Bipoli Dinamici

Dec 20, 2023

Introduzione

I bipoli dinamici analizzati in questo articolo sono il condensatore e l’induttore. Tali elementi sono fondamentali nello studio di circuiti in regime sinusoidale.

Nei bipoli lineari, la corrente e la tensione sono sempre proporzionali tra loro.

Condensatore

Il condensatore è un bipolo dinamico e lineare che immagazzina energia. La capacità elettrica C si misura in farad [F]: coulomb [C] (carica elettrica) fratto volt [V] (differenza di potenziale).

Un condensatore con capacità di 1 farad varia di 1 volt il suo potenziale quando la carica immagazzinata varia di 1 coulomb. Il pianeta Terra ha la capacità di un millifarad (1 mF). A livello pratico quindi, si usano quasi sempre i sottomultipli del farad.

Un condensatore si realizzata con una coppia di armature separate da dielettrico (materiale isolante). Sulle armature si accumulano cariche +q e -q. La variazione di carica nel tempo è:

q(t)=C\cdot v(t)

Dato un generico istante di tempo $t_0$ , la tensione ai capi del condensatore è:

v(t_0) = \frac{q(t_0)}{C}

La costante C dipende dalla geometria del condensatore e dal materiale che compone il dielettrico.

Relazione caratteristica del condensatore

La corrente, poiché alternata, diventa una funzione del tempo: $i(t)$ esprime la capacità C del condensatore che moltiplica la derivata in funzione del tempo della tensione ai capi del condensatore.

i(t) = C \frac{dv(t)}{dt}

In forma integrale, si può scrivere:

v(t) = v(t_0) + \frac{1}{C} \int_{t_0}^t i(\tau) d\tau

con $t_0 \leq t$ .

N.B. Nella formula, si integra rispetto al generico tempo $\tau$ , e non su $t$ estremo superiore dell’intervallo di riferimento dell’integrale. Spesso $\tau$ indica un ritardo (delay), ma non in questo caso.

La tensione $v(t)$ dipende dal valore della corrente all’istante t e dai suoi valori passati: si dice che il condensatore è un elemento con memoria.

Ad esempio, dato il seguente circuito:

C esempio

N.B. I componenti sono posti in serie.

Indipendentemente dal valore C del condensatore (il suo valore rimane costante nel tempo), data la differenza di potenziale fornita dal generatore indipendente di tensione:

v(t) = \cos(10^3 t) \; \text{[V]}

Allora la corrente che scorre nel condensatore è:

i(t) = C \frac{dv(t)}{dt} = C \cdot\frac{d}{dt}\cos(10^3 t) = -C \sin(10^3 t) = C \cdot \cos(10^3 t -\pi/2)

La corrente è in anticipo di 90° ( $\pi/2^{\rm rad}$ ) rispetto alla tensione.

Proprietà del condensatore

In regime stazionario (corrente continua) il condensatore si comporta come un circuito aperto. La tensione ai capi di un condensatore è una funzione continua nel tempo: $v(t)$ non può presentare variazioni istantanee (come quelle della funzione gradino). Una tensione discontinua implicherebbe una corrente infinita. Una tensione costante implica invece una corrente nulla.

Si può dimostrare facilmente quanto scritto sopra andando a prendere la definizione di corrente che scorre in un condensatore. Se si applica l’operatore di derivata ad una tensione costante, si ottiene una corrente nulla, la quale implica che la corrente non scorre ai capi del condensatore, ovvero si sta osservando un circuito aperto.

v(t) = k \; [V] \quad \forall t \in \R, k \in \Z \implies i(t) = C \frac{dv(t)}{dt} = 0 \implies \text{ circuito aperto}

La potenza istantanea è data da:

p(t) = v(t) \cdot i(t) = v(t) \cdot C \frac{dv(t)}{dt}

L’energia assorbita in un intervallo $(t_0, t_1)$ è:

\begin{equation*} \begin{split} E(t_0, t_1) &= \int_{t_0}^{t_1} p(t)dt =\\ &= \int_{t_0}^{t_1} v(t) \cdot C \frac{dv}{dt}dt =\\ &= C \int_{v(t_0)}^{v(t_1)} v(t)dv =\\ &= \frac{C}{2} \bigg[v^2(t_1) - v^2(t_0)\bigg] \end{split} \end{equation*}

Se la tensione è periodica di periodo T, l’energia assorbita e la potenza media sono nulle: il condensatore è un elemento passivo.

