Bipoli Statici

Dec 10, 2023

Introduzione

N-polo

Un N-polo è un componente elettrico con N terminali (estremità, morsetti). Questo articolo tratta nello specifico di bipoli, ovvero due sole estremità.

Dato il morsetto a avente potenziale maggiore (indicato con un +) e il morsetto b a potenziale minore (indicato con un -), v_ab è la tensione ai capi del bipolo.

La corrente i scorre all’interno del bipolo.

Secondo la convenzione dell’utilizzatore, la corrente i scorre dal morsetto a potenziale maggiore, verso il morsetto a potenziale minore. La potenza è definita come il prodotto tra tensione ai capi e corrente che scorre all’interno del bipolo. Secondo la convenzione dell’utilizzatore, la potenza viene dissipata dal bipolo (che agisce come utilizzatore).

Secondo la convenzione del generatore, la corrente i scorre dal morsetto a potenziale minore, verso il morsetto a potenziale maggiore. La potenza viene generata dal bipolo.

Utilizzatore	Generatore

La tensione si misura in volt [V], la corrente in ampere [A] e la potenza in watt [W].

N.B. Le unità di misura, quando si scrivono per esteso, vanno sempre indicate con l’iniziale minuscola: Watt è il cognome dell’ingegnere che ideò il watt come unità di misura della potenza.

Grafi ed Alberi

Un circuito elettrico è un insieme di N-poli connessi tra loro. Un N-polo rappresenta un ramo (o lato). Un nodo connette più rami tra loro. Una maglia è un percorso chiuso qualsiasi che si possa percorrere all’interno del circuito. Un grafo è un insieme di archi e vertici tali che:

ad ogni nodo corrisponde un vertice (e viceversa)
ad ogni bipolo corrisponde un arco avente come estremi i nodi del bipolo (e viceversa)

Un grafo orientato è un grafo i cui archi hanno associata una direzione di riferimento. Un subgrafo di un grafo orientato è un sottoinsieme di archi. Un albero è un subgrafo che tocca tutti i vertici senza descrivere una maglia. Ad un albero si può associare un coalbero. Un coalbero è l’insieme degli archi (detti corde) che non appartengono all’albero associato.

Per effettuare misure di corrente si utilizza un amperometro. Tale componente va inserito in serie ai componenti del circuito. Per effettuare misure di tensione si utilizza un voltmetro. Tale componente va inserito in parallelo al componente ai cui capi si vuole calcolare la tensione.

Legge di Kirchoff

Legge di Kirchoff per le Correnti

Il principio di conservazione della carica elettrica permette di affermare che la somma algebrica delle correnti entranti in un nodo deve essere nulla. Dato N il numero di rami connessi al nodo ed $i_k$ la generica corrente entrante, la LKC è:

\sum_{k=1}^N i_k = 0

La somma delle correnti entranti è uguale alla somma delle correnti uscenti da un nodo.

Legge di Kirchoff per le Tensioni

Il principio di conservazione della carica elettrica permette di affermare che la somma algebrica delle tensioni lungo una maglia deve essere nulla. Dato N il numero di tensioni nella maglia e $v_k$ la generica tensione di ramo, la LKT è:

\sum_{k=1}^N v_k = 0

Generatore

I generatori sono bipoli attivi, ovvero capaci di erogare energia. Un generatore ideale indipendente impone tensione o corrente indipendentemente dalle altre variabili del circuito.

Si forniscono i seguenti schemi:

Generatore Indipendente di Tensione	Generatore Indipendente di Corrente

Un generatore ideale dipendente impone tensione o corrente controllata da un’altra tensione o corrente. Le sorgenti possono essere di quattro tipologie:

GTCT: Generatore di Tensione Controllato in Tensione
GTCC: Generatore di Tensione Controllato in Corrente
GCCT: Generatore di Corrente Controllato in Tensione
GCCC: Generatore di Corrente Controllato in Corrente

Generatori di tensione in serie

Dati N generatori di tensione connessi in serie, la tensione totale $v_s$ è data dalla somma delle tensioni $v_k$ dei singoli generatori (per $k=1,\dots,N$ ). La corrente che scorre attraverso il generatore rimane invariata.

v_s = \sum_{k=1}^N v_k

I generatori di tensione non si devono connettere in parallelo.

gen tensione

Generatori di corrente in parallelo

Dati N generatori di corrente connessi in parallelo, la corrente totale $i_s$ è data dalla somma delle correnti $i_k$ dei singoli generatori (per $k=1,\dots,N$ ). La tensione ai capi rimane invariata.

i_s = \sum_{k=1}^N i_k

I generatori di corrente non si devono connettere in serie.

gen corrente

Generatore reale

Un generatore ideale eroga energia infinita al circuito. Nella realtà dei fatti, ciò non è possibile.

