Studio di derivata prima e seconda

Sep 20, 2023

È consigliata la modalità landscape per una migliore leggibilità delle formule.

Applicazioni geometriche del concetto di derivata

Come introduzione allo studio della derivata prima e seconda, si analizzano le applicazioni pratiche al concetto stesso di derivazione.

Retta tangente e normale ad un una curva

Equazione della retta tangente

Il rapporto incrementale $\theta$ rappresenta il coefficiente angolare della retta passante per i punti:

$P_0 = (x_0, \; f(x_0))$
$P = (x_0 + h, \; f(x_0 + h))$

\eq{ & y = mx+q \\ \\ & \sis{ f(x_0) = m x_0 + q \\ f(x_0 + h) = m(x_0 + h) + q } \\ \\ \implies & f(x_0 + h) - f(x_0) = mh \iff m = \frac{f(x_0 + h) - f(x_0)}{h} \\ \implies & m = \phi(h) \\ \\ \implies & q = f(x_0) - m x_0 = f(x_0) - \frac{f(x_0 + h) - f(x_0)}{h} \cdot x_0 \\ }

L’equazione della retta secante (tangente) al grafico $G_f$ in $P_0$ è la seguente:

\eq{ & y = f(x_0) + \frac{f(x_0 + h) - f(x_0)}{h} \cdot (x - x_0) \\ \\ & \text{Ovvero: } \\ \\ & y = f(x_0) + f'(x_0) \cdot (x-x_0) }

$f'(x_0)$ è il coefficiente angolare della retta.

Se però $f$ presenta una derivata infinita in $x_0$ , allora la retta di equazione $x = x_0$ è la tangente verticale a $G_f$ nel punto $P_0$

Equazione della retta normale (o perpendicolare)

\Large y-f(x_0)=- \frac{1}{f'(x_0)} \cdot(x-x_0)

Esempio
Data la funzione $y=f(x)=x^3-2x^2+1$ nel punto di ascissa $x_0=2$ . $f(x_0) \Rightarrow f(2)=2^3-2 \cdot 2^2+1=8-8+1=1 \\ f'(x)=3x^2-4x \\ f'(x_0) \Rightarrow f'(2)=3 \cdot 2^2-4\cdot2 = 12-8=4$

Equazione della retta tangente

y-f(x_0)=f'(x_0) \cdot(x-x_0) \Rightarrow y-1=4(x-2)\Rightarrow y-1=4x-8 \Rightarrow y=4x-7

Equazione della retta normale

y-f(x_0)=f- \frac{1}{f'(x_0)} \Rightarrow y-1=-\frac{1}{4}(x-2) \Rightarrow y-1=-\frac{1}{4}x+\frac{1}{2} \Rightarrow y=-\frac{1}{4}

Quindi si possono ricavare i seguenti coefficienti angolari:

m=4,\; m_p = - \frac{1}{4}

Derivate Parziali

Lo studio della derivata prima permette di conoscere se la funzione è crescente o decrescente e se ammette massimi e minimi. Le funzioni in due variabili vengono studiate attraverso il comportamento di due derivate: le derivate parziali.

Definizione
Sia $z=f(x;y)$ una funzione con dominio $D$ e sia $P_0(x_0;y_0) \in D$ , la derivata parziale di $f$ rispetto a $x$ nel punto $P_0$ è il limite (se esiste ed assume un valore finito) per $h \to 0$ del rapporto incrementale di $f$ nel punto $P_0$ rispetto ad $x_0$ . La derivata rispetto ad x si può indicare con i simboli:

$\Large z'_x$
$\Large f'_x$
$\Large \frac{\delta f}{\delta x}$

\Large f'_x (x_0;y_0)=\lim\limits_{h \to 0} \frac{f(x_0+h; y_0)-f(x_0;y_0)}{h}

Quando si deriva rispetto a $x$ , la variabile $y$ è paragonabile ad una costante; quando invece si deriva rispetto a $y$ , la variabile $x$ è equiparabile ad una costante.

Esempio
$z=x^3+y^2-4xy$ Si consideri $z$ come funzione della sola variabile $x$ derivando quindi rispetto a quest’ultima, si consideri $y$ come una costante. $z'_x = 3x^2-4y$

Si consideri $z$ come funzione della sola variabile $y$ derivando quindi rispetto a quest’ultima, si consideri $x$ come una costante. $z'_y = 2y-4x$

Significato geometrico

Consideriamo la superficie che rappresenta una funzione $z=f(x;y)$ , il punto $P_0(x_0;y_0)$ e la sua immagine $A(x_0;y_0;z_0)$ . $A$ appartiene alla superficie $S$ . Sezionando questa superficie con un piano passante per $A$ e parallelo al piano $Oxz$ , si ottiene la curva $\gamma$ . L’equazione del piano $\alpha$ è $y=y_0$ . La curva $\gamma$ è l’insieme dei punti di $S$ che hanno ordinata costante $y_0$ .

Il coefficiente angolare della retta $r$ tangente a $\gamma$ in $A$ è $f'_x(x_0;y_0)$ . Allo stesso modo, sezionando la superficie $S$ con un piano $\beta$ passante per $A$ e parallelo al piano $Oyz$ si ottiene la curva $\delta$ . Il coefficiente angolare della retta $s$ tangente a $\delta$ in $A$ è $f'_y(x_0;y_0)$ .

Piano tangente a una superficie

Considerando ancora la superficie $S$ , le rette tangenti $r$ e $s$ individuano il piano tangente alla superficie nel punto $A$ . Per determinare la sua equazione, bisogna considerare l’equazione di un generico piano passante per $A(x_0;y_0;z_0)$ , ovvero: $z-z_0=m(x-x_0)+l(y-y_0)$ Sezionando il piano per $A$ con il piano di equazione $y=y_0$ , si ottiene la retta di equazione $z-z_0=m(x-x_0)$ La retta trovata deve essere tangente alla curva in $A$ , quindi $m=f'_x(x_0;y_0)$ così come $l=f'_y(x_0;y_0)$ Di conseguenza, se il piano tangente esiste, ha equazione: $z-z_0=f'_x(x_0;y_0)(x-x_0)+f'_y(x_0;y_0)(y-y_0)$ Isolando $z$ si ottiene: $z=f(x_0;y_0)+f'_x(x_0;y_0)(x-x_0)+f'_y(x_0;y_0)(y-y_0)$ Questa è l’equazione di un piano poiché è lineare nelle variabili $x$ , $y$ , $z$ . Il piano passa per $A$ perché le sue coordinate soddisfano l’equazione.

Esempio 1
Si determini l’equazione del piano tangente alla superficie $z=4x^2+y^22-6x$ nel suo punto $A(2;3;13)$ . Si calcolino innanzitutto le derivate parziali della funzione in $P_0(2;3)$ . $f'_x=8x-6 \xrightarrow f'_x (2;3)=8 \cdot2-6=10 \\f'_y =2y \xrightarrow{} f'_y(2;3)=2 \cdot 3=6$ L’equazione del piano tangente è: $z=13+10(x-2)+6(y-3)z=10x+6y-25$

Esempio 2
Le funzioni in due variabili possono non avere punti in cui non esiste il piano tangente. Si determini il piano tangente alla superficie $z=\sqrt{x^2+y^2}$ nel suo punto $O(0;0;0)$ .

Si calcolino le derivate parziali prime nel punto $O(0;0;0)$ .

z'_x = \lim\limits_{\Delta x \to 0} \frac{z(0+\Delta x; 0)}{\Delta x} = x_{1,2}

Con $x_1 = -1$ se $\Delta x \to 0^-$ e $x_2 = 1$ se $\Delta x \to 0^+$ .

Se non esiste la derivata parziale rispetto a $x$ , allora non esiste la derivata parziale rispetto a $y$ . La superficie è un cono indefinito con vertice in $O$ . Esistono infiniti piani che hanno in comune con il cono solo il vertice, non esiste quindi il piano tangente al cono nel suo vertice.