P = \frac{1}{T}\int_{t_0}^{t_0 + T} p(t)dt = 0

Supponendo che la funzione $v(t)$ non assuma mai valori di tensione negativi, ovvero abbia il proprio estremo inferiore (massimo valore negativo) in $v(t_1)=0V$ , allora l’energia immagazzinata nel condensatore è:

E(v) = \frac{1}{2} Cv^2

Condensatori in serie

Dati N condensatori in serie. Ai capi di ognuno è applicata una tensione diversa. Il valore $C_i$ del i-esimo condensatore è associato alla tensione $v_i(t)$ , per $i=1,\dots,N$ .

condesatori in serie

Il reciproco della capacità equivalente di N condensatori in serie è la somma dei reciproci delle capacità dei singoli condensatori:

\frac{1}{C_{\rm eq}} = \sum_{i = 1}^N \frac{1}{C_i}

Solitamente è più utile utilizzare il reciproco della capacità equivalente ma, nel caso si debba usare il suo valore, si può ottenere con la seguente formula:

C_{\rm eq} = \frac{1}{\sum_{i = 1}^N \frac{1}{C_i}}

Dato $C_k$ il valore del k-esimo condensatore, il valore di una specifica tensione è:

v_k(t) = v_k(t_0) + \frac{1}{C_k} \int_{t_0}^t i(t) dt

La tensione complessiva è data da:

v(t) = \sum_{i = 1}^N v_i(t) = v(t_0) + \frac{1}{C_{\rm eq}} \int_{t_0}^t i(\tau) d\tau

Condensatori in parallelo

Date N condensatori in parallelo. Su ognuna scorre una corrente diversa. Il valore $C_j$ del j-esimo condensatore è associato alla corrente $i_j$ , per $j=1,\dots,N$ .

condesatori in parallelo

L’equivalente di N condensatori in parallelo è:

C_{\rm eq} = \sum_{j=1}^N C_j

Dato $C_k$ il valore del k-esimo condensatore, il valore di una specifica corrente è:

i_k(t) = C_k \frac{dv}{dt}

La corrente complessiva è data da:

i(t) = C_{\rm eq} \frac{dv}{dt}

Induttore

L’induttore è un bipolo dinamico e lineare. L’induttanza L si misura in henry [H]. A livello dimensionale, le relazioni più significative sono:

H = \frac{V \cdot s}{A} = \Omega \cdot s = \frac{Wb}{A}

In un induttore da 1 henry, una variazione di corrente di un ampere al secondo genera una forza elettromotrice di 1 volt. Il valore di induttanza L dipende dalla geometria dell’induttore e dal materiale che compone il nucleo.

La corrente che scorre attraverso l’avvolgimento dell’induttore genera un flusso magnetico $\Phi$ che varia nel tempo in modo direttamente proporzionale alla corrente:

\Phi(t) = L \cdot i(t) \quad \rm [Wb]

Il weber [Wb] è l’unità di misura del flusso magnetico (volt al secondo). La formula precedente lega l’induttore alla legge di Faraday (studiata nei corsi di Fisica II).

v(t) = \frac{d \Phi (t)}{dt} = L\frac{d i(t)}{dt}

Relazione caratteristica dell’induttore

La corrente all’istante $t_0$ è data da:

i(t_0) = \frac{\Phi (t_0)}{L}

In forma integrale si può scrivere:

i(t) = i(t_0) + \frac{1}{L} \int_{t_0}^t v(\tau) d\tau

con $t_0 \leq t$ .

La corrente $i(t)$ dipende dal valore della corrente all’istante $t$ e dai suoi valori passati: si dice che l’induttore è un elemento con memoria.

Dato in circuito con un generatore indipendente di corrente in parallelo ad un induttore di valore L:

i(t) = \cos(10^3 t) \; \rm [A]

Allora la tensione ai capi dell’induttore è:

v(t) = L\frac{d i(t)}{dt} = L \cdot \frac{d}{dt} \cos(10^3 t) = L \cdot \cos(10^3 t - \pi/2)

La tensione è in anticipo di 90° rispetto alla corrente.

Questo sfasamento può essere studiato da strumenti quali oscilloscopi ed analizzatori di spettro.

Proprietà dell’induttore

In regime stazionario (corrente continua) l’induttore si comporta come un corto circuito. La corrente che scorre attraverso un induttore è una funzione continua nel tempo. Una corrente discontinua implicherebbe una tensione infinita.