Generatore reale di tensione

Dati i seguenti parametri:

$v_S$ : tensione ideale erogata del generatore,
$R_L$ : resistenza di carico (load),
$v_L$ : tensione reale ai capi di $R_L$ ,
$R_S$ : resistenza in serie ad $R_L$ ,

v_L = v_S \cdot \frac{R_L}{R_S+R_L}

real voltage generator

Generatore reale di corrente

Dati i seguenti parametri:

$i_S$ : correte ideale erogata dal generatore,
$R_L$ : resistenza di carico (load),
$i_L$ : correte reale che scorre su $R_L$ ,
$R_P$ : resistenza in parallelo ad $R_L$ ,
$G_L=1/R_L$ : valore di conduttanza associato alla resistenza di carico,
$G_P = 1/R_P$ : valore di conduttanza associato alla resistenza in parallelo

i_L = i_S \cdot \frac{G_L}{G_P+G_L}

real current generator

Resistore

Il resistore è un bipolo passivo. La resistenza R $[\Omega]$ misura la capacità di opporsi al passaggio di cariche elettriche. La conduttanza G $[S]$ (siemens) è il suo reciproco: $G = 1/R\; [S]$ Dato un cilindro con:

$\rho$ : resistività del materiale che compone il resistore $[\Omega \cdot m]$ ,
L: lunghezza [m],
a: area della sessione circolare [m²].

Allora tale cilindro ha resistenza:

R = \rho \cdot \frac{L}{a} \; [\Omega] = \frac{v}{i} \; \bigg[\Omega = \frac{V}{A}\bigg]

La resistività è il reciproco della conduttività:

\rho = \frac{1}{\sigma} \; \bigg[\frac{S}{m}\bigg]

La potenza dissipata da un resistore è:

P = v \cdot i = R \cdot i^2

N.B. Per poter affermare ciò, si sta utilizzando la convenzione dell’utilizzatore.

resistore

Resistori in serie

Dati N resistori in serie, la resistenza equivalente è data dalla somma di tutte le resistenze (le quali sono percorse dalla stessa corrente).

R_{\rm eq} = \sum_{k=1}^N R_k

La conduttanza equivalente è:

G_{\rm eq} =\sum_{k=1}^N G_k = \sum_{k=1}^N \frac{1}{R_k}

Partitore di tensione

Dati N resistori in serie e un generatore di tensione che eroga $v_s$ volt, la tensione $v_n$ ai capi dell’n-esimo resistore è direttamente proporzionale al rapporto tra la sua resistenza $R_n$ e la resistenza totale $R_{\rm eq}$ .

v_n = R_n \cdot i = v_s \cdot \frac{R_n}{R_{\rm eq}}

Ad esempio: dato lo schema che segue e i seguenti parametri:

v_s = 6 \; [V] \;;\; R_1 = 5 \; [\Omega]\;;\; R_2 = 15 \; [\Omega]\;;\; R_3 = 10 \; [\Omega]\;;\;

La tensione ai capi di R₃ si ottiene grazie al seguente partitore di tensione:

v_3 = v_s \cdot \frac{R_3}{R_1 + R_2 + R_3} = 6 \cdot \frac{10}{5 + 15 + 10} = 2 \; [V]

partitore tensione esempio

N.B. R₃ si trova in serie alle altre due resistenze: è stata posta “in verticale” solo per rendere più compatta l’immagine.

Resistori in parallelo

Dati N resistori in parallelo, ai loro capi è applicata la stessa tensione $v$ . La resistenza equivalente è l’inverso della conduttanza equivalente ottenuta sopra:

R_{\rm eq} = \frac{1}{G_{\rm eq}} = \frac{1}{\sum_{k=1}^N G_k} = \frac{1}{\sum_{k=1}^N \frac{1}{R_k}}

Ogni resistenza in parallelo è percorsa da una corrente diversa:

i_s = \sum_{k=1}^N i_k = v \cdot \bigg(\sum_{k=1}^N G_k \bigg) = v \cdot \frac{1}{G_{\rm eq}}

Partitore di corrente

Dati N resistori in parallelo e un generatore di corrente da $i_s$ ampere, la corrente $i_n$ ai capi dell’n-esimo resistore è direttamente proporzionale al rapporto tra la sua conduttanza $G_n$ e la conduttanza totale $G_{\rm eq}$ .

i_n = G_n \cdot v = i_s \cdot \frac{G_n}{G_{\rm eq}}

Si prendano le stesse resistenze dell’esempio precedente e si pongano in parallelo. Si applichi un generatore indipendente di corrente ai capi del parallelo:

i_s = 5 \; [A]

Le conduttanze associate alle resistenze sono:

\eq{ G_1 &= 1/R_1 = 1/5 = 0.2 \; [S]\\ G_2 &= 1/R_2 = 1/15 = 0.0\overline{6} \approx 0.067 \; [S]\\ G_3 &= 1/R_3 = 1/10 = 0.1 \; [S] }

La corrente che scorre attraverso R₃ è:

i_3 = i_s \cdot \frac{G_3}{G_1 + G_2 + G_3} = 5 \cdot \frac{0.1}{0.2 + 0.067 + 0.1} = 1.36 \; [A]

partitore corrente esempio