Differenziale

Definizione
Siano definiti i seguenti limiti:

\lim\limits_{\Delta x \to 0} \alpha = 0 \quad;\quad \lim\limits_{\Delta y \to 0} \alpha = 0

La funzione $f$ è differenziale nel punto $P_0(x_0;y_0)$ se l’incremento $\Delta f$ si può scrivere come segue:

\Delta f=f'_x (x_0;y_0) \cdot \Delta x + f'_y (x_0;y_0) \cdot \Delta y + \alpha \cdot \sqrt{(\Delta x)^2+(\Delta y)^2}

Il differenziale totale di $f$ nel punto $P_0(x_0;y_0)$ si indica con $df$ :

f'_x (x_0;y_0) \cdot \Delta x + f'_y (x_0;y_0) \cdot \Delta y

Il differenziale parziale rispetto a $x$ in $P_0(x_0;y_0)$ è $f'_x (x_0;y_0) \cdot \Delta x$

Il differenziale parziale rispetto a $y$ in $P_0(x_0;y_0)$ è $f'_y (x_0;y_0) \cdot \Delta y$

La derivata di una funzione in un punto è data dal rapporto tra il differenziale della funzione e quello della variabile indipendente.

\frac{dy}{dx} = f'(x_0)

Esempio
Si considerino $g(x;y)=x$ e $h(x;y)=y$ ed i loro differenziali totali:

dg=dx=1 \cdot \Delta x+0 \cdot \Delta y= \Delta x \quad \text{ e } \quad dh=dy=0 \cdot \Delta x+1 \cdot \Delta y= \Delta y

Risulta quindi $dx = \Delta x$ e $dy = \Delta y$ , ovvero risulta che gli incrementi $x$ e $y$ sono uguali ai differenziale totali. La differenziabilità assicura continuità.

Derivate parziali seconde

Definizione
Sia $z=(x;y)$ dotata di derivate parziali $f'_x$ e $f'_y$ , ovvero le derivate parziali prime. Se queste sono funzioni derivabili, si possono definire le derivate parziali seconde.

Derivata parziale rispetto a $x$ della derivata parziale rispetto a $x$ : $\; f''_{xx}$

Derivata parziale rispetto a $x$ della derivata parziale rispetto a $y$ : $\; f''_{xy}$

Derivata parziale rispetto a $y$ della derivata parziale rispetto a $x$ : $\; f''_{yx}$

Derivata parziale rispetto a $y$ della derivata parziale rispetto a $y$ : $\; f''_{yy}$

Le derivate $f''_{xy}$ e $f''_{yx}$ sono dette derivate miste.

Teorema di Schwartz Se $z=f(x;y)$ ha derivate seconde miste che siano continue in $I$ , allora:

\Large f''_{xy}(x;y) = f''_{yx}(x;y) \quad \forall x \in I

Matrice Hessiana

Data $f:\R^n \to \R$ , la Hessiana è la matrice quadrata $n \times n$ costituita dalle derivate parziali seconde:

\Large H_f = \bigg( f''_{x_i x_j} \bigg)_{i,\,j=1}^n = \begin{pmatrix} f''_{x_1 x_1} & f''_{x_1 x_2} & \dots & f''_{x_1 x_n} \\ f''_{x_2 x_1} & f''_{x_2 x_2} & \dots & f''_{x_2 x_1} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ f''_{x_n x_1} & f''_{x_n x_2} & \dots & f''_{x_n x_n} \\ \end{pmatrix}

Esempio

\eq{ & f(x,y)=y\sin(x)+x^3y^5+x\cos(y)\implies f: \R^2 \to \R \implies n=2 \\ \implies & f_x(x,y)=y\cos(x)+3x^2y^5+\cos(y)\;;\;f_y(x,y)=\sin(x)+5x^3y^4-x\sin(y) \\ \\ &\large H_f = \begin{pmatrix} f''_{xx} & f''_{xy} \\ f''_{yx} & f''_{yy} \\ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -y\sin(x)+6xy^5 & \cos(x)+15x^2y^4-\sin(y) \\ \cos(x)+15x^2y^4-\sin(y) & 20x^3y^3-x\cos(y) \\ \end{pmatrix} }

Studio della derivata prima

Estremi Relativi

Definizione
Dati $f: A \lto \R, \; x_0 \in A, \; x_0$ è detto punto di minimo relativo (o locale) per $f$ se:

\exists \text{I}_\epsilon(x_0) \text{ t.c. } f(x)\geqslant f(x_0) \quad \quad \quad \forall x \in I \cap A

$f(x_0)$ è detto minimo relativo (o locale).

Osservazione
Se $A \subseteq \R$ , allora:

\exists \; r > 0 \text{ t.c. } f(x)\geqslant f(x_0) \quad \quad \quad \forall x \in A, \; |x-x_0| < r

Definizione
Dati $f: A \lto \R, \; x_0 \in A, \; x_0$ è detto punto di massimo relativo (o locale) per $f$ se:

\exists \text{I}_\epsilon(x_0) \text{ t.c. } f(x)\leqslant f(x_0) \quad \quad \quad \forall x \in I \cap A

$f(x_0)$ è detto massimo relativo (o locale).

Osservazione
Se $A \subseteq \R$ , allora:

\exists \; r > 0 \text{ t.c. } f(x)\leqslant f(x_0) \quad \quad \quad \forall x \in A, \; |x-x_0| < r

I punti di minimo e massimo relativi sono detti estremi relativi.

Il Teorema di Fermat

Il Teorema di Fermat per le derivate e i punti stazionari stabilisce che una funzione ammette un punto di massimo o minimo relativo (o assoluto) in un punto $x_0$ . In questo punto la funzione è derivabile e la sua derivata prima è nulla.

Ovvero, siano $I = (a, \; b), \; f: I \lto \R, \; x_0 \in I$ .

Se si verificano entrambe le seguenti condizioni:

$f$ è derivabile in $x_0$
$x_0$ è un punto un estremo relativo per $f$

Allora la derivata della funzione nel punto $x_0$ è nulla: $f'(x_0) = 0$

Il punto $x_0$ si chiama punto critico (o punto stazionario) a prescindere dal fatto che sia anche un punto di estremo relativo o estremo assoluto per la funzione.

Osservazione 1
La condizione $f'(x_0) = 0$ è necessaria ma non sufficiente affinché $x_0$ sia un punto un estremo relativo. Infatti, se $f'(x_0) = 0$ , non è detto che $x_0$ sia un punto un estremo relativo.

Esempio 1
Sia $f(x)= x^3$ allora $f'(x) = 3x^2$

Si ponga $x_0 = 0 \implies f'(x_0) = 0$

$x_0$ non è né punto di minimo relativo né punto di massimo relativo.

Osservazione 2
La ricerca dei punti critici di $f$ all’interno dell’intervallo I è utile per cercare i punti di estremo relativo.

Ma non tutti i punti critici sono anche punti di estremo relativo e, viceversa, non tutti i punti di estremo relativo sono anche punti critici: $f$ potrebbe non essere derivabile in $x_0$ .

Esempio 2
Sia $f(x)= |x|$ , $x_0 = 0$ è un punto di minimo relativo (in particolare, anche assoluto).

$\nexists f'(x_0)$ quindi $x_0$ non è un punto critico per la funzione.

