dalla velocità dell’acqua all’interno di un fiume e si analizzino due casi. Nel primo caso (a sinistra), la velocità dell’acqua cresce con la distanza x percorsa (la variabile y definisce la larghezza del fiume). Nel secondo caso (a destra), il fiume si trova in stato di quiete e la velocità dell’acqua è data dal flusso alla Poiseuille (ovvero una parabola).

Operatore Rotore

Il prodotto vettoriale tra il gradiente (l’operatore DEL) e il campo vettoriale $\overline{A}$ è detto rotore:

Il rotore esprime una rotazione infinitesima del campo vettoriale $\overline{A}$, associando un vettore ad ogni punto dello spazio.

Circuitazione di un campo vettoriale

La circuitazione di un campo vettoriale è l’integrale di linea di II specie calcolato su un percorso chiuso.

Un campo vettoriale $\overline{A}$ che associa un vettore ad ogni punto dello spazio. Data una curva chiusa $\gamma$ (gamma minuscola) che attraversa il campo, si vuole calcolare la circuitazione del campo attraverso la curva gamma. Tale curva è:

• chiusa: percorrendo la curva (in uno qualsiasi dei due versi) si torna sempre al punto di partenza,
• orientata: possiede un verso di percorrenza (indicato da una freccia).

Si può suddividere la curva in k vettori rettilinei: $\Delta \overline{l}_k$. Aumentando il numero dei k vettori, si approssima in modo più preciso la curva.

In ogni punto della curva in cui è presente un vettore $\Delta \overline{l}_k$, insiste anche un vettore $\overline{A}_k$ (tali vettori hanno lo stesso punto di applicazione). Si può definire $\theta_k$ come l’angolo acuto compreso tra i due vettori.

Per calcolare la circuitazione è necessario sommare i k prodotti scalari lungo tutta la curva:

Il prodotto scalare del k-esimo elemento, come illustrato qualche paragrafo sopra, è uguale al prodotto tra i moduli dei vettori e l’angolo compreso:

Per calcolare la circuitazione si effettua il limite della sommatoria per $\Delta l$ che tende a zero, il che significa considerare dei tratti di lunghezza infinitesima. Questo limite è l’integrale sulla curva chiusa $\gamma$ del campo $\overline{A}$ e si indica con $\oint$ e con la leggera greca gamma maiuscola $\Gamma$: