Introduzione alle derivate

Note

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Rapporto incrementale

Definizione:
Siano $I = (a, \; b), \; x_0 \in I, \; f: I \lto \R$. La funzione $\theta$ (theta) è definita come segue:

$$\eq{ \theta : &\quad I\setminus\{x_0\}\lto\R \\ &\quad x\too\theta(x):=\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0} }$$

$\theta$ è detta rapporto incrementale di $f$ relativo al punto $x_0$.

Ponendo $h = x - x_0$ il rapporto incrementale si può scrivere come:

$$\eq{ & \psi(h) = \frac{f(x_0 + h) - f(x_0)}{h} \\ \\ & \forall h \in V(0) \text{ t.c. } x_0 + h \in I }$$

Nota Bene $\psi(h)$ si legge: “psi di h”

Un altro modo per definire il rapporto incrementale è porre $x_0, \; h \in I$.

Data una funzione $y= f(x)$ definita in $I$ (ovvero $f: I \lto\R$) e dato un punto $A(x_0;\;f(x_0))$, si può ottenere un punto $B(x_0+h; f(x_0+h))$ da cui si ottengono gli incrementi:

$$\eq{ & \Delta x = x_B - x_A = h \\ & \Delta y = y_B - y_A = f(x_0+h)-f(x_0) }$$

Il rapporto incrementale di $f$ relativo a $x_0$ è:

$$\frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}$$

Esempio
Data $f(x) = 2x^2-3x$ e $x_0 = 1$ si calcoli il rapporto incrementale di $f(x)$ relativo a $x_0$ per un generico incremento $h\neq 0$.

Si determini innanzitutto $f(x_0 + h)$:
$f(1+h)=2(1+h)^2-3(1+h)=2(1+2h+h^2)-3-3h=1+h+2h^2$

Si calcoli in seguito $f(x_0) = f(1) = -1$

Si calcoli quindi il rapporto incrementale di $f$ relativo a $x_0$:

$\Large \frac{\Delta y}{\Delta x} \normalsize =\frac{1+h+2h^2-(-1)}{h}=\frac{h(2h+1)}{h}=2h+1$

Il rapporto incrementale rappresenta, al variare di $h$, il coefficiente angolare di una generica retta secante che passa per i punti A e B del grafico della funzione $f(x)$.

Per maggiori delucidazioni in merito, è necessario leggere quanto scritto nelle Applicazioni geometriche del concetto di derivata.

Definizione di derivata

Le seguenti affermazioni si equivalgono:

$$\exists \lim\limits_{x \to x_0} \frac{f(x)- f(x_0)}{x - x_0} \neq \pm \infty$$ $$\exists \lim\limits_{h \to 0} \frac{f(x_0 +h) - f(x_0)}{h} \neq \pm \infty \\$$

Si dice che $f$ è derivabile in $x_0$.

Se $f$ è continua in $x_0$ ed il limite del rapporto incrementale esiste ma è uguale a $\pm \infty$ si dice, per estensione, che $f$ ha derivata infinita in $x_0$.

Il limite sopra espresso è denominato derivata di $f$ in $x_0$ e si indica con uno dei seguenti simboli:

$$\eq{ & f'(x_0) \\ \\ & D[f(x_0)] \\ \\ & \frac{df}{dx}(x_0) \\ \\ & Df(x)|_{x = x_0} \\ \\ & \frac{df}{dx}(x)|_{x = x_0} }$$

Siano fatte le stesse considerazioni relative al rapporto incrementale, quando $h \to 0$ allora $P_0 \to P$ e la retta $\overline{PP_0}$ tende a diventare la tangente alla curva in P. La derivata della funzione $f(x)$ nel punto $x_0$, quindi $f(x_0)$, è il rapporto incrementale nel punto $x_0$ (ovvero il coefficiente angolare di $\overline{PP_0}$) che tende al coefficiente angolare della tangente in P.

$f'(x_0) = \lim\limits_{x \to x_0} \frac{f(x)- f(x_0)}{x - x_0} = \lim\limits_{h\to 0}\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}$

La funzione è derivabile in $x_0$ se:

1. $f(x)$ è definita in un intorno $I(x_0)$
2. $f'(x_0)=\lim\limits_{h \to 0}\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}$ esiste ed assume un valore finito

Teorema
Se $f$ è derivabile in $x_0$ allora $f$ è continua in $x_0$.

Dimostrazione
$f$ derivabile in $x_0 \iff f(x)=f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0) + o(x - x_0)$ per $x \to x_0$. Inoltre, $f$ derivabile in $x_0$ $\implies \lim\limits_{x \to x_0} f(x)= f(x_0)$

Non vale il viceversa.