Il Teorema di Rolle

Sia $f$ una funzione continua nell’intervallo chiuso e limitato $[a; b]$ e derivabile nell’intervallo aperto $]a; b[$ , se $f$ assume lo stesso valore agli estremi dell’intervallo, ovvero $f(a) = f(b)$ allora esiste almeno un punto $x_0 \in \, ]a; \; b \, [ \text{ t.c. } f'(x_0) = 0$

Ovvero, sia $f: \;[a, \; b] \lto \R, \; f \in C(\;[a, \; b]\;)$ e derivabile in $(a, \; b)$ , se $f(a) = f(b)$ allora:

\eq{ & \exists x_0 \in \, ]a; \; b \, [ \text{ t.c. } f'(x_0) = 0 \\ \\ & \text{Che equivale a:}\\ \\ & \exists x_0 \in \, (a; \; b) \text{ t.c. } f'(x_0) = 0 }

Il grafico $G_f$ ha tangente orizzontale del punto $f(x_0)$ , la sua derivata è quinidi nulla.

Dimostrazione
Per il teorema di Weierstras:

\eq{ & \exists M = \mmax{f}{[a, \; b]} \\ & \exists m= \mmin{f}{[a, \; b]} }

Caso n°1
Sia il massimo che il minimo sono assunti negli estremi dell’intervallo:

\eq{ & \implies M = m = f(a) = f(b) \\ & \implies f(x)= k \; \text{ valore costante} \\ & \implies f'(x) = 0 \quad \forall x \in (a, \; b) }

La funzione prevede infiniti punti $x_0$ in cui il il grafico $G_f$ ha tangente orizzontale. Tutti i punti dell’intervallo $(a, \; b)$ soddisfano la tesi.

Caso n°2
Almeno uno dei due (tra massimo e minimo), viene assunto in un punto $c \in (a, \; b)$ .

Secondo il teorema di Fermat:

f'(c) = 0

Poiché $c$ è un punto un estremo relativo interno all’intervallo $(a, \; b)$ .

Osservazione
Tutte le ipotesi del teorema di Rolle sono essenziali.

Il Teorema di Cauchy

Siano $f, g: [a, \; b] \lto \R, \; f, g \in C(\;[a, \; b]\;)$ e derivabili in $(a, \; b)$ , se:

\eq{ & f'(x) \neq 0 \quad \quad \quad \forall x \in (a, \; b) \\ \\ \implies & \exists x_0 \in (a, \; b) \text{ t.c. } \frac{f(b) - f(a)}{g(b) - g(a)} = \frac{f'(x_0)}{g'(x_0)} }

Dimostrazione
Si applichi il teorema di Rolle alla funzione $h(x) = (f(b)-f(a))g(x) - (g(b)-g(a))f(x)$

\eq{ & \i h \in C([a, \; b]) \\ & \ii h \text{ derivabile in } (a, \; b) \\ & \iii h(a) = f(b)g(a)-g(b)f(a) = h(b) \\ \\ \implies & \text{ si può applicare il teorema di Rolle } \\ \implies & \exists x_0 \in \ (a; b) \ : h'(x_0) = 0 \\ \iff & (f(b)-f(a))g'(x_0) = (g(b)-g(a))f'(x_0) }

Il Teorema di Lagrange

Il Teorema di Lagrange è conosciuto anche con il nome di Teorema del valore medio.

Sia $f: [a, \; b] \lto \R, \; f \in C([a, \; b])$ e derivabile in $(a, \; b)$ , allora:

\exists x_0 \in (a, \; b) \text{ t.c. } \frac{f(b) - f(a)}{b - a} = f'(x_0)

Dimostrazione
La dimostrazione è immediata: si applichi il teorema di Cauchy a $g(x) = x$

Osservazione 1
$\left(f(b) - f(a) \right)/(b - a)$ è il coefficiente angolare della retta secante $G_f$ nei punti $A(a; \; f(a))$ e $B(b; \; f(b))$ .

La tesi afferma quindi che esiste almeno un punto $x_0$ in cui il grafico ha retta tangente parallela alla secante.

Osservazione 2
Se si pone $f(b) = f(a)$ , allora $f'(x_0) = 0$ quindi si ricava nuovamente il teoerma di Rolle.

Applicazione al teorema di Lagrange

Si voglia maggiorare l’errore assoluto commesso approssimando $\log \pi$ con $\log 3.14159$ . Sia $x_0 = 3.14159$ , allora $\pi - x_0 \leqslant 10^{-5}$ . I due valori coincidono fino alla 5° cifra decimale.

Si vuole stimare l’errore $\log \pi - \log x_0$ .

Si applichi dunque il teorema di Lagrange alla funzione $f(x)\log x$ nell’intervallo chiuso e limitato $[x_0, \; \pi]$

\eq{ & \exists c \in (x_0, \; \pi) \text{ t.c. } \log \pi - \log x_0 = f'(c)(\pi - x_0) \\ & f'(c)(\pi - x_0) < \pi - x_0 \leqslant 10^{-5} }

$\log \pi$ e $\log x_0$ coincidono fino alla 5° cifra decimale.

Criteri di Monotonia

Grazie al teorema di Lagrange si relaziona la crescenza e la decrescenza di un intervallo con il segno della derivata prima.

Teorema
Sia $f: [a, \; b] \lto \R, \; f \in C([a, \; b])$ e derivabile in $(a, \; b)$ , allora:

$f'(x) \geqslant 0$ $\forall x \in (a, \; b) \iff$ $f$ crescente in $[a,\; b]$
$f'(x) \leqslant 0$ $\forall x \in (a, \; b) \iff$ $f$ decrescente in $[a,\; b]$
$f'(x)>0$ $\forall x \in (a, \; b) \iff$ $f$ strettamente crescente in $[a,\; b]$
$f'(x)<0$ $\forall x \in (a, \; b) \iff$ $f$ strettamente decrescente in $[a,\; b]$
$f'(x)=0$ $\forall x \in (a, \; b) \iff$ $f=k$ costante in $[a,\; b]$

Dimostrazione
Si supponga $f \; \text{ crescente }$ in $[a,\; b]$ , allora:

\eq{ & \frac{f(y)-f(x)}{y-x} \geqslant 0 \quad \quad \quad \forall x, \; y \in [a,\; b], \; x \neq y \\ & f'(x) = \lim\limits_{y \to x} \frac{f(y)-f(x)}{y-x} \geqslant 0 \quad \quad \quad \forall x \in (a, \; b) }

Ciò verifica il primo punto, ma solo da destra verso sinistra, ovvero:

f'(x) \geqslant 0 \quad \quad \quad \forall x \in (a, \; b) \Longleftarrow f \; \text{ crescente in } [a,\; b]

Si supponga $f$ decrescente in $[a,\; b]$ , allora:

\eq{ & \frac{f(y)-f(x)}{y-x} \leqslant 0\quad \quad \quad \forall x, \; y \in [a,\; b], \; x \neq y \\ & f'(x) = \lim\limits_{y \to x} \frac{f(y)-f(x)}{y-x} \leqslant 0 \quad \quad \quad \forall x \in (a, \; b) }

Ciò verifica il secondo punto, ma solo da destra verso sinistra, ovvero:

f'(x) \leqslant 0 \quad \quad \quad \forall x \in (a, \; b) \Longleftarrow f\text{ decrescente in } [a,\; b]

Si dimostrino ora le implicazioni sopra citate (da sinistra verso destra).

