Circuiti del I & II ordine

Feb 8, 2024

Introduzione

EDO I

Le equazioni differenziali ordinarie del I ordine hanno la forma:

\frac{dx(t)}{dt} + \frac{x(t)}{\tau} = \frac{x_p}{\tau}

La soluzione generale è:

x(t) = k e^{-t/\tau}+h

Con h soluzione particolare, che si determina grazie alla condizione iniziale:

h = x(0)-x_p \implies x(t)\big[x(0)-x_p\big]e^{-t/\tau}+x_p

EDO II

Le equazioni differenziali ordinarie del II ordine hanno la forma:

\frac{d^2 x(t)}{dt^2} + 2\alpha \frac{d x(t)}{dt} +\omega_0^2 x(t)= 0

Se $\alpha \neq \omega_0$ , allora:

x(t) = A e^{st} \implies s_{1,2} = -\alpha \pm \sqrt{\alpha^2-\omega_0^2} \implies x(t)=A_1 e^{s_1 t} + A_2 e^{s_2 t}

Si determinano $A_1$ e $A_2$ grazie alle condizioni iniziali $x(0)$ e $\frac{dx}{dt}\Big|_{t=0}$

Ordine di un circuito

L’ordine di complessità di un circuito è ricavato calcolando il numero di condizioni iniziali indipendenti:

$n_D$ : numero di componenti dinamici,
$n_C$ : numero di maglie esclusivamente composte da condensatori e generatori indipendenti di tensione,
$n_L$ : numero di linee chiuse che tagliano solo induttori e generatori indipendenti di corrente

\text{ordine circuito} = n_D - n_C - n_L

Circuiti del I ordine

Un circuito è detto autonomo quando i generatori sono spenti. L’energia immagazzinata dai componenti dinamici (condensatori e induttori) è rilasciata ai resistori.

RC Autonomo

C \frac{d v(t)}{dt}+\frac{v(t)}{R}=0

Condizione iniziale:

V_0=(t=t_0=0s)

Energia iniziale immagazzinata:

E(t=0)=\frac{1}{2} C V_0^2

Altre formule importanti sono:

\frac{d v(t)}{dt}+\frac{v(t)}{\tau}=0\quad \text{con } RC = \tau

v(t) = V_0 e^{-t/\tau}

I dati relativi alla resistenza sono:

\eq{ i_R(t) &= \frac{v(t)}{R}= \frac{V_0}{R} e^{-t/\tau}\\ p_R(t) &= v(t)i_R(t)= \frac{V_0^2}{R} e^{-(2t)/\tau}\\ E_R(t) &= \int_0^t p(\widetilde{t})d\widetilde{t} = \frac{1}{2} C V_0^2 \bigg(1-e^{-(2t)/\tau} \bigg) \\ }

RL Autonomo

L \frac{d i(t)}{dt}+Ri(t)=0

Condizione iniziale:

I_0=i(t=t_0=0s)

Energia iniziale immagazzinata:

E(t=0)=\frac{1}{2} L I_0^2

Altre formule:

\eq{ & \frac{d i(t)}{dt}+\frac{Ri(t)}{L}=0\quad \text{con } \frac{L}{R} = \tau \\ & \frac{d i(t)}{dt}+i(t)\tau^{-1}=0 \\ & i(t) = I_0 e^{-t/\tau} }

I dati relativi alla resistenza sono:

\eq{ v_R(t) &= Ri(t)= R I_0 e^{-t/\tau}\\ p_R(t) &= v_R(t)i(t)= R I_0^2 e^{-(2t)/\tau}\\ E_R(t) &= \frac{1}{2} L I_0^2 \bigg(1-e^{-(2t)/\tau} \bigg) \\ }

Circuiti Autonomi Stabili

La costante di tempo $\tau \geq 0$ è il tempo impiegato dalla risposta di un circuito per decrescere di un fattore $1/e$ , ovvero raggiungere il $36.8\%$ del valore iniziale.

Il circuito raggiunge la condizione di regime (transitorio esaurito) dopo un tempo di $5\tau$ .

La velocità di risposta è inversamente proporzionale a $\tau$ .

Circuiti del II ordine

RLC Autonomo Serie

RLC Serie

L \frac{d i(t)}{dt}+ R i(t)+V_0 + \frac{1}{C} \int_0^t i(\widetilde{t})d\widetilde{t}=0

\frac{d^2 i(t)}{dt^2}+\frac{R}{L}\frac{d i(t)}{dt}+\frac{i(t)}{LC}=0

La costante di smorzamento $\alpha$ è:

\alpha = \frac{R}{2L} \; \bigg[\frac{1}{\rm sec.} \bigg]

La pulsazione di risonanza $\omega_0$ è:

\omega_0 = \frac{1}{\sqrt{LC}}

Condizioni iniziali con $i(0)=I_0$ :

\frac{d i}{dt}\bigg|_{t=0} = -\frac{1}{L}\bigg[R I_0 + V_0 \bigg]

RLC Autonomo Parallelo

RLC Parallelo

C \frac{d v(t)}{dt} + \frac{v(t)}{R}+I_0 + \frac{1}{L} \int_0^t v(\widetilde{t})d\widetilde{t}=0