Si può dimostrare facilmente quanto scritto sopra andando a prendere la definizione di tensione ai capi di un induttore. Se si applica l’operatore di derivata ad una corrente costante, si ottiene una tensione nulla, la quale implica che l’induttore non presenta una differenza di potenziale ai propri capi, ovvero si sta osservando un corto-circuito.

i(t) = k \; [A] \quad \forall t, \in \R, k \in \Z \implies v(t) = L\frac{d i(t)}{dt} = 0 \implies \text{corto-circuito}

La potenza istantanea è data da:

p(t) = v(t) \cdot i(t) = i(t) \cdot L \frac{di(t)}{dt}

L’energia assorbita in un intervallo $(t_0, t_1)$ è:

\begin{equation*} \begin{split} E(t_0, t_1) &= \int_{t_0}^{t_1} p(t)dt =\\ &= \int_{t_0}^{t_1} i(t) \cdot L \frac{di(t)}{dt}dt =\\ &= L \int_{i(t_0)}^{i(t_1)} i(t)di =\\ &= \frac{L}{2} \bigg[i^2(t_1) - i^2(t_0)\bigg] \end{split} \end{equation*}

Se la corrente è periodica di periodo T, l’energia assorbita e la potenza media sono nulle: l’induttore è un elemento passivo.

P = \frac{1}{T}\int_{t_0}^{t_0 + T} p(t)dt = 0

Supponendo che la funzione $i(t)$ presenti il massimo valore negativo (estremo inferiore) in $i(t_1)=0A$ , allora l’energia immagazzinata nel condensatore è:

E(i) = \frac{1}{2} Li^2

Induttori in serie

Dati N induttori in serie. Ai capi di ognuna è applicata una tensione diversa. $L_i$ è associata alla tensione $v_i$ , per $i=1,\dots,N$ .

induttori in serie

L’equivalente di N induttori in serie è:

L_{\rm eq} = \sum_{i = 1}^N L_i

Dato $L_k$ il valore del k-esimo induttore, il valore di una specifica tensione è:

v_k(t) = L_k \frac{di}{dt}

La tensione complessiva è data da:

v(t) = L_{\rm eq} \frac{di}{dt}

Induttori in parallelo

Dati N induttori in parallelo. Su ognuna scorre una corrente diversa. Il valore $L_j$ del j-esimo induttore è associato alla corrente $i_j$ , per $j=1,\dots,N$ .

induttori in serie

L’equivalente di N induttori in parallelo è:

\frac{1}{L_{\rm eq}} = \sum_{i=1}^N \frac{1}{L_i}

Dato $L_k$ il valore del k-esimo induttore, il valore di una specifica corrente è:

i_k(t) = i_k(t_0) + \frac{1}{L_k} \int_{t_0}^t v(\tilde{t}) d\tilde{t}

La corrente complessiva è data da:

i(t) = i(t_0) + \frac{1}{L_{\rm eq}} \int_{t_0}^t v(\tilde{t}) d\tilde{t}

Gli induttori in parallelo presentano lo stesso flusso magnetico.

Bipoli Dinamici Reali

Avendo esplicitato le proprietà caratteristiche di resistori, condensatori ed induttori, è ora possibile illustrare gli schemi elettrici reali di questi bipoli. I componenti ideali infatti non tengono conto dei “disturbi” dovuti alla realizzazione fisica del componente stesso.

Resistore Reale

Data L_s l’induttanza associata ai terminali e l’accoppiamento capacitivo C_p, lo schema reale di un resistore con valore di resistenza R è: R reale

Condensatore Reale

Date R_s e L_s rispettivamente resistenza ed induttanza associate ad armature e terminali, data R_p la resistenza del dielettrico (isolante), lo schema reale di un condensatore di capacità elettrica C è: C reale

Induttore Reale

Dato C_p l’accoppiamento capacitivo tra le spire e R_s la resistenza dell’avvolgimento, lo schema reale di un induttore con valore di induttanza L è: L reale

Unità di Misura

A conclusione dell’articolo, può essere utile includere un paio di tabelle che illustrano i multipli e sottomultipli delle unità di misura utilizzate per misurare la capacità elettrica e l’induttanza.

La capacità elettrica C si misura in farad [F].

Esponente	Nome	Simbolo
10^-3	milli-farad	mF
10^-6	micro-farad	$\micro F$
10^-9	nano-farad	nF
10^-12	pico-farad	pF

L’induttanza L si misura in henry [H].

Esponente	Nome	Simbolo
10-3	milli-henry	mH
10-6	micro-henry	$\micro H$
10-9	nano-henry	nH
10-12	pico-henry	pH