I) crescente: $f'(x)$ maggiore

Se $f'(x) \geqslant 0 \; \forall x \in (a, \; b)$ , secondo il teorema di Lagrange:

\eq{ & \forall x, \; y \in [a, \; b], \; x \neq y \\ & \exists \xi \; \text{strettamente compreso tra } x \text{ e } y \text{ t.c. } \\ & \frac{f(y)-f(x)}{y-x} = f'(\xi) \geqslant 0 \\ & \frac{f(y)-f(x)}{y-x} \geqslant 0 \iff f \; \text{ crescente in } [a, \; b] }

II) strettamente crescente: $f'(x)$ strettamente maggiore

Se $f'(x) > 0 \; \forall x \in (a, \; b)$ , secondo il teorema di Lagrange:

\eq{ & \forall x, \; y \in [a, \; b], \; x \neq y \\ & \exists \xi \; \text{strettamente compreso tra } x \text{ e } y \text{ t.c. } \\ & \frac{f(y)-f(x)}{y-x} = f'(\xi) > 0 \\ & \frac{f(y)-f(x)}{y-x} > 0 \iff f \; \text{strettamente crescente in } [a, \; b] }

III) decrescente: $f'(x)$ minore

Se $f'(x) \leqslant 0 \; \forall x \in (a, \; b)$ , secondo il teorema di Lagrange:

\eq{ & \forall x, \; y \in [a, \; b], \; x \neq y \\ & \exists \xi \; \text{strettamente compreso tra } x \text{ e } y \text{ t.c. } \\ & \frac{f(y)-f(x)}{y-x} = f'(\xi) \leqslant 0 \\ & \frac{f(y)-f(x)}{y-x} \leqslant 0 \iff f \; \text{ decrescente in } [a, \; b] }

IV) strettamente decrescente: $f'(x)$ strettamente minore

Se $f'(x) < 0 \; \forall x \in (a, \; b)$ , secondo il teorema di Lagrange:

\eq{ & \forall x, \; y \in [a, \; b], \; x \neq y \\ & \exists \xi \; \text{strettamente compreso tra } x \text{ e } y \text{ t.c. } \\ & \frac{f(y)-f(x)}{y-x} = f'(\xi) < 0 \\ & \frac{f(y)-f(x)}{y-x} < 0 \iff f \; \text{strettamente decrescente in } [a, \; b] }

V) costante

Se $f$ assume valori costanti, allora la sua derivata prima è nulla: $f'(x) = 0 \; \forall x \in (a, \; b)$

Si dimostri ora l’implicazione del punto $v.$ da destra verso sinistra utilizzando nuovamente il teorema di Lagrange:

\eq{ & \forall x, \; y \in [a, \; b], \; x \neq y \\ & \exists \xi \; \text{strettamente compreso tra } x \text{ e } y \text{ t.c. } \\ & \frac{f(y)-f(x)}{y-x} = f'(\xi) = 0 \\ & f(y) = f(x) \iff f \text{ costante in } [a, \; b] }

Nota Bene:

L’affermazione $\exists \xi \; \text{strettamente}$ compreso tra $x$ e $y$ si rappesenta in simboli matematici con:

\eq{ & \i \xi \in (x, \; y) \implies x < y \\ & \ii \xi \in (y, \; x) \implies y < x }

Osservazione 1
In $iii.$ e $iv.$ non vale l’implicazione inversa ” $\Longleftarrow$ “

Esempio 1
Sia $f(x)= x^3$ allora $f$ è $\text{strettamente} \; \text{ crescente }$ ma la sua derivata prima non è detto che si mantenga sempre positiva, infatti $f'(0) = 0$

Osservazione 2
Nel teorema, è importante che l’insieme di definizione sia un intervallo.

Esempio 2

\eq{ & f(x)= \sis{ x & x \in [0, \; 1] \\ x-2 \quad & x \in [2, \; 3] } \\ \\ & f \in C([0, \; 1] \cup[2, \; 3]) \\ \\ & f'(x) = 1 > 0 \quad \forall x \in [0, \; 1] \cup[2, \; 3] \\ }

$f$ non è monotona in $[0, \; 1] \cup[2, \; 3]$ il dominio è dato da due intervalli disgiunti. Si può applicare il teorema dei criteri di monotonia separatamente nell’intervallo $[0, \; 1]$ e nell’intervallo $[2, \; 3]$ , infatti:

$f \; \text{strettamente} \; \text{ crescente }$ in $[0, \; 1]$
$f \; \text{strettamente} \; \text{ crescente }$ in $[2, \; 3]$

Conseguenza del teorema sui criteri di monotonia

Il teorema enunciato di seguito è una conseguenza del teorema dei criteri di monotonia.

Teorema
Sia $f: (a, \; b) \lto \R$ e e derivabile in $(a, \; b)$ con $x_0 \in (a, \; b)$ , se:

$f'(x_0) = 0$
$\exists f''(x_0)$

Allora:

$f''(x_0) > 0 \implies x_0$ punto di minimo relativo per $f$
$f''(x_0) < 0 \implies x_0$ punto di massimo relativo per $f$

Dimostrazione $(i.)$

\eq{ & \lim\limits_{x \to x_0} \frac{f'(x)-f'(x_0)}{x-x_0} = f''(x_0) > 0 \quad \text{ per ipotesi} \\ & \implies \frac{f'(x)}{x-x_0} > 0 \text{ definitivamente per }x \to x_0 \\ & \text{ per il teorema della permanenza del segno} \\ \\ & f'(x) > 0 \text{ per } x > x_0 \text{ definitivamente per } x \to x_0 \\ & f'(x) < 0 \text{ per } x < x_0 \text{ definitivamente per } x \to x_0 \\ }

Osservazione
Non è contemplato un ipotetico caso $(iii.)$ in cui $f''(x_0) = 0$ poiché in tal caso $x_0$ può essere di punto di massimo relativo, minimo relativo o nessuno dei due.

Esempio 1

\eq{ & f(x)= x^4 \\ & f'(x) = 4x^3 \implies f'(0) = 0 \\ & f''(x) = 12x^2 \implies f''(0) = 0 \\ }

$x_0 = 0$ punto di minimo relativo per $f$

Esempio 2

\eq{ & f(x)= -x^4 \\ & f'(x) = -4x^3 \implies f'(0) = 0 \\ & f''(x) = -12x^2 \implies f''(0) = 0 \\ }

$x_0 = 0$ punto di massimo relativo per $f$

Esempio 3

\eq{ & f(x)= x^3 \\ & f'(x) = 2x^2 \implies f'(0) = 0 \\ & f''(x) = 4x \implies f''(0) = 0 \\ }

$x_0 = 0$ non è né un punto di minimo relativo né di massimo relativo.

Punti stazionari

I punti stazionari (o punti critici) sono punti interni al dominio della funzione e annullano la derivata prima. Considerando $y = f(x)$ una funzione che ha per dominio l’insieme $I = \ ]a; b \ [$ e sia $x_0 \in I$ . $x_0$ è un punto stazionari se $f$ è derivabile in esso e se $f'(x_0) = 0$ .

Crescenza e decrescenza della funzione

Dopo aver trovato i punti stazionari della funzione, si prosegue studiando il segno della derivata prima in modo da trovare i punti di massimo e minimo relativi. Si pone $f'(x) > 0$ e si studia il suo comportamento. Se $f'(x) < 0$ in $I^-(x_0)$ e $f'(x) > 0$ in $I^+(x_0)$ allora $x_0$ è un punto di minimo relativo e si indica con $m$ . Se $f'(x) > 0$ in $I^-(x_0)$ e $f'(x) < 0$ in $I^+(x_0)$ allora $x_0$ è un punto di massimo relativo e si indica con $M$ .