Di seguito sono riportati alcuni esempi.

Esempio 1
$f(x)= |x|$ con $x\in \R, \; f(x)\in C(\R)$

Questa funzione è derivabile in $\R \setminus \{0\}$ quindi non è derivabile in $0$. Si studi la derivata per i seguenti tre casi:

Caso I) $x_0 > 0$ $\lim\limits_{x \to x_0} \frac{f(x)- f(x_0)}{x - x_0} = \lim\limits_{x \to x_0} \frac{|x| - |x_0|}{x - x_0} = \lim\limits_{x \to x_0} \frac{x - x_0}{x - x_0} = 1 \implies f'(x_0) = 1$

Caso II) $x_0 < 0$ $\lim\limits_{x \to x_0} \frac{f(x)- f(x_0)}{x - x_0} = \lim\limits_{x \to x_0} \frac{|x| - |x_0|}{x - x_0} = \lim\limits_{x \to x_0} \frac{- x + x_0}{x - x_0} = -1 \implies f'(x_0) = -1$

Caso III) $x_0 = 0$ Bisogna calcolare separatamente il limite destro e sinistro. $f_+'(x_0) = \lim\limits_{x \to 0^+} \frac{|x| - |0|}{x - 0} = \lim\limits_{x \to 0^+} \frac{x}{x} = 1$ $f_-'(x_0) =\lim\limits_{x \to 0^-} \frac{|x| - |0|}{x - 0} = \lim\limits_{x \to 0^-} \frac{-x}{x} = -1$ $f_+'(0) \neq f_-'(0) \implies \nexists f'(0)$

Derivabilità

Se $f'\in C(\R)$, ovvero se la derivata prima della funzione $f$ è continua in tutto $\R$, si può utilizzare l’equivalente scrittura: $f \in C^1(\R)$ ovvero ”$f$ è di classe $C^1$ su tutto l’insieme $\R$”.

Definizione
Se $f$ è derivabile in tutto l’intervallo $I=(a; \; b)$, allora la funzione $f'(x)$ risulta definita nello stesso intervallo I. Se $f' \in C^0(I)$ allora $f$ è di classe $C^1$ e si indica con la scrittura $f \in C^1 (I)$.

Nota Bene Questa definizione vale anche nel caso in cui $f$ sia derivabile in un insieme A unione di intervalli:

$$f \in C^1(A) \iff f' \in C^0(A)$$

Significato fisico della derivata

Si supponga di avere una particella che si muove lungo una retta e al tempo $t$ si trova alla posizione $x(t)$. Il rapporto incrementale rappresenta la velocità media tra $t$ e $t+h$, ovvero:

$$\frac{x(t+h)-x(t)}{h}$$

Mentre la derivata rappresenta la velocità istantanea al tempo $t$, ovvero:

$$x'(t) = \lim\limits_{h \to 0}\frac{x(t+h)-x(t)}{h}$$

Nota Bene: Nell’ambito della Fisica, la derivata prima $x'(t)$ si indica anche con $\dot{x}(t)$. Di conseguenza, la derivata seconda si può più facilmente indicare con $\ddot{x}(t)$.

Derivata sinistra e derivata destra

Data $y = f(x)$ e dato un punto $x_0 \in\R$. La derivata sinistra di $f(x)$ nel punto $x_0$:

$$\eq{ f_-'(x_0) = & \lim\limits_{x \to x_0^-}\frac{f(x)-f(x_0)}{x - x_0} =\\ = & \lim\limits_{h \to 0^-}\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h} }$$

La derivata destra di $f(x)$ nel punto $x_0$:

$$\eq{ f_+'(x_0) =& \lim\limits_{x \to x_0^+}\frac{f(x)-f(x_0)}{x - x_0} =\\ =& \lim\limits_{h \to 0^+}\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h} }$$

Si può quindi affermare che la derivata di $f(x)$ nel punto $x_0$ esiste se e solo se la derivata destra e sinistra assumono lo stesso valore:

$\exists f'(x_0) \iff f_-'(x_0) = f_+'(x_0) \in \R$

Derivata definita

Una funzione $f(x)$ è derivabile in un intervallo chiuso e limitato $I=[a;b]$, ovvero $f: \; I \lto \R$ se:

1. $f(x)$ è derivabile in tutti i punti di I esclusi gli estremi $a, \; b$, ovvero $V = (a, \; b)$
2. la derivata destra in $a$ e la derivata sinistra in $b$ esistono e hanno valore finito:

$$\exists f_+'(a), \; f_-'(b) \in \R$$