\frac{d^2 v(t)}{dt^2}+\frac{1}{RC}\frac{d v(t)}{dt}+\frac{v(t)}{LC}=0

La costante di smorzamento $\alpha$ è:

\alpha = \frac{1}{2RC} \; \bigg[\frac{1}{\rm sec.} \bigg]

La pulsazione di risonanza $\omega_0$ è:

\omega_0 = \frac{1}{\sqrt{LC}}

Condizioni iniziali con $v(0)=V_0$ :

\frac{dv}{dt}\bigg|_{t=0} = -\frac{1}{RC}\bigg[R I_0 + V_0 \bigg]

Smorzamento

Si confrontano i circuiti RLC serie ed RLC parallelo nelle diverse tipologie di smorzamento:

Tipologia	Soluzioni	RLC Serie	RLC Parallelo
Sovrasmorzamento: $\alpha > \omega_0$	$s_{1,2}=-\alpha \pm \sqrt{\alpha^2 -\omega_0^2} \in \R^-$	$C > (4L)/ R^2$	$L > 4 R^2 C$
Sottosmorzamento: $\alpha < \omega_0$	$s_{1,2}=-\alpha \pm j\sqrt{\alpha^2 -\omega_0^2} \in \C$	$C < (4L)/ R^2$	$L < 4 R^2 C$
Senza smorzamento: $\alpha = 0 < \omega_0$	$s_{1,2}=\pm j\sqrt{\alpha^2 -\omega_0^2} \in \C$	$R=0$	$1/R = 0$
Smorzamento critico: $\alpha = \omega_0$	$s_{1,2}=-\alpha \in \R$

N.B. Nei casi del sottosmorzamento e dell’assenza dello smorzamento, le soluzioni sono numeri complessi coniugati: $s_1 = \overline{s_2}$ .

Gradino Unitario

Nell’ambito dei circuiti elettrici, in particolare per gli argomenti trattati, la funzione gradino unitario si definisce come:

u(t) = \begin{cases} 0 \quad t < 0\\ 1 \quad t > 0\\ \nexists \quad t = 0 \end{cases}

Il gradino modella rapide variazioni di corrente e tensione.

Mentre per la teoria dei segnali è utile definire $u(0)=1/2$ , in questo caso si preferisce una “versione” del gradino in cui la funzione non è definita per $t=0$ .

Risposta al Gradino

Circuiti del I ordine

Il circuito RC autonomo si presenta nella forma:

RC step response

Il circuito RL autonomo si presenta nella forma:

RL step response

Formula	RC Autonomo	RL Autonomo
Condizione iniziale	$v(t=0)=V_0$	$i(t=0)=I_0$
Energia iniziale immagazzinata	$E(t=0)=\frac{1}{2} C V_0^2$	$E(t=0)=\frac{1}{2} L I_0^2$
Integrazione nel tempo	$C \frac{d v(t)}{dt}+\frac{v(t)-V_s u(t)}{R}=0$	$L \frac{d i(t)}{dt}+R i(t)-V_s u(t)=0$
Risposta del circuito	$\tau = RC$ $\frac{d v(t)}{dt}+\frac{v(t)}{\tau}=\frac{V_s u(t)}{\tau}=0$	$\tau = L/R$ $\frac{di(t)}{dt}+\frac{i(t)}{\tau} = \frac{I_s u(t)}{R\tau}$
Risposta completa	$v(t) = [V_0 - V_s] e ^{-t/\tau}+V_s$	$i(t) = [I_0 - I_s] e ^{-t/\tau}+I_s$
Risposta transitoria	$v_T=[V_0 - V_s] e^{-t/\tau}$	$i_T=[I_0 - I_s] e^{-t/\tau}$
Risposta a regime	$v_R = V_s$	$i_R = I_s$
Risposta al gradino	$v(t)=V_0 e^{-t/\tau}+V_s (1-e^{-t/\tau})$	$i(t)=I_0 e^{-t/\tau}+I_s (1-e^{-t/\tau})$
Risposta naturale	$v_N = V_0 e^{-t/\tau}$	$i_N = I_0 e^{-t/\tau}$
Risposta forzata	$v_F=V_s(1-e^{-t/\tau})$	$i_F=I_s(1-e^{-t/\tau})$

Circuiti del II ordine

RLC Serie	RLC Parallelo
$v<0 \to i(t)=0$ , $i(0)=I_0 = 0$	$v<0 \to v(t)=0$ , $v(0)=V_0 = 0$
$\frac{d i}{dt}_{t=0}=\frac{1}{L}[V_s - V_0]$	$\frac{dv}{dt}_{t=0} =\frac{1}{C}[I_s - I_0 ]$
$v_L(t)=L \frac{d i}{dt}$	$i_C(t)=C\frac{dv}{dt}$
$v_R (t)=R i(t)$	$i_R (t)=v(t)/R$
$v_C (t)=V_s-v_R (t)-v_L (t)$	$i_L (t)=I_s-i_R (t)-i_C (t)$