Concavità e Convessità

Teorema n°1
Siano $I \subseteq \R$ (intervallo) e $f: I \lto \R$

$f$ è convessa in I se:

\eq{ & \forall \; x_0, \; x_1 \in I \quad \quad \quad \forall \lambda \in [0, \; 1] \\ & f(\lambda x_0 + (1-\lambda)x_1) \leqslant \lambda f(x_0) +(1-\lambda)f(x_1) }

$f$ è concava in I se $-f$ è convessa, ovvero se:

\eq{ & \forall \; x_0, \; x_1 \in I \quad \quad \quad \forall \lambda \in [0, \; 1] \\ & f(\lambda x_0 + (1-\lambda)x_1) \geqslant \lambda f(x_0) +(1-\lambda)f(x_1) }

$f$ è strettamente convessa in I se:

\eq{ & \forall \; x_0 \neq x_1 \in I \quad \quad \quad \forall \lambda \in (0, \; 1) \\ & f(\lambda x_0 + (1-\lambda)x_1) < \lambda f(x_0) +(1-\lambda)f(x_1) }

$f$ è strettamente concava in I se:

\eq{ & \forall \; x_0 \neq x_1 \in I \quad \quad \quad \forall \lambda \in (0, \; 1) \\ & f(\lambda x_0 + (1-\lambda)x_1) > \lambda f(x_0) +(1-\lambda)f(x_1) }

Osservazione 1

\eq{ & \lambda \in [0, \; 1] \implies \lambda x_0 +(1-\lambda)x_1 \in [x_0, \; x_1] }

Si supponga $x_0 < x_1$ e si consideri:

\begin{equation} \begin{split} z : &\quad [0, \; 1] \lto [x_0, \; x_1] \\ &\quad \lambda \too \lambda x_0 +(1-\lambda)x_1 \end{split} \end{equation}

Se $x \in [x_0, \; x_1]$ allora è possibile trovare $\lambda \in [0, \; 1]$ tale che

x = \lambda x_0 +(1-\lambda)x_1 \iff \lambda = \frac{x_1 -x}{x_1 - x_0} \in [0, \; 1]

Significato geometrico
Una funzione è convessa se, comunque si prendano due punti nel suo dominio e si traccino le rette secanti, il grafico si trova sempre al di sotto delle secanti. (Ha “la pancia” rivolta verso l’alto).

Una funzione è concava se, comunque si prendano due punti nel suo dominio e si traccino le rette secanti, il grafico si trova sempre al di sopra delle secanti. (Ha “la pancia” rivolta verso il basso).

Esempio 1
La funzione $f(x)= x^2$ è strettamente convessa in $\R$ .

Esempio 2
La funzione $f(x)= |x|$ è convessa in $\R$ poiché se si sceglielgono i punti $x_0, \; x_1$ di segno concorde, la secante coincide con la funzione stessa.

Teorema n°2 Se $f$ è convessa o concava in I allora è continua in $\oI$ , ovvero $f \in C(\oI)$ . Negli estremi dell’intervallo può non essere continua.

Esempio 3

f(x)= \sis{ 2, \quad & x = 0 \\ x^2, & x \in (0, \; 1] }

$f$ è convessa quindi $f \in C \left( \; (0, 1] \; \right)$ ma non è continua in $0$ , dunque $\inf{f}{[0, 1]} = 0, \; \nexists \mmin{f}{[0, 1]}$ .

Nota Bene Una funzione convessa può non avere punto di minimo.

Teorema n°3
Sia $f: [a, \; b] \lto \R$ convessa in $[a, \; b]$ , allora $f$ ammette punto di massimo. Sia $f: [a, \; b] \lto \R$ concava in $[a, \; b]$ , allora $f$ ammette punto di minimo.

Dimostrazione n°3
I) convessità
Si ponga $M = \mmax{\{f(a), \; f(b)\}}{}$ Il punto di massimo è assunto in uno dei due estremi, infatti:

\eq{ & \forall \lambda \in [0, \; 1] \\ & f(\lambda a + (1-\lambda)b) \leqslant \lambda f(a) +(1-\lambda)f(b) \leqslant \lambda M + (1-\lambda)M = M }

Al variare di $\lambda$ nell’intervallo $[0, \; 1]$ , $\lambda a + (1-\lambda)b$ indica un generico $x \in [a, \; b]$ Ovvero:

f(x)\leqslant M \quad \quad \quad \forall x \in [a, \; b]

II) concavità
Si ponga $m= \mmin{\{f(a), \; f(b)\}}{}$ Il punto di minimo è assunto in uno dei due estremi, infatti:

\eq{ & \forall \lambda \in [0, \; 1] \\ & f(\lambda a + (1-\lambda)b) \geqslant \lambda f(a) +(1-\lambda)f(b) \leqslant \lambda m+ (1-\lambda)m= m }

Al variare di $\lambda$ nell’intervallo $[0, \; 1]$ , $\lambda a + (1-\lambda)b$ indica un generico $x \in [a, \; b]$ Ovvero:

f(x)\geqslant m\quad \quad \quad \forall x \in [a, \; b]

Criteri di Convessità

Teorema introduttivo Sia $I = (a, \; b), \; f: I \lto \R$ derivabile in I, allora $f$ è convessa in I se e solo se:

f(x)\geqslant f(x_0)+f'(x_0)(x - x_0) \quad \quad \quad \forall x, \; x_0 \in I

Nota Bene Per le funzioni concave, vale la disuguaglianza opposta.

Teorema Sia $I = (a, \; b), \; f: I \lto \R$ derivabile due volte in I, allora:

$f$ convessa in I
$f'$ crescente in I
$f''(x) \geqslant 0$ $\forall x \in I$

Tale che 1. $\iff$ 2. $\iff$ 3.

$f$ strettamente convessa in I
$f'$ strettamente crescente in I
$f''(x) \geqslant 0$ $\forall x \in I$
$f''(x) > 0$ $\forall x \in I$

Tale che 4. $\iff$ 5. $\implies$ 6. e 7. $\implies$ 5. $\iff$ 4.

Osservazione
$f$ strettamente} convessa in I non implica $f''(x) > 0 \quad \forall x \in I$ Implica solo $f''(x) \geqslant 0 \quad \forall x \in I$

Esempio $f(x)= x^4$ è strettamente convessa, ma la sua derivata seconda è nulla.

Studio dei punti di non derivabilità

Se $f$ è continua in $x_0$ e $f_+'(x_0) \neq f_-'(x_0)$ si possono presentare i casi descritti di seguito.

Punto angoloso

$\exists f_+'(x_0) \neq \pm \infty$ oppure $\exists f_-'(x_0) \neq \pm \infty$ , allora $P_0(x_0, \; f(x_0))$ è un punto angoloso per $G_f$ .

Ovvero se:

\eq{ & \lim\limits_{h\to0^+} \frac{f(x_0 + h) - f(x_0)}{h} = c_1 \in \R \\ & \lim\limits_{h\to0^-} \frac{f(x_0 + h) - f(x_0)}{h} = c_2 \in \R \\ & c_1 \neq c_2 }

Esempio 1
La funzione $f(x) = |x|$ presenta un punto angolo in $x_0 = 0$

\eq{ & \lim\limits_{h\to0^-} \frac{f(x_0 + h) - f(x_0)}{h} = \lim\limits_{h\to0^-} \frac{f(h)}{h} = \lim\limits_{h\to0^-} \frac{|h|}{h} = \lim\limits_{h\to0^-} \frac{-h}{h} = -1 \\ \\ & \lim\limits_{h\to0^+} \frac{f(x_0 + h) - f(x_0)}{h} = \lim\limits_{h\to0^+} \frac{f(h)}{h} = \lim\limits_{h\to0^+} \frac{|h|}{h} = \lim\limits_{h\to0^+} \frac{+h}{h} = 1 \\ \\ & -1 \neq 1 }

Cuspide

\eq{ & f_+'(x_0) = + \infty \quad \text{ e } \quad \; f_-'(x_0) = - \infty \\ & \text{Oppure viceversa } \\ & f_+'(x_0) = - \infty \quad \text{ e } \quad \; f_-'(x_0) = + \infty \\ }

allora $P_0(x_0, \; f(x_0))$ è una cuspide per $G_f$ Ovvero se:

\eq{ & \lim\limits_{h\to0^+} \frac{f(x_0 + h) - f(x_0)}{h} = +\infty \quad \quad \quad \lim\limits_{h\to0^-} \frac{f(x_0 + h) - f(x_0)}{h} = -\infty \\ & \text{Oppure } \\ & \lim\limits_{h\to0^+} \frac{f(x_0 + h) - f(x_0)}{h} = -\infty \quad \quad \quad \lim\limits_{h\to0^-} \frac{f(x_0 + h) - f(x_0)}{h} = +\infty }

Esempio 2
Si consideri, la funzione $f(x)= \sqrt{|x|}$ con $x_0 = 0$ .

\eq{ & \lim\limits_{h\to0^+} \frac{f(x_0 + h) - f(x_0)}{h} = \lim\limits_{h\to0^+} \frac{f(h)}{h} = \lim\limits_{h\to0^+} \frac{\sqrt{|h|}}{h} = \lim\limits_{h\to0^+} \frac{\sqrt{+h}}{h} = +\infty \\ & \lim\limits_{h\to0^-} \frac{f(x_0 + h) - f(x_0)}{h} = \lim\limits_{h\to0^-} \frac{f(h)}{h} = \lim\limits_{h\to0^-} \frac{\sqrt{|h|}}{h} = \lim\limits_{h\to0^-} \frac{\sqrt{-h}}{h} = -\infty }

$f(x)$ presenta un punto di cuspide in $x_0$ poiché $f_+'(0) = + \infty$ e $f_-'(0) = - \infty$

$f(x)= - \sqrt{|x|}$ presenta una cuspide in $x_0 = 0$ perché $f_+'(0) = - \infty$ e $f_-'(0) = + \infty$

Flessi

Definizione Siano $I \subseteq \R$ (intervallo), con $f: I \lto \R$ e $x_0 \in I$ , se:

\eq{ & \exists a, \; b \in I \text{ t.c. } a < x_0 < b \\ \\ & f \text{ convessa in } [a, \; x_0] \\ & f \text{ concava in } [x_0, \; b] \\ & \text{ (o viceversa) } }

Allora $x_0$ è detto punto di flesso per $f$ .

Teorema n°1 Sia $I = (a, \; b), \; f: I \lto \R$ , derivabile in I, allora se:

$x_0 \in I$ è un punto di flesso per $f$
$f$ è derivabile due volte in $x_0$ (esiste la derivata seconda in $x_0$ )

Allora $f''(x_0) = 0$

Il grafico $G_f$ presenta una convessità in $I^-$ e una concavità in $I^+$ (o viceversa). La retta tangente nel punto di flesso si chiama tangente inflessionale.

Osservazione 1 I punti di flesso vanno ricercati dove si annulla la derivata seconda. Questa è però condizione necessaria e non sufficiente: $f''(x_0) = 0 \not\!\!\!\implies x_0$ punto di flesso.

Esempio 1

\eq{ & f(x)= x^4 \\ & f''(0) = 0 }

Non è un punto di flesso.

Dimostrazione n°1
Si supponga $f$ convessa in $I^-(x_0)$ e concava in $I^+(x_0)$ (o viceversa).

Allora:

\eq{ & f' \text{ crescente } \forall x \in I^-(x_0) \\ & f' \text{ decrescente } \forall x \in I^+(x_0) \\ \implies & x_0 \text{ punto di massimo relativo per } f'(x) \\ \implies & f''(x_0) = 0 \text{ secondo il teorema di Fermat} }

Nota Bene: Si ricordi che:

$I^-(x_0)$ è un intorno sinistro di $x_0$
$I^+(x_0)$ è un intorno destro di $x_0$
$I(x_0)$ è un intorno circolare di $x_0$

Teorema n°2 Sia $I = (a, \; b), \; f: I \lto \R$ derivabile $(n-1)$ volte in I, con $n \geqslant 2$ . Se $f$ ammette derivata $n$ -esima in $x_0 \in I$ e se:

f'(x_0) = f''(x_0) = \; ... \; = f^{(n-1)}(x_0) = 0, \; f^{(n)}(x_0) \neq 0

Allora: I) $n$ è pari: $f^{(n)}(x_0) > 0$ $\implies x_0$ punto di minimo relativo per $f$ $f^{(n)}(x_0) < 0$ $\implies x_0$ punto di massimo relativo per $f$

II) $n$ è dispari $f^{(n)}(x_0) = 0$ $\implies x_0$ punto di flesso

Osservazione 2 A questo punto si è in grado di trovare i punti di massimo o minimo relativo e di flesso.

Si cerchino i punti critici (o stazionari), ovvero colori i quali appartengono al dominio della funzione e annullano la derivata prima. Si studi il segno della derivata seconda. Poiché $n$ è pari, ovvero $f^{(n)}(x_0)$ , allora:

se $f^{(n)}(x_0)$ è maggiore di zero, allora $x_0 \text{ punto di minimo relativo per } f$
se $f^{(n)}(x_0)$ è minore di zero, allora $x_0 \text{ punto di massimo relativo per } f$
se $f^{(n)}(x_0)$ è uguale di zero, allora si studi il segno della derivata terza.

Poiché $n$ dispari, se la derivata terza è nulla, allora è un punto di flesso. Altrimenti si studi il segno della derivata quarta e, poiché $n$ pari, si torna nel caso della derivata seconda e così via.

Esempio 2

\eq{ & f(x)= x^3 \\ & f'(x) = 3x^2 \quad \quad \quad f'(x_0) = 0 \iff x_0 = 0 \\ & f''(x) = 6x f''(x_0) = 0 \\ & f^{(3)}(x) = 6 f^{(3)}(x_0) = 6 \neq 0 \\ }

Poiché $n = 3$ , $x_0 = 0$ punto di flesso.

Esempio 3

\eq{ & f(x)= x^4 \\ & f'(x) = 4x^3 \quad \quad \quad f'(x_0) = 0 \iff x_0 = 0 \\ & f''(x) = 12x^2 f''(x_0) = 0 \\ & f^{(3)}(x) = 24x f^{(3)}(x_0) = 0 \\ & f^{\text{IV}}(x) = 24 f^{\text{IV}}(x_0) = 24 \\ }

$f^{\text{IV}}(x_0) > 0 \implies x_0 \text{ punto di minimo relativo per } f$

Flesso ascendente

$x_0$ è un punto di flesso ascendente se $f(x)$ è concava verso il basso in $I^-(x_0)$ e concava verso l’alto in $I^+(x_0)$ .

Flesso discendente

$x_0$ è un punto di flesso discendente se $f(x)$ è concava verso l’alto in $I^-(x_0)$ e concava verso il basso in $I^+(x_0)$ .

Flesso a tangente verticale

Se in un intorno di zero i limiti destro e sinistro sono infiniti e di segno uguale, la funzione presenta un fesso a tangente verticale. \ Il punto $x_0$ è un punto di fesso a tangente verticale se:

\lim\limits_{x\to0^+} \frac{f(x_0 + h) - f(x_0)}{h} = +\infty ; \lim\limits_{x\to0^-} \frac{f(x_0 + h) - f(x_0)}{h} = +\infty

oppure

\lim\limits_{x\to0^+} \frac{f(x_0 + h) - f(x_0)}{h} = -\infty ; \lim\limits_{x\to0^-} \frac{f(x_0 + h) - f(x_0)}{h} = -\infty

Si consideri, per esempio, la funzione $f(x) = \sqrt[3]{x}$ I flessi a tangente verticale sono tipici delle radici ad indice dispari

Regole di De L’Hopital

Siano $I = (a, \; b), \; f, g: I \lto \R$ derivabili in $x_0 \in I$ . Sia $f(x_0) = g(x_0) = 0$ e sia $g'(x_0) \neq 0$ , allora:

\lim\limits_{x \to x_0} \frac{f(x)}{g(x)} \text{ è nella forma } \frac{0}{0}

\eq{ \implies & \lim\limits_{x \to x_0} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim\limits_{x \to x_0} \frac{f(x_0)+f'(x_0)(x - x_0)+o(x - x_0)}{g(x_0)+g'(x_0)(x - x_0)+o(x - x_0)} = \\ \\ & = \lim\limits_{x \to x_0} \frac{f'(x_0) + \frac{o(x - x_0)}{x - x_0}}{g'(x_0) + \frac{o(x - x_0)}{x - x_0}} = \frac{f'(x_0)}{g'(x_0)} }

Allora:

\eq{ & \lim\limits_{x \to x_0} \frac{f'(x)}{g'(x)} \text{ può essere utile per calcolare } \lim\limits_{x \to x_0} \frac{f(x)}{g(x)} \\ & \text{ quando si trova nelle forme } \frac{0}{0}, \; \frac{\pm \infty}{\pm \infty} }

Teorema: Regola di De L’Hopital
Siano $I \subseteq \R$ (un intervallo) con $x_0 \in I$ , siano $f, g: I \setminus \{x_0\} \lto \R$ derivabili in $I \setminus \{x_0\}$ , entrambe infinitesime o entrambe infinite per $x \to x_0$ , se: I) $g'(x) \neq 0$ definitivamente per $x \lto x_0$ II) $\exists \lim\limits_{x \to x_0} \frac{f'(x)}{g'(x)} = l \in \overline{\R}$

Allora:

\exists \lim\limits_{x \to x_0} \frac{f(x)}{g(x)} = l

Nota Bene: Il teorema di De L’Hopital vale anche per $x \to x_0^{\pm}$ o $x \to \pm \infty$

Osservazione Il teorema di De L’Hopital dà una codizione sufficiente ma non necessaria per l’esistenza del limite nella forma indeterminata $\frac{0}{0}$ o $\frac{\pm \infty}{\pm \infty}$

Esempio
Siano $f(x)= x^2 \sin 1/x, \; g(x) = \sin x$ , per $x \to 0$

\eq{ & \lim\limits_{x \to 0} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim\limits_{x \to 0} \frac{x^2 \sin \frac{1}{x}}{\sin x} = \lim\limits_{x \to 0} \frac{x}{\sin x} \cdot x \sin \frac{1}{x} = 0 \\ \nexists & \lim\limits_{x \to 0} \frac{f'(x)}{g'(x)} }

Osservazione Se anche $\lim\limits_{x \to 0} f'(x) / g'(x)$ si presenta nella forma indeterminata o $\frac{0}{0}$ o $\frac{\pm \infty}{\pm \infty}$ e $f', \, g'$ soddisfano le ipotesi del teorema di De L’Hopital, allora è possibile applicare il teorema di De L’Hopital considerando:

\lim\limits_{x \to x_0} \frac{f''(x)}{g''(x)}

Utilizzo di De L’Hopital per le successioni

\eq{ & \exists \lim\limits_{x \to + \infty} f(x)= l \implies \exists \lim\limits_{n \to + \infty} f(n) = l \\ & \forall x_n \to + \infty \quad f(x_n) \to l }

Non è possibile applicare il teorema di De L’Hopital alle successioni poiché non sono derivabili, ma è invece possibile calcolare il limite del rapporto delle funzioni e ottenere il limite di partenza.

Teorema
Sia $f \in C([a, \; b])$ e derivabile in $[a, \; b] \setminus \{x_0\}$ Se esiste ed è limitato:

\lim\limits_{x \to x_0} f'(x) = l \in \R

Allora $f$ è derivabile in $x_0$ e $f'(x_0) = l$

Dimostrazione

\eq{ & \lim\limits_{x \to x_0} \frac{f(x)- f(x_0)}{x - x_0} = \lim\limits_{x \to x_0} \frac{f'(x)}{1} = l \in \R \\ & \exists f'(x_0) = l }

Osservazione 1 Se $x_0 = a$ si considera il limite per $x \to x^+$ . Se invece $x_0 = b$ , si considera il limite per $x \to x^-$ .

Osservazione 2

\eq{ & \exists \lim\limits_{x \to x_0} f'(x) = \pm \infty \\ & f'(x_0) = + \infty }

Si noti però che NON si sta affermando $f$ derivabile in $x_0$ .

Osservazione 3 Il teorema afferma che $f$ è derivabile in $[a, \; b]$ e di consegnenza continua nello stesso intervallo, allora $f'$ non può avere discontinuità eliminabili in $[a, \; b]$ .

Teorema n°2 Se $f$ è derivabile in $[a, \; b]$ , allora $f'$ non può avere discontinuità eliminabili, né discontinuità di tipo salto, né può essere:

\lim\limits_{x \to x_0^+} f'(x) = \pm \infty \quad \text{ oppure } \quad \lim\limits_{x \to x_0^-} f'(x) = \pm \infty

L’unico tipo di discontinuità che può verificarsi è:

\nexists \lim\limits_{x \to x_0^+} f'(x) \quad \text{ oppure } \quad \nexists \lim\limits_{x \to x_0^-} f'(x)

Osservazione 4

\eq{ & \text{Se } \lim\limits_{x \to x_0^+} f'(x) \neq \lim\limits_{x \to x_0^-} f'(x) \\ & \implies f \text{ non è derivabile in } x_0 \\ \\ & \text{Viceversa se } \lim\limits_{x \to x_0^+} f'(x) = \lim\limits_{x \to x_0^-} f'(x) \\ & \implies f \text{ è continua in } x_0 \\ & \implies \exists f'(x_0) = l }

Nota Bene: Si presti molta attenzione nel verificare la continuità.

Formula di Taylor

Formula di Taylor con resto di Peano

Teorema Formula di Taylor con resto di Peano Siano $I \subseteq \R$ (intervallo), $f: I \lto \R$ derivabile $n$ volte in I. Allora $\forall x, \; x_0 \in I$

\eq{ f(x)= & \\ & = f(x_0) + \frac{f'(x_0)}{1!}(x-x_0) + \frac{f''(x_0)}{2!}(x-x_0)^2 + ... \\ & + \frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n + \text{R}_n(x) }

con resto $\text{R}_n(x) \text{ t.c. }$

\lim\limits_{x \to x_0} \frac{\text{R}_n(x)}{(x-x_0)^n} = 0

ovvero, il resto di Peano:

\text{R}_n(x) = o\left( (x-x_0)^n \right) \quad \quad \quad \text{ per } x \to x_0

Quanto scritto fin’ora, può anche essere espresso mediante la formula (o sviluppo) di Taylor di ordine $n$ e punto iniziale $x_0$ con resto Peano:

f(x)= \sum_{k = 0}^n \frac{f^{(k)}(x_0)}{k!} (x-x_0)^k + o( (x-x_0)^n ) \quad \quad \quad\text{ per } x \to x_0

$\sum_{k = 0}^n \frac{f^{(k)}(x_0)}{k!} (x-x_0)^k$ è detto polinomio di Taylor di ordine $n$

Dimostrazione
Per dimostrare la formula di Taylor di ordine $n$ , è necessario usare $n$ volte De L’Hopital.

Osservazione Nella formula di Taylor $x_0 \in \R$ . Nella formula di De L’Hopital $x_0 \in \overline{\R}$ .

Formula di Taylor con resto di Lagrange

Teorema Formula di Taylor con resto di Lagrange Siano $I \subseteq \R$ (intervallo), $f: I \lto \R$ derivabile $n+1$ volte in I. Allora $\exists \xi \; \text{strettamente compreso tra } x \text{ e } x_0 \text{ t.c. }$

\eq{ f(x)= & \\ & = f(x_0) + \frac{f'(x_0)}{1!}(x-x_0) + \frac{f''(x_0)}{2!}(x-x_0)^2 + ... \\ & + \frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n + \text{R}_n(x) }

Con resto di Lagrange:

\eq{ & \text{R}_n(x) = \frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}(x-x_0)^{n+1} \quad \quad \quad \forall x, x_0 \in I \\ & o\left( (x-x_0)^n \right) s\text{ per } x \to x_0 }

La formula di Taylor di ordine $n$ e punto iniziale $x_0$ con resto di Lagrange:

f(x)= \sum_{k = 0}^n \frac{f^{(k)}(x_0)}{k!} (x-x_0)^k + \frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}(x-x_0)^{n+1} \quad \quad \quad \forall x, x_0 \in I

Osservazione 1 Rispetto alla formula di Taylor con il resto di Peano, è necessaria una derivata in più: $n+1$ .

Lo sviluppo di Taylor con il resto di Peano di punto iniziale $x_0$ è utile per lo studio locale in un intorno di $x_0$ , mentre lo sviluppo di Taylor con il resto di Lagrange è adatto per valutazioni numeriche o per lo studio di proprietà globali.

Sviluppo di Mac Laurin

Definizione Lo sviluppo di Taylor, con qualsiasi tipo di resto, di punto iniziale $x_0 = 0$ è detto sviluppo di Mac Laurin.

Sviluppi di Mac Laurin di funzioni trigonometriche

Si prenda ad esempio la funzione $\sin(x)$ :

\eq{ & \sin(x) = \sum_{k = 0}^{\infty} \frac{f^{(k)}(x_0)}{k!}(x-x_0)^k = \sum_{k = 0}^{\infty} \frac{f^{(k)}(0)}{k!}(x-0)^k = \\ & = f(0) + \frac{f'(0)}{1!}x + \frac{f''(0)}{2!}x \; + \; ... \; = \\ & = 0 + \left( \frac{1}{1!} x \right) + 0 + \left( \frac{-1}{3!} x^3 \right) + 0 + \left( \frac{1}{5!} x^5 \right) +\; ... \; = \\ & = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} \; - \; ... \; = \\ }

Si noti come si può riscrivere la sommatoria sopra descritta con la notazione sigma grazie al seguente schema:

\large \frac{(-1)^n}{(2n+1)!} x^{2n+1} , \quad \forall n \in \N \cup \{ 0 \}

Sostituendo questo nello sviluppo di Mac Laurin del seno, si ottiene:

\eq{ \sin(x) =& \sum_{k = 0}^{\infty} \frac{f^{(k)}(x_0)}{k!}(x-x_0)^k =\\ =& \sum_{k = 0}^{\infty} \frac{(-1)^k \cdot x^{2k+1}}{(2k+1)!} = \\ =&\;x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} \; - \; ... \; = \\ }

Data invece la funzione $\cos(x)$ :

Poiché il coseno è la derivata del seno, si può scrivere:

\eq{ \cos(x) =& \frac{d}{dx} \sin(x) = \\ \\ =& D \left[ {\sin(x)} \right] = \\ \\ =& \frac{d}{dx}\sum_{k = 0}^{\infty}\frac{(-1)^k \cdot x^{2k+1}}{(2k+1)!} = \\ \\ =& \frac{d}{dx} \left( x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} \; - \; ... \; \right) = \\ \\ =& 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} \; - \; ... \; = \\ \\ & = \sum_{k = 0}^{\infty} \frac{(-1)^k \cdot x^{2k}}{(2k)!} }

Derivata di ordine superiore

Siano $I = (a, \; b), \; f: I \lto \R$ . Se $f$ è derivabile in I, allora la sua derivata è così definita:

\begin{equation} \begin{split} f' : &\quad I \lto \R \\ &\quad x\too f'(x) \end{split} \end{equation}

Se $f \in C^1(I)$ , ovvero se la derivata prima è continua nell’insieme I, allora può essere derivabile in un punto $x_0 \in I$ . In tal caso, la derivata della derivata prima è detta derivata seconda di $f$ in $x_0$ e viene indicata con le seguenti scritture:

f''(x_0), \quad D^2 f(x_0), \quad \frac{d^2 f}{d x^2}(x_0), \quad D^2 f(x)|_{x = x_0}, \quad \frac{d^2f}{dx^2}(x)|_{x = x_0}

Se $f'$ è derivabile in tutto l’intervallo I, allora:

\begin{equation} \begin{split} f'' : &\quad I \lto \R \\ &\quad x\too f'(x) \end{split} \end{equation}

Se $f'' \in C^0(I)$ , allora $f \in C^2(I)$ ovvero ” $f$ è di classe C 2 nell’intervallo I”.

Se $f''$ è derivabile in $x_0$ , la derivata della derivata seconda (ovvero la derivata della derivata della derivata prima) è detta derivata terza di $f$ in $x_0$ e viene indicata con le seguenti scritture:

f'''(x_0), \quad D^3 f(x_0), \quad \frac{d^3 f}{d x^3}(x_0), \quad D^3 f(x)|_{x = x_0}, \quad \frac{d^3 f}{dx^3}(x)|_{x = x_0}

Definizione
$f \in C^n(I)$ se esistono e sono continue in $I=(a, \; b)$ le sue derivate fino all’ordine $n$ .

La derivata $n$ -esima di $f$ in $x_0$ si indica con le seguenti scritture:

f^{(n)}(x_0), \quad D^n f(x_0), \quad \frac{d^n f}{d x^n}(x_0)

Nota Bene Se si esprime $n$ con numeri romani, ad esempio $f^{\text{IV}} (x_0)$ , non sono necessarie le parentesi attorno ad $n$ . Se invece $n$ è espresso con numeri arabi o lettere, ad esempio $f^{(4)} (x_0)$ o $f^{(M)} (x_0)$ , sono necessarie le parentesi.

Osservazione
Si è già dimostrato che se $f$ è derivabile è anche continua.

Se $f$ è derivabile $n$ -volte nell’intervallo aperto limitato $I=(a, \; b)$ anche le derivate $(n-1)$ -esima, $(n-2)$ -esima e così via fino ad $f$ sono tutte funzioni continue.

Perciò si può definire $C^n(I)$ come l’insieme delle funzioni $n$ -volte derivabili in I con derivata $n$ -esima continua: ciò implicherà che tutte le derivate di ordine inferiore $(n-1, \; n-2, \; ..., \; 2, \; 1)$ siano continue.

Funzione infinitamente derivabile

Definizione

C^{\infty}(a, \; b) := \bigcap_{{n \in \N}} C^n (a, \; b)

Le funzioni infinitamente derivabili ammettono tutte le derivate (tutte continue).

Esempio 1

\eq{ & f(x)= x^2 \in Cinf(\R) \\ & f'(x) = 2x \\ & f''(x) = 2 \\ & f^{(n)}(x) = 0 \quad \quad \quad \forall n \geqslant 3 }

Esempio 2

\eq{ & f(x)= x |x| \in C^1(\R) \\ \\ & f(x)= \sis{ x^2 & x \geqslant 0 \\ -x^2 \quad & x < 0 } \\ \\ & f'(x) = \sis{ 2x & x > 0 \\ -2x \quad & x < 0 } }

Si studi il comportamento di $f$ nel punto $0$ :

\eq{ & \lim\limits_{x \to 0} \frac{f(x)-f(0)}{x-0}=\lim\limits_{x \to 0} \frac{\cancel{x}|x|}{\cancel{x}} = 0 \\ \implies & \exists f'(0) = 0 \implies f'(x) = 2|x| \in C(\R) \implies f \in C^1(\R) \\ \\ & \nexists f''(0) \implies \nexists f''(x) }

Formula di Leibniz

D^{(n)} (f \cdot g)(x) = \sum_{h = 0}^n \binom{n}{h} \cdot D^{(n-h)} f(x)\cdot D^{(h)} g(x) \quad\forall n \geqslant 1

Si stabilisca la convenzione secondo cui:

\eq{ & D^{0} f = f \quad \quad \quad D^{0} g = g }

\eq{ & D^{(n)} (f \cdot g)(x) = \binom{n}{0} D^{(n)} f \cdot D^{0}g +...+ \binom{n}{n-1} D^{(1)} f \cdot D^{(n-1)} g + \binom{n}{n} D^{0} f \cdot D^{(n)} g }

Esempio

D(f \cdot g)(x) = f'(x) \cdot g(x) + f(x)\cdot g'(x)

Ovvero,

D(f \cdot g)(x) = D^{(1)} f \cdot D^{0}g + D^{0}f \cdot D^{1} g